1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十八)反证法一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014合肥高二检测)用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.实数a，b，c满足a+2b+c=2，则()A.a，b，c都是正数B.a，b，c都大于1C.a，b，c都小于2D.a，b，c中至少有一个不小于【解析】选D.假设a，b，c均小于，
2、则a+2b+c+1+=2，与已知矛盾，故假设不成立，所以a，b，c中至少有一个不小于.3.(2014唐山高二检测)(1)已知：p3+q3=2，求证：p+q2.用反证法证明时，可假设p+q2.(2)已知：a，bR，|a|+|b|2.(2)假设正确.故选D.4.(2014杭州高二检测)设a，b，c大于0，则3个数：a+，b+，c+的值()A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2【解题指南】因为三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.【解析】选D.假设a+，b+，c+都小于2，即a+2，b+2，c+2，所以+0，b0，c
3、0，所以+=+2+2+2=6.这与假设矛盾，所以假设不成立.【变式训练】已知x10，且x11，且xn+1=(n=1，2，3).试证：数列xn对任意正整数n都满足xnxn+1.当此题用反证法否定结论时，应为()A.对任意的正整数n，都有xn=xn+1B.存在正整数n，使得xn=xn+1C.存在正整数n，使xnxn-1且xnxn+1D.存在正整数n，使得(xn-xn-1)(xn-xn+1)0【解析】选B.对于数列中的连续两项来说，要么不相等，要么相等.5.设a，b，c是正数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于零”的()A.充分条件B.必要条件C.充
4、分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然，充分性：若PQR0，则P，Q，R同时大于零或其中两个为负，不妨设P0，Q0，因为P0，Q0，即a+bc，b+ca，所以a+b+b+cc+a，即b0矛盾，所以P，Q，R同时大于零，故选C.6.若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【解析】选B.分ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则ADB+ADC=，若ADB为钝角，则ADC为锐角.而ADCBAD，ADCABD，ABD与ACD不可能相似，与已知不符，只有当ADB=AD
5、C=BAC=时，才符合题意.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_.【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.答案：没有一个是三角形或四边形或五边形8.(2014石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：a+b=1；a+b=2；a+b2；a2+b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号).【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.【解析】若a=，b=，则a+b=1，但a1，b2，故不能推出.对于，即a+b2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则a+
6、b2与a+b2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：9.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：A+B+C=90+90+C180，这与三角形内角和为180相矛盾，则A=B=90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设A=B=90.正确顺序的序号排列为_.【解析】由反证法证明的步骤知，先反设即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2013南阳高二检测)已知a，b，c，dR，且a+b=c+d=1，ac+bd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是
7、负数.【解题指南】反证法来证明正难则反的运用，先否定结论，假设a，b，c，d都是非负数，然后推出矛盾来得到证明.【证明】假设a，b，c，d都是非负数，因为a+b=c+d=1，所以(a+b)(c+d)=1.又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bcac+bd，所以ac+bd1，这与已知ac+bd1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.【拓展提升】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)“必然性”命题.(8)涉及“无限”结论
8、的命题等.11.求证过一点只有一条直线与已知平面垂直.【解题指南】文字叙述题的证明应先写出已知，求证，本题证明时应分两种情况，即点P在平面内和点P在平面外.【证明】已知：平面和一点P.求证：过点P与平面垂直的直线只有一条.证明：如图所示，不论点P在内或外，设PA，垂足为A(或P).假设过点P还有另一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且=a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，所以假设不成立，原命题成立.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014济宁高二检测)用反证法证明命题“+是无理数”时，假设正确的是()A.假
9、设是有理数B.假设是有理数C.假设或是有理数D.假设+是有理数【解析】选D.假设结论的反面成立，+不是无理数，则+是有理数.2.(2014潍坊高二检测)否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解【解析】选C.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.3.已知直线a，b为异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行
10、直线.4.已知数列an，bn的通项公式分别为an=an+2，bn=bn+1(a，b是常数，且ab)，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是()A.0B.1C.2D.无穷多个【解题指南】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，推理得出矛盾.【解析】选A.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，则有an+2=bn+1，得到(a-b)n=-1，这样的n是不存在的，故假设不成立.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014郑州高二检测)若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_.【解析】假设两个一元二次方程
11、均无实根，则有即解得a|-2a-1，所以其补集a|a-2或a-1即为所求的a的取值范围.答案：a|a-2或a-16.完成反证法证题的全过程.设a1，a2，a7是1，2，7的一个排列，求证：乘积p=(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明：假设p为奇数，则a1-1，a2-2，a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数=_=_=0.但0奇数，这一矛盾说明p为偶数.【解题指南】利用奇数个奇数之和为奇数，把a1-1，a2-2，a7-7相加，利用a1+a2+a7=1+2+7可推出矛盾.【解析】据题目要求及解题步骤，因为a1-1，a2-2，a7-7均为奇数，所以(a1-1)+(a2-2)+
12、(a7-7)也为奇数.即(a1+a2+a7)-(1+2+7)为奇数.又因为a1，a2，a7是1，2，7的一个排列，所以a1+a2+a7=1+2+7，故上式为0.所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)=(a1+a2+a7)-(1+2+7)=0.答案：(a1-1)+(a2-2)+(a7-7)(a1+a2+a7)-(1+2+7)三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2013临沂高二检测)已知a，b，c(0，1).求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.【证明】假设(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于.因为0a1，0b0.由基本不等式，得=.同理，.将这三个
13、不等式两边分别相加，得+，即，这是不成立的，故(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于.8.(2014温州高二检测)设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn.证明数列cn不是等比数列.【解题指南】假设数列cn是等比数列，利用an，bn是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设不成立.【证明】假设数列cn是等比数列，则(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).因为an，bn是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以=an-1an+1，=bn-1bn+1.代入并整理，得2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn，即2=+.
14、当p，q异号时，+2，与相矛盾.故数列cn不是等比数列.【拓展延伸】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)涉及“无限”结论的命题等.【变式训练】已知f(x)=x2+px+q.求证：(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.【解题提示】至少有一个不小于的反面是都小于.【证明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2，而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2，这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2相矛盾，从而假设不成立，原命题成立.关闭Word文档返回原板块
