1、专题七解三角形本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019安庆二模)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2AasinB，且c2b，则等于()A. B. C. D.答案D解析由bsin2AasinB，得2sinBsinAcosAsinAsinB，得cosA.又c2b，由余弦定理得a2b2c22bccosAb24b24b23b2，得.故选D.2(2019黄山一模)已知ABC的三边满足条件3，则A()A3
2、0 B45 C60 D120答案D解析3整理可得b2c2a2bc，由余弦定理可得cosA，A(0，180)，A120.故选D.3(2019长春调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC2ccosBa，且B2C，则ABC的形状是()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形答案B解析2bcosC2ccosBa，2sinBcosC2sinCcosBsinAsin(BC)，即sinBcosC3cosBsinC，tanB3tanC，又B2C，3tanC，解得tanC.C(0，)，C，B2C，A，故ABC为直角三角形4(2019东莞模拟)已知ABC的内角分别为A，
3、B，C，AC，BC2，B60，则BC边上的高为()A. B. C. D.答案B解析由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcosB，得7AB244ABcos60，即AB22AB30，得AB3，得BC边上的高为ABsin60，故选B.5(2019重庆模拟)如图所示的直角坐标系中，角，角的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足SAOB，则sin的值为()A B C. D.答案D解析因为sin，所以0.又0，SAOBOAOBsinAOBsinAOB，所以AOB，所以AOB，即.sinsincossin2sincossinsincos.故选D.6(2019南阳一中二模)在ABC中，内角A
4、，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sinBcosB，则A的大小为()A.或 B. C.或 D.答案B解析sinBcosBsin，B，B.由正弦定理，得sinA.ab，A.7(2019广州调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，c4，cosB，则ABC的面积等于()A3 B. C9 D.答案B解析解法一：由余弦定理b2a2c22accosB，代入数据，得a3，又cosB，B(0，)，所以sinB，所以SABCacsinB，故选B.解法二：由cosB，B(0，)，得sinB，由正弦定理及b，c4，可得sinC1，所以C，所以sinAcosB，所以SABCbcsin
5、A，故选B.8(2019广东七校联考)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA，a2，SABC，则b的值为()A. B. C2 D2答案A解析因为ABC为锐角三角形，sinA，所以cosA.由SABCbcsinA，得bc3.由cosA得b2c26.联立，解得b，故选A.9(2019广西桂林、贺州联考)设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.如果(abc)(bca)3bc，且a，那么ABC外接圆的半径为()A2 B4 C. D1答案D解析(abc)(bca)(bc)2a23bc，化为b2c2a2bc.cosA，sinA，由正弦定理可得ABC外接圆的半径R1.
6、10(2019成都二诊)某小区打算将如图的一直角三角形ABC区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观已知AB20 m，AC10 m，则DEF区域内面积(单位：m2)的最小值为()A25 B.C. D.答案D解析ABC是直角三角形，由AB20 m，AC10 m，可得CB10，因为DEF是等边三角形，设CED，DEx，那么BFE30，CExcos，在BFE中，由正弦定理可得，可得x，其中tan.所以x.则DEF的面积Sx2sin60.故选D.11(2019首师大附中一模)如图，平面四边形ABCD中，ABCADC90，BCCD2，点E在对角线AC上，AC4，AE1，则的
7、值为()A17 B13 C5 D1答案D解析由题意可知CE3，BCE60，EB，cosBEC，cosBED2cos2BEC1.1.故选D.12(2019广东化州市高三模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若SABC2，ab6，2cosC，则c()A2 B4 C2 D3答案C解析1，即有2cosC1，可得C60，若SABC2，则absinC2，即为ab8，又ab6，由c2a2b22abcosC(ab)22abab(ab)23ab623812，解得c2.故选C.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2019全国卷)ABC的内角A，B，
8、C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_答案6解析由余弦定理得b2a2c22accosB.又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，a4，SABCacsinB426.14(2019汕头市高三上学期期末)在ABC中，BC2，AC3，A2B，D是BC上一点且ADAC，则ABD的面积为_答案解析BC2，AC3，A2B，在ABC中，由正弦定理，可得，解得cosB，可得sinB，cosAcos2B2cos2B1，ADAC，sinBADsincosA，可得cosBAD，sinADBsin(BADB)，在ABC中，由余弦定理可得32AB2(2)22AB2，解得AB1或3.若A
