1、12019-2020 学年莆田一中高三理数期中考试卷命题人:曾献峰审核人:林新潮,蔡晶晶(满分:150 分,时间:120 分钟)一、选择题:12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意.1.已知集合 M=x|x3,N=x|x2-7x+100,则 MN=()A.2,3)B.(3,5 C.(-,5)D.2,+)2.若复数 z 的虚部是实部的两倍且满足(1+i)z=a+3i 则 a=()A.-1B.0C.1D.23.已知 0ab1,则在 aa,ab,ba,bb 中最大的是()A.aa B.ab C.baD.bb4.人体体质指数(BMI)的计算公式:BMI=体重
2、身高 2(体重单位kg,身高单位为m),判断标准如下：BMI18.5 以下18.523.92429.930 以上等级偏瘦正常超标重度超标某小学生的身高为 1.5m,在一次体检时,医生告诉他属于超标类,则此学生的体重可能是()A.47kg B.51kg C.66kg D.70kg5.等比数列an满足 a1=12,且 a2a4=4(a3-1),则 a5=()A.8 B.16 C.32 D.646.设an是公差不为 0 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a32+a42=a72+a82,S7=-21,则 a7=()A.5B.3C.1D.77.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三
3、角形,则该三棱锥的外接球表面积为()A.3B.2 3C.4 3D.128.函数 f(x)=ln(x2+1)+cosx(x-2,2)的大致图像是()A B C D29.AOB 中,OA=a,OB=b,满足 ab=|a-b|=2,则AOB 的面积的最大值为()A.3B.2 C.2 3D.2 210.已知函数 f(x)=若 g(x)=f(x)-ax 恰有一个零点,则 a 的取值范围是()A.(-,-20,1 B.-2,01,+)C.-2,1 D.1,+)11.关于函数 f(x)=cos2x+sinx 有下列四个结论:x=2是 f(x)的一条对称轴 f(x)在区间(2,)上是增函数 f(x)的最大值为
4、98若 x1,x2 分别是 f(x)的最小值点和最大值点,则 cos(x1-x2)=-14其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.12.在如图所示边长为 3 的正四面体中,E,F 分别是 AD,BC 的中点,若用一个与直线 EF 垂直,且与四面体每个面都相交的的平面去截该四面体,由此得到一个多边形的截面,则当截面面积取得最大值时,以该截面为底,以 A 为顶点的棱锥的体积为()A.23B.3 28C.9 216D.2 23二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设实数 x,y 满足3x+2y-110 x-2y-10 x1,则 z=2x+
5、y 的最大值为_14.已知 a,b 是两个互相垂的单位向量,且 ca=3,cb=1,则|b+c|=_15.已知数列an满足 a1=1,an+1=(n+1)ann+1n,则使得 am2019成立的正整数 m的最小值为_16.顶角为 36 的等腰三角形称为“黄金三角形”黄金三角形看起来标准又美观.如图所示,ABC 是黄金三角形,AB=AC,作ABC 的平分线交 AC 于点 D,易知BCD 也是黄金三角形.若 BC=1,则 AB=_;借助黄金三角形可计算sin234=_(本题第一空 2 分,第二空 3 分)3三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,
6、每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.17.若各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn 满足 an+12=2Sn+n+4(nN*)且 a3+a5=10(1)判断数列an是否成等差？说明理由并求出数列an的通项(2)若 bn=2nan,求数列bn的前 n 项和为 Tn18.已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 2acosB=2c+b(1)求角 A(2)若 a2-b2=4c2,且 ABC 的面积为 3 3求边长 c19.如图,在长方形 ABCD 中,AB=4,BC=2,现将 ACD 沿 AC 折起,使 D 折到 P 的位置且 P 在面A
7、BC 的射影 E 恰好在线段 AB 上.(1)证明:APPB;(2)求锐二面角 B-PC-E 的余弦值.420.已知过点 D(4,0)的直线 l 与椭圆 C:x24+y2=1 交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),其中 y1y20,O 为坐标原点.(1)若 x1=0,求OAB 的面积(2)在 x 轴上是否存在定点 T,使得直线 TA,TB 与 y 轴围成的三角形始终为等腰三角形21.已知函数 f(x)=sinxx,g(x)=xcosx-sinx(1)判断函数 g(x)在区间(0,3)上零点的个数(2)函数 f(x)在区间(0,+)上的极值点从小到大分别为 x1,x2,x3,x4,
