1、第5讲 椭圆 1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于_(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 常数焦点(2)集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.当2a|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;当2a|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;当2ab0)y2a2x2b21(ab0)图形题组一 常识题1(教材改编)已知ABC 的顶点 B,C 在椭圆x24y2121上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则ABC 的周长是_【解析】ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍,
2、所以ABC的周长是 4 328 3.【答案】8 32(教材改编)已知点 P 是椭圆x25y241 上 y 轴右侧的一点,且以点 P 及焦点 F1,F2 为顶点的三角形的面积等于 1,则点 P的坐标为_【解析】设 P(x,y),x0,由题意知 c2a2b2541,所以 c1,则点 P 到 x 轴的距离为 1,所以 y1,把 y1 代入x25y241,得 x 152,又 x0,所以 x 152,所以点 P 的坐标为152,1 或152,1.【答案】152,1 或152,1【答案】8 3(教材改编)已知椭圆 x2m2y210m1 的焦点在 x 轴上,焦距为 4,则 m 等于_【解析】因为椭圆x2m2
3、y210m1 的焦点在 x 轴上,所以m20,10m0,m210m,解得 6m|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆【答案】椭圆 题组二 常错题 索引:椭圆的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件;求椭圆的标准方程时易忽视焦点的位置;忽视椭圆中x,y的范围而导致求最值错误 5已知条件甲:动点P到两定点A,B的距离之和为|PA|PB|2a(a0且a为常数)条件乙:P点的轨迹是以A,B为焦点,且长轴长为2a的椭圆则甲是乙的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)【解析】乙能推出甲,但甲推不出乙,甲是乙的必要不充分条件【答案】必要不充分 6“2m0,6m0,m26m,2m6 且 m4.故
4、“2m4k0,即 4k5 时,a3,c29(4k)5k,5k345,解得 k1925;当 94k,即 kb0)由点 P(2,3)在椭圆上知 4a2 3b21.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|PF2|2|F1F2|,即 2a22c,ca12,又 c2a2b2,联立 4a2 3b21,c2a2b2,ca12得 a28,b26,故椭圆方程为x28y261.【答案】(1)B(2)A【反思归纳】跟踪训练 1(1)已知动圆 M 过定点 A(3,0)并且与定圆 B:(x3)2y264 相切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为()A.x216y271 B.x27y2161C.x216y
5、271 D.x27y2161(2)已知 F1,F2 是椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的两个焦点,P为椭圆 C 上的一点,且PF1 PF2.若PF1F2 的面积为 9,则 b_【解析】(1)因为点 A 在圆 B 内,所以过点 A 的圆与圆 B 只能内切,因为 B(3,0),所以|AB|6.所以|BM|8|MA|,即|MB|MA|8|AB|,所以动点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,设其方程为x2a2y2b21,又 a4,c3,b27,所以方程为x216y271.故选 A.(2)由题意知|PF1|PF2|2a,PF1 PF2,所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 4c2,所 以
6、(|PF1|PF2|)2 2|PF1|PF2|4c2,所以2|PF1|PF2|4a24c24b2.所以|PF1|PF2|2b2,所以 SPF1F212|PF1|PF2|122b2b29.所以 b3.【答案】(1)A(2)3考点二 椭圆的几何性质角度 1 求椭圆的离心率(或取值范围)【例 2】(2018全国卷)已知 F1,F2 是椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为36 的直线上,PF1F2 为等腰三角形,F1F2P120,则 C 的离心率为()A.23B.12C.13D.14【解析】由题意可得椭圆的焦点在 x 轴上,如图所示,设|
