1、 北京市朝阳区高三第一次统一考试数 学 试 题（理科）2007.4（考试时间120分钟，满分150分）第卷（选择题，共40分）1设集合U = R，集合M = x| x 0, N = x | x2 x，则下列关系中正确的是（ ）ABCD2在ABC中，sin 2A = sin 2B是A = B的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知a、b是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，给出四个命题： ab，b，则a；a、，a，b，则；a与成30的角，ab，则b与成60的角；a，b，则ab.其中正确命题的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个4已知等比数列an的前n
2、项为Sn，S3 = 3，S6 = 27，则此等比数列的公比q等于（ ）A2B2CD5从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A210种B186种C180种D90种6已知函数在区间M上的反函数是其本身，则M可以是（ ）A2，2B2，0C0，2D7已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）A圆B椭圆C直线D双曲线的一支8已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个
3、数为mn个；若存储器中原有数据为m个，则将n个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m + n个. 现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作： 第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于2的数据； 第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中； 第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中； 第四次运算：从B存储器中取出A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时存储器中的数据个数是（ ）A8B7C6D520070410第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将
4、答案填在题中横线上.9设复数，则等于 .10若(1ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是 .11圆x2 + y2 + 4x2y + 4 = 0上的点到直线xy1 = 0的最大距离与最小距离的差为 .12已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是，切点到二面角棱的距离是1，则球的表面积是 ，球的体积是 .13已知向量a =(2,3)，且ab，则|a| = ，b的坐标是 .14已知函数且不等式的解集是，则实数a的值是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（本小题满分13分） 已知向量，函数 （）求函数f(x)的
5、最小正周期； （）当时，求f(x)的单调减区间.16（本小题满分13分） 甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出. （）求甲队以二比一获胜的概率； （）求乙队获胜的概率； （）若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由.17（本小题满分13分） 如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影. （）求直线EF与直线BC所成角的大小； （）求点O到平面ACD的距离； （）求二面角ABEF的大小.18（本小题满分
6、13分） 已知函数处有极值，处的切线l不过第四象限且倾斜角为，坐标原点到切线l的距离为 （）求a、b、c的值；20070410 （）求函数上的最大值和最小值.19（本小题满分14分） 已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且OEP的面积为 （）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率； （）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程.20（本小题满分14分） 已知数列an的前n项为和Sn，点在直线上.数列bn满足 ，前9项和为153. （）求数列an、bn的通项公式； （）设，数列cn的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值. （）设是否存在，使得成立？若存
7、在，求出m的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1D 2B 3D 4A 5C 6B 7A 8D二、填空题9i 102 112 1216，13，（4，6）或（4，6） 141三、解答题15解：（）因为 2分 4分 6分 所以的最小正周期是 7分 （）依条件得 9分 解得 11分 又 即当时，f(x)的单调减区间是 13分16解：（）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为 4分 （）乙队以2：0获胜的概率为； 乙队以2：1获胜的概率为 乙队获胜的概率为 8分 （）若三场两胜，则甲获胜的概率 或; 若五场三胜，则甲获胜的概率 12分 ， 采用五场三胜制，甲获胜的概率将增
8、大. 13分17方法一：（）因为E、F分别是棱AD、CD的中点， 所以EFAC.所以BCA是EF与BC所成角. 2分正四面体ABCD，ABC为正三角形，所以BCA = 60.即EF与BC所成角的大小是60 3分 （）解法1：如图，连结AO，AF，因为F是CD的中点，且ACD，BCD均为正三角形，所以BFCD，AFCD.因为BFAF = F，所以CD面AFB.因为CD在ACD，所以面AFB面ACD.因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，在面ABF中，过O做OGAF，垂足为G，所以OG在ACD.即OG的长为点O到面ACD的距离.因为正四面体A
9、BCD的棱长为1,在ABF中,容易求出AF = BF=，OF=，AO = ，因为AOFOGF，故由相似比易求出OG = 所以点O到平面ACD的距离是 8分解法2：如图，连结AO，CO，DO，所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥OACD底面ACD上的高h.与解法1同理容易求出OF=，AO = ，所以VACOD = 因为VOACD = VACOD，所以= VOACD = 解得 （）设ABD中，AB边的中线交BE于H，连结CH，则由ABCD为正四面体知CH面ABD.设HD的中点为K，则FKCH。所以FK面ABD.在面ABD内，过点K作KNAD，KN交BE于M，交AB于N，因为BEAD，所以NMBE.
10、连结FM，所以FMBE.所以NMF是所求二面角的平面角.因为FK = CH = ，MK = ED = AD = ，所以所以所以所求二面角的大小为 13分 （或者由正四面体的对称性，可转求二面角CBFE的大小）方法二：如图，以点A在面BCD的射影O为坐标原点，有向直线OA为z轴，有向直线BF为y轴，x轴为过点O与DC平行的有向直线.因为正四面体ABCD的棱长为1，所以可以求出各点的坐标依次为：O（0,0,0），A（0,0,），B（0,0）C（），D（），E（），F（） （）因为又，所以所以EF与BC所成角的大小是60. 3分 （）因为，设平面ACD的一个法向量为，由因为，所以点O到平面ACD的距
11、离等于8分 （）因为，设平面ABD的一个法向量为，由，可得一个法向量同理可以求出平面BEF的一个法向量为因为所以所以二面角ABEF的大小为13分18解：（）由有极值， 处的切线l的倾斜角为 由可解得a =4,b = 5. 4分设切线l的方程为y = x + m，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为，可得m =1，又切线不过第四象限，所以m =1，切线方程为y = x + 1.6分切点坐标为（2，3），故a=4,b = 5,c =1. 7分 （）由（）知，函数在区间1，1上递增，在上递减， 9分又， 12分 在区间上的最大值为3，最小值为9. 13分19解：（）设所求的双曲线的方程为，由 1分
12、2分由点在双曲线上， 5分离心率 6分 （）设所求的双曲线的方程为，则 7分OFP的面积为 8分解得 9分，10分当且仅当时等号成立. 11分此时（舍）. 13分则所求双曲线的方程为 14分20解：（）由题意，得 故当时，注意到n = 1时，而当n = 1时，n + 5 = 6，所以， 3分又，所以bn为等差数列 5分于是而 7分因此， 8分 （） 10分所以， 12分由于，因此Tn单调递增，故13分令 14分 （）当m为奇数时，m + 15为偶数.此时，所以 12分当m为偶数时，m + 15为奇数.此时，所以（舍去）.综上，存在唯一正整数m =11，使得成立. 14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分. （2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.