1、第十章第三讲A组基础巩固一、选择题1(2016全国卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(B)ABCD解析由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为.2(2016湖北武汉调研)在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为(B)ABCD解析记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A，则P(A).故选B解法总结以线段长度为度量的几何概型概率计算公式为P(A)f(事件A对应的线段长,试验的全部结果对应的线段长).3(2016湖南长
2、沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为(C)ABCD解析由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|90的概率为 .解析如图，如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则AMB90，否则，M点位于半圆上及空白部分，则AMB90，所以AMB90的概率P.11(2015湖北八校二联)记集合A(x，y)|x2y24和集合B(x，y)|xy20，x0，y0表示的平面区域分别为1和2，若在区域1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域2的概率为 .解析作圆O：x2y24，区域1就是圆O内部(
3、含边界)，其面积为4，区域2就是图中AOB内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为.三、解答题12(2016上饶模拟)如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O.(1)在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足在上的投影大于的概率；(2)从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于的概率。解析(1)因为在上的投影为|cos，|cos，P在线段FE(除点F)和线段ED(除点D)上运动时，在上的投影大于，在上的投影大于的概率P.(2)结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距离一定是大于等于.六个点中随机选取两个点，总共有1
4、5种：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A.F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，P(x).13(2016潍坊模拟)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记“2ab3”为事件A，求事件A的概率；在区间0,2内任取2个实数x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率解
5、析(1)由题意共有小球n2个，标号为2的小球n个从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.解得n2；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，共有12种结果，满足“2ab3”为事件A共有8种结果，故P(A)；由可知(ab)24，故x2y24，(x，y)可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域(x，y)|0x2,0y2，x，yR，由几何概型可得概率为：P1.B组能力提升1(2016河北直接联考)在面积为S的ABC内部任取一点P，则PBC面积大于的概率为(D)ABCD解析设AB、AC上分别有点D、E满足ADAB且AEAC，则ADEA
6、BC，DEBC且DEBC.点A到DE的距离等于点A到BC的距离的，DE到BC的距离等于ABC高的.当动点P在ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，当P在ADE内部运动时，PBC的面积大于，所求概率为()2，故选D2(2016陕西联考)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A，则AA的长度小于半径的概率为(D)ABCD解析如图，满足AA的长度小于半径的点A位于劣弧上，其中ABO和ACO为等边三角形，可知BOC，故所求事件的概率P.3.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(A)A1BCD解析设分
7、别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OAOB2，则ODDADC1.则以OA为直径的半圆中，空白部分面积S111(11)1，所以整体图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以阴影部分面积为S32.所以P1.4(2017陕西省延安市黄陵中学高三上学期质量(重点班)数学试题)在区间(0,1)上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2xm0有实根的概率为 .解析本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出(m，n)对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2xm0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求
8、解解：如右图所示：试验的全部结果所构成的区域为(m，n)|0m1,0n1(图中矩形所示)其面积为1.构成事件“关于x的一元二次方程x2xm0有实根”的区域为(m，n)|0m1,0n1，n4m(如图阴影所示)所以所求的概率为.故答案为：.5(2016潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖，问：购买该商品的顾客在哪家
9、商场中奖的可能性大？答案在乙商场中奖的可能性大解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为R2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为.所以，在甲商场中奖的概率为P1.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：( a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P2.由于P1P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大