江苏省苏锡常镇四市2022届高三数学下学期5月二模试题.doc

1、 1 江苏省苏锡常镇四市 2022 届高三数学下学期 5 月二模试题(满分：150 分 考试时间：120 分钟)一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足(1i)z2，则|z|()A.1 B.2 C.2 D.2 2 2.已知集合 A x|log2x4，Bx|2x0 的解集为()A.B.(1，0)(0，1)C.(1，1)D.(，1)(1，)5.已知 cos(56)sin，则 tan()A.3 B.33 C.33 D.3 6.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：x2a21

2、y2b21 1(a1b10)与双曲线 C2：x2a22 y2b221(a20，b20)有相同的焦点 F1，F2，C2的渐近线分别交 C1于 A，C 和 B，D 四点，若多边形 ABF2CDF1为正六边形，则 C1与 C2的离心率之和为()A.31 B.2 C.31 D.2 3 7.已知实数 a，b，c 满足 ln a2bc12，则下列关系式不可能成立的是()A.abc B.acb C.cab D.cba 8.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升某校为提升 2 学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”

3、“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件 A“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”，事件 B“甲、乙两人所选课程完全不同”，事件 C“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则()A.A 与 B 为对立事件 B.A 与 C 互斥 C.A 与 C 相互独立 D.B 与 C 相互独立 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9.已知函数 f(x)|2sin(2x3)|，则下列说法正确的有()A.函数 f(x)的图象关于点(6，0)对称

4、B.函数 f(x)图象的一条对称轴是直线 x6 C.若 x3，2，则函数 f(x)的最小值为 3 D.若 f(x1)f(x2)4，x1x2，则|x1x2|的最小值为2 10.已知随机变量 X 服从二项分布 B(4，p)，其数学期望 E(X)2，随机变量 Y 服从正态分布 N(p，4)，且 P(X3)P(Y1a)14 D.P(Y1a)34 11.已知定义在1，6上的函数 f(x)x4x，则()A.任意 a，b，c1，6，f(a)，f(b)，f(c)均能作为一个三角形的三条边长 B.存在 a，b，c1，6，使得 f(a)，f(b)，f(c)不能作为一个三角形的三条边长 C.任意 a，b，c1，6，

5、f(a)，f(b)，f(c)均不能成为一个直角三角形的三条边长 D.存在 a，b，c1，6，使得 f(a)，f(b)，f(c)能成为一个直角三角形的三条边长 12.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，CC12AB2，E 为 CC1的中点，P 为棱 AA1上的动点，平面 过 B，E，P 三点，则()A.平面 平面 A1B1E B.平面 与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形 C.当 P 与 A 重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118 3 D.存在点 P，使得 AD 与平面 所成角的大小为3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.(2x31x2)5展

6、开式的常数项是_ 14.已知圆锥同时满足条件：侧面展开图为半圆；底面半径为正整数请写出一个这样的圆锥的体积 V_ 15.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1，2)，直线 l：ykxm 与圆 O：x2y25交于 A，B 两点，若PAB 为正三角形，则实数 m 的值是_ 16.第十四届国际数学教育大会(简称 ICME14)于 2021 年 7 月在上海举办，会徽的主题图案(如图)有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，其右下方的“卦”是用中国古代的计数符号写出的八进制数字 3745.八进制有 07 共 8 个数字，基数为 8，加法运算时逢八进一，减法运算时借一当八八进制数字 37

7、45 换算成十进制是 5804817823832 021，表示 ICME14 的举办年份设正整数 na080 a18ai8iak8k，其中 ai0，1，2，3，4，5，6，7，i0，1，k，kN.记(n)a0a1ak，S(n)(1)(2)(8n)，则(72)_；当 n7 时，用含 n 的代数式表示 S(n)_(本小题第一空 2 分，第二空 3 分)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sin2Asin2Bsin2CsinAsin B2bca.(1)求角 A 的大

