1、第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第八节离散型随机变量的均值与方差正态分布A级基础过关|固根基|1.(2019届广东东莞模拟)假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且E(X)6，则p的值为()A0.4B0.5C0.6D0.8解析：选C由已知得XB(10，p)，E(X)10p6，解得p0.6.故选C2(2019届福建宁德二模)某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，2)(0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在9
2、0分到105分之间的人数约为()A150B200C300D400解析：选C由题意知，P(X120)0.2，P(90X120)10.40.6，P(90X105)P(90X120)0.3，此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1 0000.3300.故选C3(2019届郑州市第二次质量预测)如图，在曲线C(曲线C为正态分布N(2，4)的密度曲线)与x轴围成的区域中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()(附：XN(，2)，则P(X)0.682 7；P(2X2)0.954 5.)A906B2 718C1 359D3 413解析：选C因为xN(2，4)，所以正态分布密
3、度曲线关于直线x2对称，且2，2.因为P(x)P(4x0)0.682 7，P(2x2)P(6x2)0.954 5，所以P(0x2)P(6x2)P(4x0)(0.954 50.682 7)0.135 9.设落入阴影部分的点的个数为m，则0.135 9，解得m1 359，故选C4(2019届乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()ABC2D解析：选D因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，P(X2)，P(X3)，所以E(X)23.5(2
4、019届安徽巢湖一模)某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，最后选择题的得分为Y分，则D(Y)D(X)()ABCD解析：选A设A学生答对题的个数为m，得分为5m分，则mB，D(m)12，D(X)25.设B学生答对题的个数为n，得分为5n分，则nB，D(n)12，D(Y)25.D(Y)D(X).故选A6(2019届南宁二中、柳州高中第二次联考)甲、乙两类水果的质量(单位：k
5、g)分别服从正态分布N(1，)，N(2，)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A甲类水果的平均质量为0.4 kgB甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D乙类水果的质量服从的正态分布的参数21.99解析：选D由图象可知甲的正态曲线关于直线x0.4对称，乙的正态曲线关于直线x0.8对称，所以10.4，20.8，故A、C正确；由题图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B正确；因为乙的正态曲线的最大值为1.99，即1.99，所以21.99，故D错误故选D7(2019届石家庄一模)已知随机变量X服从
6、正态分布N(2，1)，若P(Xa2)P(X2a3)，则a_解析：因为随机变量X服从正态分布N(2，1)，所以2，即正态曲线的对称轴为2.因为P(Xa2)P(X2a3)，所以a22a34，所以a1.答案：18(2019届丹东二模)某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的粒子数记为X，则X的数学期望E(X)_.解析：设没有发芽的种子数为Y，则有X2Y.由题意可知Y服从二项分布，即YB(1 000，0.15)，E(Y)1 0000.15150，E(X)2E(Y)300.答案：3009(2019年天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：3
7、0之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故XB，从而P(Xk)C，k0，1，2，3.所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)32.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则YB，且MX3，Y1X2，Y
8、0由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由(1)知P(M)P(X3，Y1X2，Y0)P(X3，Y1)P(X2，Y0)P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0).10(2020届陕西摸底)某市有A，B，C，D 4个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，该游客是否游览这4个景点相互独立(1)求该游客至多游览1个景点的概率；(2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的分布列和数学期望E(X)解：(1)记“该游客游览i个景点”为事件Ai，i0，1，则P(A0)，P(A1)C.该游客至多游览1个景点的概率PP
9、(A0)P(A1).(2)由题意知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X0)P(A0)，P(X1)P(A1)，P(X2)CC，P(X3)CC，P(X4)，X的分布列为X01234P故E(X)01234.B级素养提升|练能力|11.(2019年浙江卷)设0a1，随机变量X的分布列是X0a1P则当a在(0，1)内增大时，()AD(X)增大BD(X)减小CD(X)先增大后减小DD(X)先减小后增大解析：选D由题意可得，E(X)(a1)，所以D(X)，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大故选D12(2019届昆明质检)某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正
10、态分布N(84，2)，且P(78X84)0.3.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为()A60B80C100D120解析：选B根据正态分布密度曲线的对称性可知P(84X90)P(78X84)0.3，所以P(X90)0.5P(84X90)0.2，所以该校数学成绩不低于90分的人数约为4000.280.13(2019届福建省高三质检)已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止若检测一台机器的费用为1 000元，则所需检测费的均值为()A3 200元B3 400元C3 500元D3 600元解析：选C解法一：设被检测机器的台数为X，则X
11、的所有可能取值为2，3，4.因为P(X2)，P(X3)，P(X4)，所以E(X)234，所以所需检测费的均值为1 0003 500(元)，故选C解法二：设所需检测费为Y元，则Y的所有可能取值为2 000，3 000，4 000.因为P(Y2 000)，P(Y3 000)，P(Y4 000)，所以所需检测费的均值E(Y)2 0003 0004 0003 500(元)，故选C14(2020届湖北部分重点中学联考)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围/度0，210(210，400(400，)某市随机
12、抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电编号12345678910用电量/度538690124132200215225300410(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算居民用电户月用电410度时应交电费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布列与期望；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户月用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值解：(1)由题意知，居民用电户月用电410度时应交电费2100.5(400210)0.6(410400)0.8227(元)(2)设取到第二阶梯电量的用户数为，由题意可知第二阶梯电的用户有3户，则可取0，1，2，3，P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列是0123P所以E()0123.(3)由题意可知，从全市中抽取10户，设其月用电量为第一阶梯的户数为X，则XB，P(Xk)C(k0，1，2，3，10)，解得k，kN*，所以当k6时，概率最大，所以k6.