1、专题十六圆锥曲线方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2019白银二模)已知点M为双曲线C：x21的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|F1F2|MF2|()A1 B4 C6 D8答案B解析由双曲线C：x21，可得a1，b2，c3，点M为双曲线C：x21的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|F1F2|MF2|2a2c4.故选B.2(2019天津高考)已知抛物线y24x的焦点为F，准线
2、为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析由已知易得，抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线l：x1，所以|OF|1.又双曲线的两条渐近线的方程为yx，不妨设点A，B，所以|AB|4|OF|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又双曲线方程中c2a2b2，所以c25a2，所以e.故选D.3(2019长沙模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)，以点P(b,0)为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若MPN90，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解
3、析不妨设双曲线C的一条渐近线bxay0与圆P交于M，N，因为MPN90，所以圆心P到bxay0的距离为a，即2c22a2ac，解得e.故选A.4(2019黑龙江月考)已知抛物线C：y的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|2y0，则x0()A2 B2 C4 D4答案D解析由y得x28y，抛物线C的准线方程为y2，焦点为F(0,2)由抛物线的性质及题意，得|AF|2y0y02.解得y02，x04.故选D.5(2019咸宁模拟)已知F1，F2为双曲线C：1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|2|PF2|，则cosF1F2P()A. B. C. D答案D解析由题意可知，a4，b3，
4、c5，设|PF1|2x，|PF2|x，则|PF1|PF2|x2a8，故|PF1|16，|PF2|8，又|F1F2|10，利用余弦定理可得cosF1F2P.6(2019安徽名校联考)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. B. C. D.答案D解析设抛物线C：y28x的准线为l，易知l：x2，直线yk(x2)恒过定点P(2,0)，如图，过A，B分别作AMl于点M，BNl于点N，由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|，点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为1，k0，点B的坐标为(
5、1,2)，k.故选D.7(2019广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线xy20与椭圆C：1(ab0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：yx的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为()A. B. C1 D2答案C解析联立方程可得消去x，化简得(a22b2)y28b2yb2(8a2)0，由0得2b2a280.设F为椭圆C的左焦点，连接FE，易知FEl，所以FEEF，又点F到直线l的距离d，所以|EF|，|FE|2a|EF|，在RtFEF中，|FE|2|EF|2|FF|2，化简得2b2a2，代入2b2a280得b22，a2，所以|EF|FE|2，所以SOEFSFEF1.8(2019广西
6、南宁联考)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是()A. B. C. D.答案C解析因为点M为直线xy50与椭圆1(ab0)相交的弦的中点，所以由中点弦公式可知yMxM，代入M(4,1)的坐标，解得，则e.故选C.9(2019湖南百校联盟联考)已知椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M，N两点若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A解析圆O与直线BF相切，圆O的半径为，即OC，四边形FAMN
7、是平行四边形，点M的坐标为，代入椭圆方程得1，5e22e30，又0eb0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.11(2019嘉兴二模)已知A(3,0)，B(2,1)是椭圆1内的点，M是椭圆上的一动点，则|MA|MB|的最大值与最小值之和为()A20 B12 C22 D24答案A解析由题意知A为椭圆
8、的右焦点，设左焦点为F1，由椭圆的定义知|MF1|MA|10，所以|MA|MB|10|MB|MF1|.又|MB|MF1|BF1|，所以|BF1|MB|MF1|BF1|，如图，设直线BF1交椭圆于M1，M2两点当M为点M1时，|MB|MF1|最小，当M为点M2时，|MB|MF1|最大所以|MA|MB|的最大值为10，最小值为10.故|MA|MB|的最大值与最小值之和为20.12(2019衡水中学高三上学期四调)已知y24x的准线交x轴于点Q，焦点为F，过Q且斜率大于0的直线交y24x于A，B，AFB60，|AB|()A. B. C4 D3答案B解析设A(x1,2 )，B(x2,2 )，x2x10
