1、章末综合测评(三)立体几何初步(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下面给出了四个条件：空间三个点；一条直线和一个点；和直线a都相交的两条直线；两两相交的三条直线其中，能确定一个平面的条件有()A3个B2个C1个D0个D当空间三点共线时不能确定一个平面；点在直 线上时不能确定一个平面；两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面2在长方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A30B45
2、 C60D90D由于ADA1D1，则BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显BAD90.3已知a，b，c是直线，则下面四个命题：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；若ab，则a，b与c所成的角相等其中真命题的个数为()A0B3 C2D1D异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确4一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为()A24 cm2B36 cm2C72 cm2D84 cm2C棱柱的侧面积S侧36472(cm2)5在正方体ABCDA1B1C1D1中，动点E在棱B
3、B1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BEx，A1Fy，则四面体OAEF的体积()A与x，y都有关B与x，y都无关C与x有关，与y无关D与y有关，与x无关B因为VOAEFVEOAF，考察AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值，又AOA1C1，所以OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即AOF的面积是定值，所以四面体OAEF的体积与x，y都无关，故选B6如图，点S在平面ABC外，SBAC，SBAC2，E，F分别是SC和AB的中点， 则EF的长是()A1 BC DB取CB的中点D，连接ED，DF，则EDF(或其
4、补角)为异面直线SB与AC所成的角，即EDF90.在EDF中，EDSB1，DFAC1，所以EF.7在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为()A BC DC取AC的中点E，CD的中点F，连接BE，EF，BF，则EF，BE，BF，因为EF2BE2BF2，所以BEF为直角三角形，cos .8已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A B C DB如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知：PO平面ABC，连接OA，则PAO即为P
5、A与平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，则S()2，VABCA1B1C1SPO，PO. 又AO1，tanPAO，PAO.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9下列命题为真命题的是()A若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C垂直于同一条直线的两条直线相互平行D若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直BDA错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C错，比如a，b，c，显然有ab，a
6、c，但b与c也可能相交故选BD10.如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是()AAECE BBEDECDE平面CEB D平面ADE平面BCEABD由AB是底面圆的直径，得AEB90，即AEEB圆柱的轴截面是四边形ABCD，AD底面AEB，BC底面AEBBEAD又ADAEA，AD，AE平面ADE，BE平面ADE，BEDE.同理可得，AECE，易得平面BCE平面ADE.可得A，B，D正确ADBC，ADE(或其补角)为DE与CB所成的角，显然ADE90，DE平面CEB不正确，即C错误故选ABD11如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB
7、60，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法正确的是()A在棱AD上存在点M，使AD平面PMBB异面直线AD与PB所成的角为90C二面角PBCA的大小为45DBD平面PACABC如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，侧面PAD为正三角形，PMAD，又底面ABCD是菱形，DAB60，ABD是等边三角形，ADBM，又PMBMM，PM，BM平面PMB，AD平面PBM，故A正确对于B，AD平面PBM，ADPB，即异面直线AD与PB所成的角为90，故B正确对于C，平面PBC平面ABCDBC，BCAD，BC平面PBM，BCPB，BCBM，PBM是二面角PBCA的平面角，设AB1
8、，则BM，PM，在RtPBM中，tanPBM1，即PBM45，故二面角PBCA的大小为45，故C正确对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误故选ABC12如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l平面MNP的图形为()AD如图所示，正方体ABCDABCD.连接AC，BDM、P分别为其所在棱的中点，MPAC四边形ABCD为正方形，ACBD，BB平面ABCD，AC平面ABCD，BBAC，ACBD，BDBBB，AC平面DBB，DB平面DBB，ACDB.MPAC，DBMP，同理，可证DBMN，DBNP，MPNPP，MP平面M
9、NP，NP平面MNP，DB平面MNP，即l垂直平面MNP，故A正确故D中，由A中证明同理可证lMP，lMN，又MPMNM，l平面MNP.故D正确故选AD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为_，体积为_(本题第一空2分，第二空3分)3设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2r2，解得r1，根据勾股定理，得圆锥的高为，所以圆锥的表面积S22123，体积V12.14.已知正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60，则该四棱锥的高为_3如图，过点S作SO平面ABCD，连接OC，则SCO60，SOsin 6
10、0SC23.15如图， 在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.124因为D，E分别是AB，AC的中点，所以SADESABC14. 又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍，即三棱柱A1B1C1ABC的高是三棱锥FADE高的2倍， 所以V1V2124.16已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_36如图，连接OA，OB由SAAC，SBBC，SC为球O
11、的直径，知OASC，OBSC由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积VOA，即9，r3，S球表4r236.四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长为10 cm，求圆锥的母线长 .解如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R.因为，所以，所以l cm.即圆锥的母线长为 cm.18(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AC9，BC12，
12、AB15，AA112，点D是AB的中点(1)求证：ACB1C；(2)求证：AC1平面CDB1.证明(1)C1C平面ABC，C1CACAC9，BC12，AB15，AC2BC2AB2，ACBC又BCC1CC，AC平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ACB1C(2)连接BC1交B1C于点O，连接OD如图，O，D分别为BC1，AB的中点，ODAC1.又OD平面CDB1，AC1平面CDB1.AC1平面CDB1.19(本小题满分12分)如图，已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ACB90，BAC60，PAAC，M为PB的中点(1)求证：PCBC；(2)求二面角MACB的大小解(1)证明：由PA平面
13、ABC，所以PABC，又因为ACB90，即BCAC，PAACA，所以BC平面PAC，所以PCBC(2)取AB中点O，连接MO，过O作HOAC于H，连接MH， 因为M是BP的中点，所以MOPA，又因为PA平面ABC，所以MO平面ABC，所以MHO为二面角MACB的平面角，设AC2，则BC2，MO1，OH，在RtMHO中，tanMHO，所以二面角MACB的大小为30.20(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H, 在其中有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时， 圆柱的侧面积最大？解(1)设圆柱的底面半径为r, 则它的侧面积为S2rx, ，解得rRx，所以S圆柱侧
14、2Rxx2.(2)由(1)知S圆柱侧2Rxx2，在此表达式中， S圆柱侧为x的二次函数，因此，当x时， 圆柱的侧面积最大21(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值解(1)如图，由已知ADBC，故DAP或其补角为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得AP，所以cosDAP.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以A
15、DPD又BCAD，所以PDBC，又PDPB，PBBCB，所以PD平面PBC(3)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF与平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得DF2，在RtDPF中，可得sinDFP.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.22(本小题满分12分)如图，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE
16、的位置，使A1FCD，如图.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由解(1)证明：D，E分别为AC，AB的中点，DEBC又DE平面A1CB，BC平面A1CB，DE平面A1CB(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，DEACDEA1D，DECD，A1DCDD，DE平面A1DC而A1F平面A1DC，DEA1F.又A1FCD，DECDD，A1F平面BCDE，BE平面BCDE，A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC又DEBC，DEPQ.平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，A1C平面A1DC，DEA1C又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，A1CDP，DEDPD，A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C平面DEQ.