8、小；(2)若 a5，bc3，求ABC 的面积 4 18.(本小题满分 12 分)在b1b26，b3b424；b1b2b314，b1b2b364；b23 b6，b4b212 这三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答 已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，S5a1120，数列bn是公比大于 1 的等比数列，且_(1)求数列an和bn的通项公式；(2)记 cnSnbn，求使 cn取得最大值时 n 的值 19.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 SABCD 中，已知四边形 ABCD 为菱形，BAD 60，SAD 为正三角形，平面 SAD平面 ABCD.(1)求二面角 SBCA

9、的大小；(2)在线段 SC(端点 S，C 除外)上是否存在一点 M，使得 AMBD？若存在，指出点 M 的位置；若不存在，请说明理由 20.(本小题满分 12 分)某食品企业与甲、乙两超市签订了长期供应某种海鲜罐头的合同，每月供应一次，经调研发现：每家超市的月需求量都只有两种：400 件或 600 件，且互相不受影响；甲、乙两超市的月需求量为 400 件的概率分别为25，12.(1)求两超市的月需求总量为 1 000 件的概率；(2)已知企业对此罐头的供货价格为 30 元/件，生产此罐头的成本为：800 件内(含 800)为 20 元/件，超过 800 件但不超过 1 000 件的部分为 15

10、 元/件，超过 1 000 件的部分为 10元/件企业拟将月生产量 X(单位：件)定为 800 或 1 000 或 1 200.若两超市的月需求总量超过企业的月生产量，则企业每月按月生产量供货，若两超市的月需求总量不超过企业的月生产量，则企业每月按月需求总量供货为保障食品安全，若有多余罐头企业每月自行销毁，损失自负，请你确定 X 的值，使该企业的生产方案最佳，即企业每月生产此罐头的利润 Y 的数学期望最大，并说明理由 5 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)sin x(xa)cos x，g(x)13x3 12ax2，其中 a0.(1)试判断函数 f(x)在(0，)上的单调性，并说明

11、理由；(2)求证：曲线 yf(x)与曲线 yg(x)有且只有一个公共点 22.(本小题满分 12 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F，准线为 l，过点 F且斜率大于 0 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，过线段 AB 的中点 M 且与 x 轴平行的直线依次交直线 OA，OB，l 于点 P，Q，N.(1)试判断线段 PM 与 NQ 长度的大小关系，并证明你的结论；(2)若线段 NP 上的任意一点均在以点 Q 为圆心、线段 QO 长为半径的圆内或圆上，求直线 AB 斜率的取值范围 6 数学参考答案 1.B 2.A 3.C 4.B 5.A 6.C 7.

12、D 8.C 9.BCD 10.BD 11.AD 12.AC 13.40 14.33(答案不唯一)15.54 16.2 4n225n 17.解：(1)由正弦定理asin Absin Bcsin C，得sin2Asin2Bsin2CsinAsin Ba2b2c2ab，(1 分)所以a2b2c2ab2bca，化简得 b2c2a2bc，所以 cos Ab2c2a22bc12.(3 分)因为 A(0，)，所以 A3.(5 分)(2)由余弦定理 a2b2c22bc cos A，得 b2c2bc(bc)2bc25，将 bc3 代入上式，得 bc16，(8 分)所以ABC 的面积 SABC12bc sin A

13、1216 32 4 3.(10 分)18.解：(1)由 S55（a1a5）25a320，得 a34.(1 分)因为 a1120，所以公差 da11a38168 2，(2 分)所以 ana3(n3)d42(n3)2n2.(3 分)设数列bn的公比为 q，则 q1.若选，因为 b1b26，b3b424，所以b3b4b1b2q24.因为 q1，所以 q2.(5 分)又 b1b2b1(1q)3b16，所以 b12，所以 bnb1qn12n.(6 分)若选，b1b2b3b32 64，所以 b24，b1b2b34q44q14，即 2q25q20，所以 q2 或 q12.因为 q1，所以 q2，(5 分)所

