1、6.2.4向量的数量积学 习 目 标核 心 素 养1平面向量的数量积(重点)2投影向量的概念(难点)3向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)1通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养2通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养.大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为.问题：该大力士所做的功是多少？1两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(2)特例：当0时，向量a，b同向当时，向量a，b反向当时，向量a，b垂直，记作ab.2
2、平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考1：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？提示两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量3投影向量设a，b是两个非零向量，a，b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量4向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|cos .(2)ab
3、ab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc.思考2：a(bc)(ab)c成立吗？提示(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立拓展：1两个向量a，b的夹角为锐角时，ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角时，ab0且a，b不共线2数量积的定义中要注意两向量的夹角一定要同起点两向量夹角的范围是0，
4、1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若ab0，则a0或b0.()(2)若a0，则0或a0.()(3)若a2b2，则ab或ab.()(4)若abac，则bc.()答案(1)(2)(3)(4)2已知单位向量a，b，夹角为60，则ab()ABC1DAab11cos 60.3已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A B C DC由条件可知，cos ，又0，.4已知向量a，b满足|a|2，|b|，且a与b的夹角为60，那么ab_.ab|a|b|cos 602.平面向量的数量积运算【例1】(1)已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)(2)
5、如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：；.解(1)(a2b)(a3b)aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|262564cos 60642192.(2)因为，且方向相同，所以与的夹角是0，所以|cos 03319.因为与的夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436.求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角，0，(2)分别求|a|和|b|.(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省略跟进训练1(1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，求：ab；(
6、2ab)(a3b)(2)设正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbcca.解(1)ab|a|b|cos 23cos 603.(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25ab3|b|2222533324.(2)|a|b|c|，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(2)已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，求|b|.思路探究灵活应用a2|a|2求向量的模(1)2|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222
7、244412，所以|a2b|2.(2)解因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210.又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b|60，解得|b|或|b|3(舍去)求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等跟进训练2若向量a，b的夹角为120，|a|1，|a2b|，则|b|()ABC1
8、D2C设向量a，b的夹角为，因为|a2b|2|a|24|b|24|a|b|cos ，又120，|a|1，|a2b|，所以714|b|22|b|，解得|b|(舍去)或|b|1.故选C与向量垂直、夹角有关的问题探究问题1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？提示abab0.2|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？提示|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|，cos .【例3】(1)已知e1与e
9、2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角思路探究(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角(1)(0,1)(1，)e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.(2)解由已知条件得即得23b24
10、6ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，.1将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围解e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.当k1时，e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0且k1.2将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值解由已知得|e1ke2|，|ke1e2|，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k，则cos，即，整理得k24k10，解得k2.1求向量夹角的方法(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式
11、cos 求解(2)用同一个量表示ab，|a|，|b|，代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角2要注意夹角的范围0，当cos 0时，；当cos 0时，当cos 0时，.一、知识必备1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,0时)，也可以为负(当a0，b0，时)，还可以为0(当a0或b0或时)2两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.二、方法必备1求两个非零向量a，b的夹角或其余弦值一般采用夹角公式cos ，根据题中条件分别求出|a|，|b|和ab，确定时要注意0，2由夹角范围求参数的取值范围一般利用以下结论：对于非零向量a
12、，b，其夹角为，则ab0；ab0，转化为不等式(组)求解1在ABCD中，DAB30，则与的夹角为()A30B60C120D150D如图，与的夹角为ABC150.2已知单位向量a，b，则(2ab)(2ab)的值为()A B C3D5C由题意得(2ab)(2ab)4a2b2413.3已知平面向量a，b满足a(ab)3且|a|2，|b|1，则向量a与b的夹角为()A B C DC因为a(ab)a2ab42cosa，b3，所以cosa，b，又因为a，b0，所以a，b.4已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|2，若(ab)a，则实数_.根据题意得ab|a|b|cos1，因为(ab)a，所以(ab)aa2ab0，所以.5已知在ABC中，ABAC4，8，则ABC的形状是_等边三角形因为|cosBAC，即844cosBAC，于是cosBAC，所以BAC60.又ABAC，故ABC是等边三角形
