1、课时作业(二十四)抛物线的几何性质一、选择题1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()Ax23y By26xCx212y Dx26y2若抛物线y22px的焦点与双曲线y21的右焦点重合，则p的值()A1 B1C4 D63过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1x26，则|AB|的值为()A10 B8C6 D44等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则RtABO的面积是()A8p2 B4p2C2p2 Dp2二、填空题5抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到A
2、B的距离为_6已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A、B两点，若ABF为等边三角形，则p_.7在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的标准方程是_三、解答题8求抛物线yx2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离9已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离尖子生题库10已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(
3、1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切课时作业(二十四)抛物线的几何性质1解析：依题意知抛物线方程为x22py(p0)的形式，又3，p6,2p12，故方程为x212y.答案：C2解析：p4，解得p4.答案：C3解析：y24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.答案：B4解析：由抛物线的对称性，可知kOA1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，2p)，SABO2p4p4p2.答案：B5解析：不妨设A(x,2)，则(2)24x.所以x3，所以AB的方程为x3，抛物线的焦点为(1,
4、0)所以焦点到AB的距离为2.答案：26解析：由题意知B，代入方程1得p6.答案：67解析：线段OA的垂直平分线为4x2y50，与x轴的交点为，抛物线的焦点为，其标准方程是y25x.答案：y25x8解析：抛物线的对称轴为y轴，把A(x0,2)代入yx2，得x16，即|x0|4，故A到y轴的距离为4.9解析：(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60.又F，所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|
5、AF|BF|x1x2x1x2px1x23，所以x1x26.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的距离等于3.10证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