14、以 bnb2qn22n.(6 分)若选，由 b23 b6，得 b3b6b3q3，7 又 b4b2b3(q1q)q3(q1q)q4q212，解得 q24，因为 q1，所以 q2(5 分)所以 bnb3qn3qn2n.(6 分)(2)由(1)得 Snn（02n2）2n2n，(8 分)所以 cnSnbnn2n2n.(9 分)因为 cn1cn（n1）2（n1）2n1n2n2n n2n2（n2n）2n1n（3n）2n1，(11 分)所以当 n1 或 n2 时，cn1cn；当 n3 时，cn1cn；当 n4 时，cn1cn.所以 cn取得最大值时 n 的值为 3 或 4.(12 分)19.解：(1)(解法

15、 1)如图，取 AD 的中点 O，连接 OS，OB.因为SAD 为正三角形，所以 SOAD.因为平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD，SO平面 SAD，所以 SO平面 ABCD.(2 分)因为 OA，OB平面 ABCD，所以 SOOA，SOOB.因为 ABAD，BAD60，所以ADB 为正三角形，所以 OBOA.(4 分)如图，以 O 为原点，OA，OB，OS 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 设 AD2a，则 S(0，0，3a)，B(0，3a，0)，C(2a，3a，0)，所以BS(0，3a，3a)，BC(2a，0，0).因为 SO平面 ABCD，所以O

16、S(0，0，3a)是平面 ABCD 的一个法向量 设平面 SBC 的法向量为 n(x，y，z)，由nBS0，nBC0，得 3y 3z，2x0，不妨取 z1，得 n(0，1，1).(6 分)设二面角 SBCA 的大小为，则|cos|nOS|n|OS|3a2 3a 22，显然 SBCA 是锐二面角，所以二面角 SBCA 的大小为 45.(8 分)8(解法 2)取 AD 的中点 O，连接 OS，OB.因为SAD 为正三角形，所以 SOAD.因为平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD，SO平面 SAD，所以 SO平面 ABCD，(2 分)所以 SOBC.因为 ABAD，BAD60，

17、所以ADB 为正三角形，所以 BOAD.因为 ADBC，所以 BOBC.(4 分)又 SOBOO，且 SO，BO平面 SOB，所以 BC平面 SOB，所以 BCBS.从而SBO 为二面角 SBCA 的平面角(6 分)因为 SO平面 ABCD，OB平面 ABCD，所以 SOOB.在 RtSOB 中，因为 SOOB 32 AD，所以SBO45，即二面角 SBCA 的大小为 45.(8 分)(2)不存在证明如下：(解法 1)在空间直角坐标系 Oxyz 中，因为 A(a，0，0)，S(0，0，3a)，C(2a，3a，0)，B(0，3a，0)，D(a，0，0)，所以SC(2a，3a，3a)，BD(a，3

18、a，0).若线段 SC(端点 S，C 除外)上存在一点 M(x，y，z)，使得 AMBD，则存在 01，使得SMSC，即x2a，y 3a，z 3（1）a.因为 AMBD，所以AMBD0，从而a(xa)3ay0，(10 分)将 x2a，y 3a 代入上式可得 1，这与 01 矛盾 故线段 SC(端点 S，C 除外)上不存在点 M，使得 AMBD.(12 分)(解法 2)若线段 SC(端点 S，C 除外)上存在一点 M，使得 AMBD.因为菱形 ABCD 中 ACBD，且 ACAMA，AC，AM平面 SAC，所以 BD平面 SAC，从而 BDSA.(10 分)又由(1)可得 BDSO，且 SASO

19、S，所以 BD平面 SAO，所以 BDAD，这与ADB60矛盾 故线段 SC(端点 S，C 除外)上不存在点 M，使得 AMBD.(12 分)20.解：(1)设 A1“超市甲的月需求量为 400 件”，A2“超市甲的月需求量为 600件”，设 B1“超市乙的月需求量为 400 件”，B2“超市乙的月需求量为 600 件”9 由题意知 P(A1)25，P(B1)12，且 A1与 A2，B1与 B2均为对立事件，所以 P(A2)1P(A1)35，P(B2)1P(B1)12.(2 分)设 B“两超市的月需求总量为 1 000 件”，则 BA1B2A2B1.因为 A1B2与 A2B1互斥，且 A1与

