1、7.3.1三角函数的周期性学 习 目 标核 心 素 养1理解周期函数的定义(难点)2知道正弦函数、余弦函数的最小正周期(重点)3会求函数yAsin(x)和yAcos(x)以及yAtan(x)的周期(重点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？1周期函数的定义(1)设函数yf(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的xA，都有xTA，并且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)
2、的最小正周期(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由提示由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有sin(2x)sin x故正弦函数、余弦函数也具有周期性思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？提示并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)C，任
3、一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的周期一般地，函数yAsin(x)及yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T函数yAtan(x) (其中A，为常数，且A0，0)的周期为思考3：6是函数ysin x(xR)的一个周期吗？提示是1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)周期函数都一定有最小正周期()(2)周期函数的周期只有唯一一个()(3)周期函数的周期可以有无数多个()答案(1)(2)(3)2函数ysin的周期是_2T23函数f(x)2cos的周期是_T求三角函数的周期【例1】求下列函数的最小正周期(1)f(x)2sin；(2)f(x)
4、2tan；(3)y|sin x|；(4)f(x)2cos(a0)思路点拨利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解解(1)T6，最小正周期为6(2)T，最小正周期为(3)由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为验证：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的最小正周期是(4)T，最小正周期为利用公式求yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期时，要注意的正负，公式可记为T.1已知f(x)cos的最小正周期为，则_10由题意可知，所以10周期性的应用探究问题1若函数f(x)满足f(xa)(f(x)0，a0)，则f(x)是否是周期函数？若是，
5、求其最小正周期提示f(x2a)f(xa)af(x)，T2a，即f(x)是周期函数，且最小正周期为2a2若f(x)满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期提示f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)，f(x)是周期函数，且最小正周期为2a【例2】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值思路点拨解f(x)的最小正周期是，fff又f(x)是R上的偶函数，ffsin，f1(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值解f(x)的最小正周期为，fff，f(x)是R上
6、的奇函数，ffsin ，f2(变结论)本例条件不变，求f的值解f(x)的最小正周期为，fff，f(x)是R上的偶函数，ffsin f函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.2若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)6，则f(1)f(6)_6因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)f(1) f(1)6，则f(1) 6因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f(2)f(2)，f(2)f(2)，所以f(2)f(2)0，所以f(6) f(2)0，即f(1)f(6)61本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期2本节课重点掌握求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解(2)公式法，对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解1函数y3sin的最小正周期为()ABC D2CT2若函数ycos(0)的最小正周期是，则_2T，20，23若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)2，则f(4)_2f(4)f(22)f(2)24若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值解f(x)是以为周期的奇函数，fffffff，又f1，ff1