9、，因为kQAkQB，即，整理化简得x1x21，|AB|2(x2x1)2(22 )2，|AF|x11，|BF|x21，代入余弦定理，|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos60整理化简得，x1x2，又因为x1x21，所以x1，x23，|AB|.故选B.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2019桂林模拟)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距离为_答案解析由题意知，a3，b4，c5，从而|F1F2|10，|PF1|PF2|6.设|PF1|与|PF2|中较小的为s，则较大的为6s，因为PF
10、1PF2，所以s2(6s)2100，得s26s32.由PF1F2为直角三角形，知点P到x轴的距离d.14(2019昆明模拟)已知点A是抛物线y22px(p0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，FBC为正三角形，且ABC的面积是，则抛物线的标准方程为_答案y216x解析如图，设抛物线的准线交x轴于点D，依题意得|DF|p，cos30，因此|BF|，|AF|BF|.由抛物线的定义知，点A到准线的距离也为，又ABC的面积为，因此有，p8，所以该抛物线的标准方程为y216x.15(2019河南八校联考)已知椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于
11、P，Q两点，若|PQ|a，APPQ，则椭圆C的离心率为_答案解析不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|，因为APPQ，所以在RtPOA中，cosPOA，故POA60，易得P，代入椭圆方程得1，故a25b25(a2c2)，所以椭圆C的离心率e.16(2019沈阳市高三一模)抛物线y26x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为_答案3解析由题意知，焦点坐标为，准线方程为x，M(x1，y1)到焦点的距离等于到准线的距离，所以x1，x13，y18，|OM|3.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)
12、(2019长春四校联考)已知平面上一动点P到定点F(，0)的距离与它到直线x的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：ykxm与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求MON面积的最大值解(1)设P(x，y)，则，化简得y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k21)x28kmx4m240，依题意，得(8km)24(4k21)(4m24)0，化简，得m24k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4
13、m25x1x2，(4k25)4km4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简，得m2k2，|MN|x1x2|，原点O到直线l的距离d，SMON|MN|d .设4k21t，由得0m2，k2，所以t6，0，解得k0，解得k0或k0)，点O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0,1)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为k的直线l交椭圆E于C，D两点，交y轴于点T(0，t)(t1)，问是否存在实数t使得以CD为直径的圆恒过点B？若存在，求t的值；若不存在，说明理由解(1)设点M的坐标为(x0，y0)，x0
14、，y0，又，a2，椭圆E的方程为y21.(2)设直线l的方程为ykxt，代入y21，得(4k21)x28ktx4t240.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.假设存在实数t，使得以CD为直径的圆恒过点B，则.(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)0，即x1x2(kx1t1)(kx2t1)0，得(k21)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20，整理得5t22t30，解得t(t1)，即当t时，符合题意21(本小题满分12分)(2019洛阳统考)已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线yx与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是
15、椭圆C的右焦点F2，椭圆C的另一个焦点是F1，且.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点(1,0)，且与椭圆C交于P，Q两点，求F2PQ的内切圆面积的最大值解(1)设椭圆方程为1(ab0)，点M在直线yx上，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2(c,0)，则点M.c1.又解得椭圆方程为1.(2)由(1)知F1(1,0)，过点F1(1,0)的直线与椭圆C交于P，Q两点，则F2PQ的周长为4a8.又SF2PQ4ar(r为三角形内切圆半径)，当F2PQ的面积最大时，其内切圆面积最大设直线l方程为xky1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则消去x得(43k2)y26ky90，SF2PQ|F
16、1F2|y1y2|.令t，则t1，SF2PQ.令f(t)3t，f(t)3，当t1，)时，f(t)0，f(t)3t在1，)上单调递增，SF2PQ3，当t1时取等号，即当k0时，F2PQ的面积最大值为3.结合SF2PQ4ar3，得r的最大值为.内切圆面积的最大值为.22(本小题满分12分)(2019天津高考)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM,0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.