1、赣榆一中高一月考数学试卷20210528一、单选题（本大题共8小题，共40分）1已知复数（为虚数单位），则（ ）ABCD2.若，则的坐标可以是（ ）ABCD3在不超过20的素数(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数)中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（ ）ABCD4某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（ ）A70，75 B70，50 C75，1.04 D65，2.355已知sin= ，则cos的值为（ ）
2、ABCD6已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则其中所有真命题的序号是（ ）A B C D7天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ）A0.6B0.7C0.75D0.88 如图，中，为边上的中线，E为延长线上一点，且，若，（ ）A.
3、2 B.4 C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（ ）A 与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C2010年与2020年艺体达线人数相同D与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加10甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四
4、面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）ABCD11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）A若，则；B若，则满足条件的有两个；C若，则是钝角三角形；D存在角A，B，C，使得成立；12如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ） A直线平面B二面角的大小为C三棱锥的体积为定值D异面直线与所成角的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20分）16题15题13如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其25%
5、分位数为_.13题14一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为_.15如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km若ABBD，则B，D间距离为_km16我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积为_.四、解答题（本大题共6小题，共70分
6、）17（本题满分10分）某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.组号分组频数频率1500.0520.35330042000.2051000.10合计10001（1）求，的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；（3）现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研红楼梦的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率.18. （本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形
7、（1）设为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点求证：平面（2） 设是上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由19（本题满分12分）在三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设的面积为S，已知_（1）求角C的值；（2）若，点D在边上，为的平分线，的面积为，求边长a的值20.（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点（1）若F为线段BC的中点，求异面直线EF与PD所成角的余弦值；20题22题（2）证明：点F在线段BC
8、上移动时，AEF始终为直角三角形21题21.（本题满分12分）市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆是圆形湖的边界，沿线段建一个观景长廊，其中 是观景长廊的四个出入口且都在圆 上，已知： 百米， 百米,在湖中处和湖边处各建一个观景亭，且它们关于直线 对称,在湖面建一条观景桥观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设（1）若观景长廊 百米，求由观景长廊所围成的四边形内的湖面面积；（2）若 百米且规划建亭点P 在三角形 区域内（不包括边界），试判断四边形内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由22.（本题满分12分）已知四边形现将沿
9、BD边折起，使得平面平面BCD，点P为线段的中点请你用几何法解决下列问题：（1）求证：平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值赣榆一中高一月考数学试卷20210528一、单选题（本大题共8小题，共40分）1已知复数（为虚数单位），则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数的模的公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：D2.若，则的坐标可以是（ ）ABCD【答案】C【解析】四个选项模长均为，设，因为，所以，故选:C.3在不超过20的素数(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数)中，随机选取2个不同的数，这两个
10、数的和等于20的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】不超过20的素数有，从中任取2个，有种取法，其中满足和等于20的取法有共2，根据古典概型的概率公式得所求概率为.故选：A4某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（ ）A70，75B70，50C75，1.04D65，2.35【答案】B【解析】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，由题意得，s2(x170)2(x270)2(8070)2(7070)2(x4870)2，而更正前有：
11、75(x170)2(x270)2(5070)2(10070)2(x4870)2，化简整理得s250.故选:B.5已知sin= ，则cos的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】已知条件由诱导公式可化为，再由余弦的二倍角公式可解【详解】解：，故选：6已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则其中所有真命题的序号是（ ）A B C D答案：A 易知正确；对于，m，n可能平行，也可能异面，所以错；对于，n可能平行于，也可能n在平面内，所以错，选A7如图，中，为边上的中线，E为延长线上一点，且，若，（ ）A2B4CD【答案】D【解析】又因为，所以，解得
12、，所以.故选D.8天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ）A0.6B0.7C0.75D0.8【答案】B【解析】代表今后三天都不下雨的随机数有977，864，458，569，556，488，共6组，记“今后三天中至少有一天下雨”为事件，“今后三天都不下雨”为事件，则与为对立事件.所以，故
13、选：B.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（ ）A与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C2010年与2020年艺体达线人数相同D与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加【答案】BD【分析】根据柱状图中的数据求解.【详解】设2010年高考考生人数为a，则2020年的高考考生人数是的1.5a，A. 2010年一本达线人数为0.28a，20
