1、专题十四立体几何综合本试卷满分96分，考试时间80分钟解答题(共8小题，每小题12分，共96分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1(2019河北衡水中学一模)在平行四边形ABCD中，AB3，BC2，过A点作CD的垂线，交CD的延长线于点E，AE.连接EB，交AD于点F，如图1，将ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2.(1)证明：平面BFP平面BCP；(2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP平面ABCD，求三棱锥GBCH的体积解(1)证明：如题图1，在RtBAE中，AB3，AE，所以AEB60.在RtAED中，AD2，所以DAE30.所以BEAD.如题图2，PFAD
2、，BFAD.又因为ADBC，所以PFBC，BFBC，PFBFF，所以BC平面BFP，又因为BC平面BCP，所以平面BFP平面BCP.(2)解法一：因为平面ADP平面ABCD，平面ADP平面ABCDAD，PF平面ADP，PFAD，所以PF平面ABCD.取BF的中点为O，连接GO，则GOPF，所以GO平面ABCD.即GO为三棱锥GBCH的高且GOPFPAsin30.得三棱锥GBCH的体积V三棱锥GBCHSBCHGOSBCD.解法二：因为平面ADP平面ABCD，平面ADP平面ABCDAD，PF平面ADP，PFAD，所以PF平面ABCD.因为G为PB的中点所以三棱锥GBCH的高等于PF.因为H为CD的
3、中点，所以BCH的面积是四边形ABCD的面积的，从而三棱锥GBCH的体积是四棱锥PABCD的体积的.四棱锥PABCD的体积VPABCDSABCDPF3，所以三棱锥GBCH的体积为.2(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离解(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE
4、为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)解法一：过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH.从而CH平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.从而点C到平面C1DE的距离为.解法二：在菱形ABCD中，E为BC中点，所以DEBC，根据题意有DE，C1E，因为棱柱为直棱柱，所以有DE平面BCC1B1，所以DEEC1，所以SDEC1，设点C到平面C1DE的距离为d，根据题意有VC1CDEVCC1DE，则有d14，解得d.3(2019潮州质量检测)如图，在
5、四棱锥EABCD中，ABCD，ABC90，CD2AB2CE4，点F为棱DE的中点(1)证明：AF平面BCE；(2)若BC4，BCE120，DE2，求三棱锥BCEF的体积解(1)证明：取CE的中点M，连接FM，BM.因为点F为棱DE的中点，所以FMCD且FMCD2，因为ABCD且AB2，所以FMAB且FMAB，所以四边形ABMF为平行四边形，所以AFBM，因为AF平面BCE，BM平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因为ABCD，ABC90，所以CDBC.因为CD4，CE2，DE2，所以CD2CE2DE2，所以CDCE，因为BCCEC，BC平面BCE，CE平面BCE，所以CD平面BCE.因为点F
6、为棱DE的中点，且CD4，所以点F到平面BCE的距离为2.SBCEBCCEsinBCE42sin1202.三棱锥BCEF的体积VBCEFVFBCESBCE222.4(2019陕西省四校联考)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求三棱锥BA1B1D的体积解(1)证明：由正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等可知，AB1A1B.如图，取BC的中点E，连接B1E，AE，则RtBCDRtB1BE，BB1ECBD，CBDBEB1BB1EBEB190，BDB1E.由平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，且AEBC
7、得，AE平面BCC1B1，AEBD，B1E平面AEB1，AE平面AEB1，AEB1EE，BD平面AEB1，BDAB1.A1B平面A1BD，BD平面A1BD，A1BBDB，AB1平面A1BD.(2)由AA1平面BCC1B1，所以点A1到平面BCC1B1的距离为AE.SS222.VVSAE2.故三棱锥BA1B1D的体积为.5(2019上饶市二模)如图所示，在三棱锥PABC中，底面是边长为2的正三角形，PA底面ABC，点E，F，G分别为AC，PC，PB的中点，且异面直线AG和PC所成的角的大小为.(1)求证：平面BEF平面PAC；(2)求三棱锥CABF的体积解(1)证明：ABBC，E为AC的中点，B
8、EAC，又PA平面ABC，BE平面ABC，PABE，PAACA，BE平面PAC.因为BE平面BEF，所以平面BEF平面PAC.(2)取BC的中点H，连接GH，AH(图略)，三角形ABC为正三角形，PA底面ABC，PBPC，又H，G分别为BC，PB的中点，GHPC，AGPB，GHPC，GAGH，又异面直线AG和PC所成的角的大小为，AGH，三角形AGH为正三角形，AGGHAH，PC2，又AC2，PA2，又EFPA，EFPA，EF底面ABC，因此三棱锥CABF的体积等于三棱锥FABC的体积，为22.6(2019揭阳模拟)如图，在四边形ABED中，ABDE，ABBE，点C在AB上，且ABCD，ACB
9、CCD2，现将ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE2.(1)求证：平面PBC平面DEBC；(2)求三棱锥PEBC的体积解(1)证明：ABBE，ABCD，BECD，ACCD，PCCD，PCBE，又BCBE，PCBCC，EB平面PBC，又EB平面DEBC，平面PBC平面DEBC.(2)解法一：ABDE，结合CDEB得四边形DEBC是平行四边形，BECD2，由(1)知EB平面PBC，EBPB，由PE2得PB2，PBC为等边三角形，SPBC22，VPEBCVEPBCSPBCEB2.解法二：ABDE，结合CDEB得四边形DEBC是平行四边形，BECD2，由(1)知EB平面PBC，EBPB，由P
10、E2得PB2，PBC为等边三角形，取BC的中点O，连接OP，则PO，POBC，PO平面EBCD，VPEBCSEBCPO22.7(2019北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点(1)求证：BD平面PAC；(2)若ABC60，求证：平面PAB平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由解(1)证明：因为PA平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD为菱形，所以BDAC.又PAACA，所以BD平面PAC.(2)证明：因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为底面ABCD为菱形，ABC60，且E为CD的中点，
11、所以AECD.所以ABAE.又ABPAA，所以AE平面PAB.因为AE平面PAE，所以平面PAB平面PAE.(3)棱PB上存在点F，使得CF平面PAE.取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，则FGAB，且FGAB.因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CEAB.所以FGCE，且FGCE.所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG.因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF平面PAE.8(2019河北省省级示范性高中联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，D为BC边上一点，BD，AA1AB2AD2.(1)证明：平面ADB1平面BB1C1C；
12、(2)若BDCD，试问：A1C是否与平面ADB1平行？若平行，求三棱锥AA1B1D的体积；若不平行，请说明理由解(1)证明：因为AA1平面ABC，所以BB1平面ABC，又AD平面ABC，所以ADBB1，在ABD中，则AB2AD2BD2，所以ADBC，又BCBB1B，所以AD平面BB1C1C，因为AD平面ADB1，所以平面ADB1平面BB1C1C.(2)A1C与平面ADB1平行证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E(图略)因为BDCD，所以DEAA1，且DEAA1，所以四边形ADEA1为平行四边形，则A1EAD.同理可证CEB1D.因为A1ECEE，所以平面ADB1平面A1CE，又A1C平面A1CE，所以A1C平面ADB1.因为AA1BB1，所以VV，又BD，且易证BD平面AA1D，所以VVV21.
