1、6.1幂函数学 习 目 标核 心 素 养1了解幂函数的概念，会画出幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象(重点)2能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质(难点)3会用几个常见的幂函数性质比较大小(重点、难点)通过学习本节内容，提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示：价格/元0.60.650.70.750.80.850.9需求量/t1.2161.1791.1461.1171.0891.0641.041根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式yx0.38这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？1幂函数的概念一般地，我们把
2、形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数2幂函数的图象和性质3在同一平面直角坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象如图所示：1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数的图象不经过第四象限()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点()(3)幂函数yx的定义域为R，与指数也无关()提示(1)由幂函数的一般式yx(为常数)及图象可知，当x0时，y0，即图象不经过第四象限(2)yx1不经过(0,0)点，故错误(3)yx，定义域为0，)，与指数有关，故错误答案(1)(2)(3)2若ymx(2n4)是幂函数，则mn3由题意得所以mn33已知幂函数f(x)x的
3、图象经过点(2,8)，则f(2)882，所以3，所以f(x)x3，f(2)(2)38幂函数的概念【例1】已知y(m22m2)x2n3是幂函数，求m，n的值思路点拨由幂函数的定义列式求解解由题意得解得m3，n为所求1幂函数yx满足的三个特征(1)幂x前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项2求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)x，根据条件求出1下列函数是幂函数的有(填序号)yx2x；y2x2；y；yx21；y；yx根据幂函数的定义，只有符合题意2已知幂函数f(x)x的图象经过，则f(100) 由题知22，f(x)x，f(100)100比较大小【例2】比
4、较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)与；(3)0.25与6.25；(4)1.206与0.304；(5)(3)与(2)思路点拨可以借助幂函数yx2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较解(1)yx是0，)上的增函数，且，(2)yx1是(，0)上的减函数，且(3)0.252，6.252.5yx是0，)上的增函数，且225，225，即0251061,03041041，从而03040，(2)2(2)比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入
5、中间量3比较下列各组中两个数的大小：(1)3，3.1；(2)a15，(a1)15(a0)；(3)(0.88)，0.89解(1)因为函数yx在(0，)内是减函数，所以33.1(2)函数yx1.5在(0，)内是增函数，又a0，a1a，所以(a1)15a15(3)函数yx为偶函数，在0，)上是增函数，所以(088) 088g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x1时，f(x)g(x)；(3)当x(0,1)时，f(x)0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在0，)是增函数(2)cbaBabcdCdcabDabdc(2)函数yx1的图象关于x轴对称的图象大致是()AB
6、CD(1)B(2)B(1)令a2，b，c，d1，正好和题目所给的形式相符合在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以abcd故选B(2)yx的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数yx1的图象可看作由yx的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将yx1的图象关于x轴对称后即为选项B幂函数的图象与性质的综合应用探究问题1幂函数yx的图象应该怎么作？提示因为01，故幂函数yx的定义域为R，且为偶函数，函数yx在第一象限的图象恒过(0,0)，(1,1)，在0，)是增函数利用偶函数的图象关于y轴对称，得到第二象限的图象(图略)2从上述过程能否归纳出作
7、幂函数yx的图象的步骤？提示先求定义域，判定函数的奇偶性；再看，按0来分类确定在第一象限的图象的形状；结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象3作出yx的图象(草图)，并说明若xy时，x，y与0的大小关系有多少种？提示yx在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，从图象可以看出，若xy，则有以下情况：0xy；xy0y【例4】已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a1) (32a) 的a的取值范围思路点拨解函数在(0，)上递减，3m90，解得m3又mN*，m1,2又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1有(a1) 32a0或0a132
8、a，或a1032a，解得a或ax，则x的取值范围是(，0)(1，)作出函数yx2和yx的图象(如图所示)，易得x11幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，只有一项，系数为12简单幂函数的图象与性质的探究策略(1)先求幂函数的定义域，若对称，判定其奇偶性(一定具有奇偶性)(2)研究幂函数位于第一象限的图象与性质0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在0，)上是增函数0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，)上是减函数(3)结合幂函数的奇偶性，得到第三或第二象限的图象与性质，幂函数的图象一定不经过第四象限1下列所给出的函数中，是幂函数的是()Ayx3 Byx3Cy2x3 Dyx31A幂函数是形如yx的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数2已知幂函数yx的图象过点(2，)，则f(4)的值是2将点(2，)代入幂函数可得f(2)2，解得，即幂函数为f(x)x，可得f(4)423下列幂函数中，过点(0,0)，(1,1)且为偶函数的是(填序号)(1)yx；(2)yx4；(3)yx1；(4)yx3(2)(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意4比较下列各组数的大小：(1)3与3.1；(2)4.1，3.8，(1.9)解(1)因为函数yx在(0，)上为减函数，又331(2)4.111,03.811，而(1.9) 3.8(19)