7、F1F2|2c,因为PF1F2 为等腰三角形,且F1F2P120,所以|PF2|F1F2|2c,所以|OF2|c,所以点 P 坐标为(c2ccos 60,2csin 60),即点 P(2c,3c)因为点 P 在过点 A,且斜率为 36 的直线上,所以3c2ca 36,解得ca14,所以 e14,故选D.【答案】D 角度 2 根据椭圆的性质求值或范围【例 3】(1)(2019安庆模拟)P 为椭圆x216y2151 上任意一点,EF 为圆 N:(x1)2y24 的任意一条直径,则PEPF的取值范围是()A0,15 B5,15C5,21 D(5,21)(2)已知椭圆 C:x24y231 的左、右焦点
8、分别为 F1,F2,椭圆 C 上的点 A 满足 AF2F1F2,若点 P 是椭圆 C 上的动点,则F1P F2A 的最大值为()A.32B.3 32C.94D.154【解析】(1)PEPF(PNNE)(PNNF)(PNNE)(PNNE)PN 2NE 2|PN|24,因为 ac|PN|ac,即 3|PN|5,所以PEPF的范围是5,21(2)由椭圆方程知 c 431,所以 F1(1,0),F2(1,0)因为椭圆 C 上点 A 满足 AF2F1F2,则可设 A(1,y0),代入椭圆方程可得 y2094,所以 y032.设 P(x1,y1),则F1P(x11,y1),F2A(0,y0),所以F1P
9、F2A y1y0.因为点 P 是椭圆 C 上的动点,所以 3y1 3,F1P F2A 的最大值为3 32.【答案】(1)C(2)B【反思归纳】跟踪训练 2(1)已知椭圆 E:x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x4y0 交椭圆 E 于 A,B 两点若|AF|BF|4,点 M 到直线 l 的距离不小于45,则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A.0,32 B.0,34C.32,1D.34,1(2)椭圆 C:x24y231 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在椭圆 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是2,1,那么直线 PA1斜率的取值范围是()A.
10、12,34B.12,1C.38,34D.34,1【解析】(1)不妨设左焦点为 F2,连接 AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形 AFBF2 的对角线互相平分,所以四边形 AFBF2为平行四边形,所以|AF|BF|BF2|BF|2a4,所以 a2,设 M(0,b),所以 d45b45b1,所以 e1b2a21b24114 32,又 e(0,1),所以 e0,32.(2)由题意,得 A1(2,0),A2(2,0),设 P(x0,y0)(x02),则有x204y2031,整理,得 y20 x20434.因为 kPA1 y0 x02,kPA2 y0 x02,所以 kPA1 kPA2 y20 x20
11、434,又 kPA2 2,1,所以 kPA1 38,34,故选 C.【答案】(1)A(2)C考点三 直线与椭圆的位置关系【例 4】已知椭圆 E 的一个顶点为 A(0,1),焦点在 x轴上,若椭圆右焦点到椭圆 E 的中心的距离是 2.(1)求椭圆 E 的方程(2)设直线 l:ykx1(k0)与该椭圆交于不同的两点 B,C,若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 32,求BOC 的面积【解析】(1)由题意 b1,c 2,a2b2c23,又椭圆 E 的焦点在 x 轴上,椭圆 E 的方程为x23y21.(2)设 B(x1,y1),C(x2,y2),将 直 线 方 程 与 椭 圆 联 立ykx1,x23y
12、23,整理得(3k21)x26kx0,由原点 O 到直线 l 的距离为11k2 32,得 k213,又|BC|(x1x2)2(y1y2)2 1k2 36k23k212,SBOC12|BC|32 32,BOC 的面积为 32.【反思归纳】跟踪训练 3 已知曲线 C 的方程是 mx2ny21(m0,n0),且曲线过 A24,22,B66,33 两点,O 为坐标原点(1)求曲线 C 的方程(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线 C 上两点,向量 p(mx1,ny1),q(mx2,ny2),且 pq0,若直线 MN 过点0,32,求直线 MN 的斜率【解析】(1)由题可知:18m12n1,16m13n1,解得 m4,n1.曲线 C 的方程为 y24x21.(2)设直线 MN 的方程为 ykx 32,代入椭圆方程 y24x21,得(k24)x2 3kx140,x1x2 3kk24,x1x214k24,pq(2x1,y1)(2x2,y2)4x1x2y1y20,1k2414k2k2432 k(3k)k24340,即 k220,k 2.故直线 MN 的斜率为 2.课时作业