8、xn,证明:(I)f(x1)+f(x2)0(II)对一切的 nN*,f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(xn)1)(1)当 m=2 时,求不等式 f(x)3 的解集(2)证明:f(x)+1m(m-1)352019-2020 学年莆田一中高三理数期中考参考答案一、选择题 DACCA BDBAB CC二、填空题 13.7 14.715.1010 16.5+12;-5+14三、解答题解:an+12=2Sn+n+4,当 n2 时 an2=2Sn-1+(n-1)+4.1 分两式相减得:an+12-an2=2an+1 即 an+12=(an2+1)2.2 分由 an0 得:an+1-an=1n2 时数
9、列an是公差为 1 的等差数列.3 分由 a3+a5=10 得 a4=5,a2=3.4 分当 n=1 时 a22=2a1+5 a1=2.5 分可知:a2-a1=1 an是首项为 2 公差为 1 的等差数列 an=n+1.6 分(2)bn=2nan=(n+1)2n.7 分Tn=2.21+322+423+n2n-1+(n+1)2n .8 分2 Tn=2.22+323+n2n+(n+1)2n+1.9 分-得:-Tn=4-(n+1)2n+1+(2+22+23+2n)=4-(n+1)2n+1+4(2n-1-1)=-n2n+1.11 分 Tn=n2n+1.12 分18.解:(1)由正弦定理得：2sinAc
10、osB=2sinC+sinB=2sin(A+B)+sinB.2 分2sin(A+B)+sinB-2sinAcosB=2cosAsinB+sinB=0.4 分sinB0,cosA=-12 又 A(0,)A=23.6 分(2)由余弦定理得:cosA=b2+c2-a22bc又a2=4c2+b2.8 分cosA=b2+c2-a22bc=-12得 b=3c.10 分S ABC=12bcsinA=34 bc=3 34 c2=3 3c=2.12 分19.(1)证明 由题知 PE平面 ABC,又 BC平面 ABC,PEBC.1 分ABBC 且 ABPE=E,BC平面 PAB.2 分AP平面 PAB,BCAP.
11、3 分APCP 且 BCCP=C,AP平面 PBC.PB平面 PBC,APPB.5 分(2)解:在 Rt PAB 中,AP=2,AB=4,由射影定理知 AE=1,PE=以 E 为原点,建立如图所示空间直角坐标系 E-xyz.6则 E(0,0,0),P(0,0,),B(0,3,0),C(-2,3,0),=(-2,3,-),=(0,0,),=(0,3,-).6 分设 m=(x,y,z)是平面 EPC 的一个法向量,即-取 y=2,则 x=3,m=(3,2,0).8 分设 n=(a,b,c)是平面 PBC 的一个法向量,即-解得 a=0,取 b=1,得 c=,n=(0,1,).10 分设锐二面角 B
12、-PC-E 的大小为,则 cos=|cos|=锐二面角 B-PC-E 的余弦值为 .12 分21.（1）xxxxxxxgsincossincos)(当，0 x时,0)(0sinxgx,）上单调递减，在（0)(xg0)0()(gxg,上无零点，在0)(xg当 2,x时,0)(0sinxgx,）上单调递增，在（2)(xg,02)2(,0)(gg7上有唯一零点，在 2)(xg当 3,2x时,0)(0sinxgx,上单调递减在（)3,2)(xg0)3(,0)2(gg,上有唯一零点在 3,2)(xg综上,函数)(xg在区间3,0上有两个零点。4 分（2）2sincos)(xxxxxf由（1）知)(xf在
13、，0 x无极值点；在 2,x有极小值点,即为1x；在 3,2x有极大值点,即为2x,同理可得,在 4,3有极小值点3x,在)1(,nn有极值点nx；由nnnnnxxxxxtan0sincos得),tan(tantan11212xxxxx0)25(,0)2(,01)23(,0)(gggg)25,2(),23,(21xx)25,2(,12 xx,由函数xytan在25,2单调递增得12xx21221121coscossinsin)()(xxxxxxxfxf由xycos在25,2单调递减得112cos)cos(cosxxx0)()(21xfxf.8 分同理,)22,2(),22,)12(212nnx
14、nnxnn,22 n122nnxxn2由xycos在)(22,2Nnnn 上单调递减得122coscosnnxx0coscos)()(122122nnnnxxxfxf,且0)(,0)(122nnxfxf当 n 为偶数时,从)(1xf开始相邻两项配对,每组和均为负值,即 0)()()()()(14321nnxfxfxfxfxfxf）,结论成立；当 n 为 奇 数 时,从)(1xf开 始 相 邻 两 项 配 对,每 组 和 均 为 负 值,还 多 出 最 后 一 项 也 是 负 值,即 0)()()()()()()(124321nnnxfxfxfxfxfxfxf,结论也成立。8综上,对一切Nn,0)()()()(321nxfxfxfxf成立12 分23.