1、10.1.4概率的基本性质学 习 目 标核 心 素 养1.通过实例，理解概率的性质(重点、易混点)2掌握随机事件概率的运算法则(难点)1.通过对概率性质的学习，培养数学抽象素养2通过利用随机事件概率的运算法则求解随机事件的概率，培养数学运算素养.甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.问题：甲获胜的概率是多少？概率的基本性质性质1对任意的事件A，都有P(A)0.性质2必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P()1，P()0.性质3如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)性质4如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)，P(A)1P(B)
2、性质5如果AB，那么P(A) P(B)性质6设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB) P(A)P(B)P(AB)思考1：设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件AB发生的概率是P(A)P(B)吗？提示不一定当事件A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)；当事件A与B不互斥时，P(AB)P(A)P(B)P(AB)思考2：从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记 “其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件是什么？提示事件A的对立事件是“其中至多有2名女同学”1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若A与B为互斥事件，则P(A)P(
3、B)1.()(2)若P(A)P(B)1，则事件A与B为对立事件()(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”()提示(1)错误只有当A与B为对立事件时，P(A)P(B)1.(2)错误(3)错误事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩不高于60分”答案(1) (2) (3)2甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为()A0.2B0.8C0.4D0.1B乙获胜的概率为10.20.8.3中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺
4、得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.4若P(AB)0.7，P(A)0.4，P(B)0.6，则P(AB)_.0.3因为P(AB) P(A)P(B)P(AB)，所以P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.40.60.70.3.互斥事件、对立事件的概率公式及简单应用【例1】备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：命中环数10环9环8环7环概率
5、0.320.280.180.12求该选手射击一次，(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率解记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k7,8,9,10)(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9A10)P(A9)P(A10)0.280.320.60.(2)记“至少命中8环”为事件B BA8A9A10，又A8，A9，A10两两互斥，所以P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.(3)记“命中不足8环”为事件C则事件C与事件B是对立事件所以P(C)1P(B)10.780.22.互斥事件、对立事件的概率公式的应用(1)互斥事件的概率加
6、法公式P(AB)P(A)P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)P(B)1，求出符合条件的事件的概率1在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：(1)小王在数学考试中取得80分以上(含8
7、0分)成绩的概率；(2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分)解设小王的成绩在90分以上(含90分)、在8089分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则DAB，所以P(D)P(AB)P(A)P(B)0.180.510.69.(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)1P(C)10.070.93.互斥事件、对立事件的概率公式的综合应用探究问题1若事件A和事件B为互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(AB)有什么关系？提示P(AB)P(A)P(B)2若事件A和事件
8、B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(AB)有什么关系？提示P(AB) P(A)P(B)P(AB)3若事件A和事件B是对立事件，那么P(A)，P(B)有什么关系？提示P(A)P(B)1.【例2】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时，(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率思路探究解将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的样本点的总数为24.(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A).(2)设事件B为
9、“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B).1求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率解由本例解析可知，设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C).2求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率解法一：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事件E包含6个样本点，则DAE, 且事件A与E为互斥事件，所以P(D)P(AE)P(A)P(E).法二：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，则BC，所以P(D)1P(BC)1P(B)P(C)1.1当事件个数没有很明显的
10、规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况2在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便概率与统计的综合应用问题【例3】已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n0,100)时，拥挤等级为“优”；当n100,200)时，拥挤等级为“良”；当n200,300)时，
11、拥挤等级为“拥挤”；当n300时，拥挤等级为“严重拥挤”该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)游客数量(单位：百人)0,100)100,200)200,300)300,400天数a1041频率b(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率解(1)游客人数在0,100)范围内的天数共有15天，故a15，b，游客人数的平均值为50150250350120(百人)(2)从5天中任选2天，试验的样本空
12、间(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个样本点，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3个，故所求概率为.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 2某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.2
13、4.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人数22211(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率解(1)高三(1)班8名学生视力的平均值为4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，
14、(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4，4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P.一、知识必备1多个互斥事件的概率公式如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率和2性质6中公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)适用于一个随机试验中的任意两个事件，也适用于A，B为互斥事件的情况，因为互斥事件满足P(AB)0，此时公式变为P(AB)P(A)P(B)
15、，这就是互斥事件的概率加法公式二、方法必备1运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率，然后用加法公式求出结果2求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误1从集合a，b，c，d，e的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合a，b，c的子集的概率是，则该子集恰是集合a，b，c的子集的概率是()ABCDC该子集恰是
16、a，b，c的子集的概率为P1.2甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是_记甲队胜为事件A，则P(A)1.3如图所示，靶子由一个中心圆面和两个同心圆环、构成，射手命中、的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是_0.10“射手命中圆面”为事件A，“命中圆环”为事件B，“命中圆环”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.350.300.250.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)1P(ABC)10.900.10.4一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔
17、断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为_0.96设A“甲熔丝熔断”，B“乙熔丝熔断”，则甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件ABP(AB)P(A)P(B)P(AB)0.850.740.630.96.5甲、乙、丙、丁四人参加4100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为_设事件A“甲跑第一棒”，事件B“乙跑第四棒”，则P(A)，P(B).记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1,4)，故P(AB)；所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P(AB)P(A)P(B)P(AB).