1、热点探究训练(四)立体几何中的高考热点问题1如图7，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点，求证：图7(1)EF平面MNCB；(2)平面MAC平面BDN.证明(1)取NC的中点G，连接FG，MG.因为MEND且MEND，又因为F，G分别为DC，NC的中点，FGND且FGND，所以FG綊ME，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EFMG.4分又MG平面MNCB，EF平面MNCB，所以EF平面MNCB.6分(2)连接BD，MC，因为四边形MADN是矩形，所以NDAD，又因为平面MADN平面ABCD，平面ABCD平面MADNAD，ND平面M
2、ADN，所以ND平面ABCD，所以NDAC.8分因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.10分因为BDNDD，所以AC平面BDN.又因为AC平面MAC，所以平面MAC平面BDN.12分2(2017合肥质检)如图8，直角三角形ABC中，A60，沿斜边AC上的高BD将ABD折起到PBD的位置，点E在线段CD上图8(1)求证：BDPE；(2)过点D作DMBC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE平面DMN，求的值解(1)证明：BDPD，BDCD且PDDCD，BD平面PCD，而PE平面PCD，BDPE.5分(2)由题意得BMBC，取BC的中点F，则PFMN，PF平面DMN，7分由条件PE平面DMN，P
3、EPFP，平面PEF平面DMN，EFDM.10分.12分3(2017西安调研)如图9，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE. 【导学号：31222266】图9(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解(1)证明：在图中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.2分则在图中，BEA1O，BEOC，且A1OOCO，从而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.5分(2)由已知，平面A1BE
4、平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.8分即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.12分4(2017贵阳模拟)已知如图10，ABC和DBC所在的平面互相垂直，且ABBCBD1，ABCDBC120.图10(1)在直线BC上求作一点O，使BC平面AOD，写出作法并说明理由；(2)求三棱锥ABCD的体积. 【导学号：31222267】解(1)作AOBC，交CB延长线于点O，连接DO，则BC平面AOD.1分证明如下：AB
5、DB，OBOB，ABODBO，AOBDOB，3分则AOBDOB90，即ODBC.又AOODO，BC平面AOD.5分(2)ABC和DBC所在的平面互相垂直，AO平面BCD，即AO是三棱锥ABCD底面BCD上的高，7分在RtAOB中，AB1，ABO60，AOABsin 60.10分又SBCDBCBDsinCBD，V三棱锥ABCDSBCDAO.12分5.如图11，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.图11(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得ACBM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)由题知AB1，AC2，BAC60，可得
6、SABCABACsin 60.2分由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高又PA1，所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.5分(2)证明：在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.7分由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.10分在RtBAN中，ANABcos BAC，从而NCACAN.由MNPA，得.12分6.(2015湖南高考)如图12，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点图12(1)证明：平面AEF平面B1B
7、CC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积解(1)证明：如图，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AEBB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC.3分因此AE平面B1BCC1.而AE平面AEF，所以平面AEF平面B1BCC1.5分(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为ABC是正三角形，所以CDAB.又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1，于是CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.8分由题设，CA1D45，所以A1DCDAB.在RtAA1D中，AA1，所以FCAA1.故三棱锥FAEC的体积VSAECFC.12分