14、20年一本达线人数a，故错误；B. 2020年二本达线率是，2010年二本达线率是，故正确；C. 2010年艺体达线人数0.08a， 2020年艺体达线人数，故错误；D.与2010年不上线的人数0.32a,相比，2020年不上线的人数,故正确；故选：BD10甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】ABD【解析】由
15、已知，由已知有，所以，则A正确；，则B正确；事件、不相互独立，故错误，即C错误，则D正确；综上可知正确的为ABD.故选:ABD11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）A若，则；B若，则满足条件的有两个；C若，则是钝角三角形；D存在角A，B，C，使得成立；【答案】ABC【解析】A.若，由正弦定理可得：，则，所以该选项正确；B. 若，则，因此满足条件的有两个，所以该选项正确；C. 若，则，是钝角三角形，所以该选项正确；D. 由于当时，所以该选项不正确.故选：ABC12如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ） A直线平面B二面角的大小为C三棱锥的体积为
16、定值D异面直线与所成角的取值范围是【答案】AC【解析】如图，在A中，A1C1B1D1，A1C1BB1，B1D1BB1B1，A1C1平面BB1D1，A1C1BD1，同理，DC1BD1，A1C1DC1C1，直线BD1平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面不垂直平面,故B错误；在C中，A1DB1C，A1D平面A1C1D，B1C平面A1C1D，B1C平面 A1C1D，点P在线段B1C上运动，P到平面A1C1D的距离为定值，又A1C1D的面积是定值，三棱锥PA1C1D的体积为定值，故C正确；在D中，当点P与线段的端点重合时, 异面直线与所成角取得最小值为,故异面直线AP与A1D所成角的取值范
17、用是，故D错误.故选：AC三、填空题（本大题共4小题，共20分）13如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其25%分位数为_.【答案】10.5【解析】由图可知第一组的频率为，前两组的频率之和为，则可知其25%分位数在内，设为，则，解得.故答案为：10.5.14一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为_.【答案】0.496【分析】先求没有1个部件需要调整的概率，再用1减即可.【详解】设分别为部件1，2，3需要调整的事件，则至少有1
18、个部件需要调整的概率为 故答案为：0.49615如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km若ABBD，则B，D间距离为_km【答案】【分析】在ABC中，应用正弦定理求，由BDAB，即知B，D间距离.【详解】在ABC中，BCA60，ABC756015，AC0.1 km，由正弦定理，得：， (km)，又BDAB，km故答案为：16我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童有外接球，且，点到平面距离为4，则该刍童外接球的表面积
19、为_.【答案】【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该垂线上，然后根据，利用直角三角形与直角三角形，即可列出外接球半径的方程，求解即可.【详解】假设为刍童外接球的球心，连接、交于点，连接、交于点，由球的几何性质可知、在同一条直线上，由题意可知，平面，平面，设，在中，在矩形中，在中，在矩形中，设外接球半径，解得，则，即，则该刍童的外接球半径为该刍童外接球的表面积为：，故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表
20、.组号分组频数频率1500.0520.35330042000.2051000.10合计10001（1）求，的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；（3）现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研红楼梦的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率.【解析】（1）根据频率分布直方表，可得，解得，频率分布直方图，如图所示：（2）该组数据的平均数：，由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为，则，解得，故中位数的估计值为11.67.（3）从第4，5组抽取的人数分
21、别为4，2，第4组的4人，设为，第5组的2人，设为，则从该6人中选出2人的基本事件有，共15种，其中都是第4组的基本事件有，共6种，所以至少有一名学生是5组的概率.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形（1）设为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点求证：平面（2）设是上靠近点的一个三等分点，试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由【解析】（1）如图，取上靠近的三等分点，连接，中，则又平面，平面，平面，同理，平面，又，平面平面，又平面，平面（2）存在中点，使平面成立取中点，连，使，连是矩形，是的中点，又是上靠近点的一个三等分点，且是中点，是的中点，中，又平面，平面，
22、平面，故在上是存在中点，使平面成立19在三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设的面积为S，已知_（1）求角C的值；（2）若，点D在边上，为的平分线，的面积为，求边长a的值【解析】（1）选，由余弦定理得，整理得，所以，又，故.选，因为，故，可得，又，故.选，可得，所以，又，所以，故.（2）在中，因为是的平分线，且，设，所以，又，联立以上两式得：，又，解得.20.（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点（1）若F为线段BC的中点，求异面直线EF与PD所成角的余弦值；（2）证明
23、：点F在线段BC上移动时，AEF始终为直角三角形【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由中位线定理得，得DPC是异面直线EF与PD的所成角或其补角利用线面垂直的判定与性质定理证明，在直角三角形中求得DPC的余弦；（2）由线面垂直的性质得，从而可证与平面垂直，即证得，然后利用证明与平面垂直即得，证得结论成立【详解】（1）在PBC中，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点，所以EFPC，所以DPC是异面直线EF与PD的所成角或其补角 因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD因为ABCD为正方形，所以ADCD，又因为PAADA，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD因为PD平
24、面PAD，所以PDCD 在RtPAD中，PAAD，所以PDAD，因为CDAD，所以在RtPCD中，PDCD，PCCD，所以cosDPC，即异面直线EF与PD所成角的余弦值为 （2）证明：因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC因为ABCD为正方形，所以ABBC，又因为PAABA，PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB因为AE平面PAB，所以AEBC 因为PAAB，E为线段PB的中点，所以AEPB， 又因为PBBCB，PB，BC平面PBC，所以AE平面PBC 又因为EF平面PBC，所以AEEF，所以点F在线段BC上移动时，AEF以AEF为直角的直角三角形【点睛】本题考查求异面直线所
25、成的角，考查用线面垂直证明线线垂直，求异面直线所成的角，一般有三步：作证算，证明空间线面平行与垂直时注意定理的条件要全面，列举出所有条件后可得结论本题考查学生的空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力属于中档题2122.已知四边形现将沿BD边折起，使得平面平面BCD，点P为线段的中点请你用几何法解决下列问题：（1）求证：平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值【解析】，为等边三角形，为中点取中点连接则，平面平面平面平面平面又，平面平面又且平面.由可知，所以，作于H，连接BM，因为平面所以平面又点P为线段的中点，所以，又M为CD的中点，所以，所以，在中，所以满足，所以，所以，设点M到面PCB的距离为，所以，解得，又，设MP与平面BPC所成角为，所以，所以MP与平面BPC所成角的正弦值
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