20、B2，A2与 B1相互独立，所以 P(B)P(A1B2A2B1)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)2512351212.(4 分)答：两超市的月需求总量为 1 000 件的概率为12.(5 分)(2)设 A“两超市的月需求总量为 800 件”，C“两超市的月需求总量为 1 200 件”因为 A1与 B1相互独立，所以 P(A)P(A1B1)P(A1)P(B1)251215.因为 A2与 B2相互独立，所以 P(C)P(A2B2)P(A2)P(B2)3512 310.若月生产量 X800，则 E(Y)30800P(A)P(B)P(C)208008 000(元)；(7 分)若月生产量 X1

21、000，则 E(Y)30800P(A)301 000P(B)P(C)20800152009 800(元)；(9分)若月生产量 X1 200，则 E(Y)30800P(A)301 000P(B)301 200P(C)2080015200102009 600(元).(11 分)综上所述，当 X1 000 时，利润 Y 的数学期望最大(12 分)21.解：(1)因为 f(x)sin x(xa)cos x，所以 f(x)cos xcos x(xa)sin x(xa)sin x.因为 x(0，)，a0，所以 xa0，sin x0，所以 f(x)0，所以函数 f(x)在(0，)上为增函数(3 分)(2)令

22、 t(x)xsin x，所以 t(x)1cos x，则 t(x)0，所以 t(x)在 R 上单调递增，且 t(0)0,所以当 x0 时，t(x)0，xsin x；当 x0 时，t(x)0，xsin x(5 分)由 f(x)g(x)，得13x312ax2(xa)cos xsin x0.设 h(x)13x312ax2(xa)cos xsin x，则 h(x)(xsin x)(xa).令 h(x)0，由上述推理可得 x0 或 xa.(6 分)10 当 a0 时，h(x)x(xsin x)，因为 x(xsin x)0，当且仅当 h(0)0，所以 h(x)在 R 上单调递增 因为 h(0)0，所以 h(

23、x)的零点有且仅有一个为 0.(8 分)当 a0 时，列表如下：x(，a)a(a，0)0(0，)xa 0 xsin x 0 h(x)0 0 h(x)极大值 极小值 (9 分)首先 h(a)h(0)a0，下证：h(32a3)0.事实上，当 xa 时，xa0，因为 cos x1，所以(xa)cos x(xa).又 sin xx，所以sin xx，所以 h(x)13x312ax2(xa)x13x312ax22xa13x312ax22x13x(x232ax6)，所以 h(32a3)(92a3)(32a3)0.从而 h(x)在(32a3，a)上有且仅有一个零点 综上所述，曲线 yf(x)与曲线 yg(x

24、)有且仅有一个公共点(12 分)22.解：(1)线段 PM 与 NQ 的长度相等(1 分)证明：设 A(y21 4，y1)，B(y22 4，y2)，则 M(y21 y22 8，y1y22).因为直线 AB 过点 F(1，0)，所以y1y21 4 1y2y22 4 1，化简得(y2y1)(y1y24 1)0.因为 y1y2，所以 y1y24.(2 分)联立 OA：y4y1x 与 MN：yy1y22，得 P(y1（y1y2）8，y1y22)，所以 PMy21 y22 8y1（y1y2）8y22 y1y28y22 48.(4 分)11 同理 Q(y2（y1y2）8，y1y22).因为 N(1，y1y22)，所以 NQy2（y1y2）81y1y2y22 81y22 48.故线段 PM 与 NQ 的长度相等(6 分)(2)由题意知QOQP，QOQN.由 QOQP，得y2（y1y2）82(y1y22)2(y21 y22 8)2.因为 y1y20，所以化简得y22 6414（y1y2）264.因为 y1y24，所以化简可得 y21 8.(9 分)由 QOQN，得y2（y1y2）82(y1y22)2y2（y1y2）812.因为 y1y24，所以化简可得 y21 8.由知，y12 2，即直线 AB 斜率的取值范围是2 2(12 分)