9、BAC3，则BC.由A2B可得BC，A即B和D重合，矛盾AB1，在ABD中，由正弦定理，可得AD，SABDABADsinBADABAD.15(2019浙江联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A60，且ABC外接圆半径为，则a_，若bc3，则ABC的面积为_答案3解析A60，且ABC外接圆半径R为，由正弦定理2R，可得a2RsinA2sin603，bc3，由余弦定理a2b2c22bccosA，可得9b2c2bc(bc)23bc273bc，解得bc6，SABCbcsinA6.16(2019江西省九江市一模)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2Acos2B
10、sin2CsinBsinC，且ABC的面积为，则a的值为_答案2解析ABC中，由cos2Acos2Bsin2CsinBsinC，得1sin2A(1sin2B)sin2Csin2Bsin2Csin2AsinBsinC，b2c2a2bc，由余弦定理得cosA，又A(0，)，A.由正弦定理，即，化简得a23bc.又ABC的面积为SABCbcsinA，bc4，a212，解得a2.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2019宁夏二模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若b，c4，点D在ABC内，且BD
11、，BDCA，求BDC的面积解(1)，acosBccosAbcosA，由正弦定理可得sinAcosBsinCcosAsinBcosA，可得sin(AB)sinCsinCcosA，sinC0，cosA，A(0，)，A.(2)A，b，c4，由余弦定理可得，BC，BDCA，BDC，又BD，由余弦定理可得BC2BD2CD22BDCDcosBDC，即102CD22CD，可得CD22CD80，解得CD2或4(舍去)，SBDCBDCDsinBDC21.18(本小题满分12分)(2019南昌八校联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，中线ADm，满足a22bc4m2.(1)求BAC；(2)若a2
12、，求ABC的周长的取值范围解(1)在ABD和ACD中，由余弦定理，得c2m2a2macosADB，b2m2a2macosADC，因为ADBADC，所以cosADBcosADC0，b2c22m2a2，m2b2c2a2，由已知a22bc4m2，得a22bc2b22c2a2，即b2c2a2bc，cosBAC，又0A，所以BAC.(2)在ABC中，由正弦定理得，又a2，所以bsinB，csinCsin，故bcsinBsin4sin，因为0B，故B，所以sin1，bc(2,4，故ABC的周长的取值范围是(4,619(本小题满分12分)(2019四平一中模拟)在ABC中，3sinA2sinB，tanC2.
13、(1)证明：ABC为等腰三角形；(2)若ABC的面积为2，D为AC边上一点，且BD3CD，求线段CD的长解(1)证明：3sinA2sinB，3a2b，tanC2，cosC，设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b22acosCb2，即bc，则ABC为等腰三角形(2)tanC2，sinC，则ABC的面积SabsinCa22，解得a2.设CDx，则BD3x，由余弦定理可得(3x)2x2224x，解得x(负根舍去)，从而线段CD的长为.20(本小题满分12分)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinbsinA.
14、(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sinAsinsinBsinA.因为sinA0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，所以30，所以B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由(1)知AC120，由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，得30C90，所以a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.21(本小题满分12分)(2019湖南师大附中月考)已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足sinBsinC(s
15、in2Bsin2Csin2A)tanA.(1)求角A的大小；(2)若ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求()的取值范围解(1)由正弦定理，得，即sinA.又A是锐角，A.(2)()(2)22cosAOBcosAOC2cos2Ccos2B2coscos2B2cos2Bsin2B2cos2.ABC是锐角三角形，B，2B，则2B，1cos，故()的取值范围是.22(本小题满分12分)(2019天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a,3csinB4asinC.(1)求cosB的值；(2)求sin的值解(1)在ABC中，由正弦定理，得bsinCcsinB.由3csinB4asinC，得3bsinC4asinC，即3b4a.因为bc2a，所以ba，ca.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)可得sinB，从而sin2B2sinBcosB，cos2Bcos2Bsin2B，故sinsin2Bcoscos2Bsin.