1、5.4函数的奇偶性学 习 目 标核 心 素 养1了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征2会判断函数的奇偶性(重点)3掌握函数奇偶性的运用(难点)通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养日常生活中常见的对称现象，如美丽的蝴蝶、建筑并让学生自己列举生活中对称的实例，你能发现生活中类似的数学对称美吗？1偶函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有xA，并且f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数2奇函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有xA，并且f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数3奇偶性如
2、果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性4奇、偶函数的图象性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x的图象关于(0,0)对称()(2)偶函数的图象一定与y轴相交()(3)若对函数f(x)有f(1)f(1)，则f(x)为偶函数()(4)奇函数的图象一定过(0,0)()答案(1)(2)(3)(4)2若f(x)是定义在区间a2,5上的奇函数，则a3易知a250，a33已知f(x)ax3bx4，其中a，b为常数，若f(2)2，则
3、f(2)的值等于10f(2)2，8a2b42，8a2b6，f(2)8a2b410函数奇偶性的判断【例1】(1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)为函数(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)(2)判断下列函数的奇偶性f(x)；f(x)ln(1x)；f(x)；f(x)思路点拨(1)观察图象的对称性(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(x)的关系(1)偶因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数(2)解因为函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称又f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数定义域要求所以1x1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数由得x
4、2，2，定义域关于原点对称，且f(2)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数由 得 所以函数的定义域为1,0)(0,1此时f(x)，x1,0)(0,1，所以f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用于选择题中1判断下列各函数的奇偶性(1)f(x)(x2)；(2)f(x)解(1)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)当x1，f(x)(x)2x2f(x)；当x1时，f(x)x2，x1，f(x)x2f(x)；当1x1时，f(x)0，1x1
5、，f(x)0f(x)对定义域内的每个x都有f(x)f(x)，因此f(x)是偶函数已知函数奇偶性求解析式【例2】(1)已知f(x)是R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)x(1x)，求f(x)；(2)若函数f(x)x2(m1)x3(xR)是偶函数，求m的值思路点拨(1)已知x0的解析式，应通过(x)进行过渡，但别忽视x0的情况；(2)应用偶函数满足f(x)f(x)解(1)f(x)为R上的奇函数，f(0)f(0)，f(0)0当x(0，)时，x(，0)，f(x)x(1x)f(x)为R上的奇函数，f(x)x(1x)，f(x)x(1x)综上可知，f(x)(2)f(x)为偶函数，f(x)f(x)，即x2(
6、m1)x3x2(m1)x3，2(m1)x0xR，m10，得m11本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x0的情形若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)02利用奇偶性求解析式的思路(1)在待求解析式的区间内设x，则x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式2f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x0时，x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)2x23x1因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0综上可得f(x)的
7、解析式为f(x)奇偶函数的单调性探究问题1观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？提示两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同2能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f(x)在a，b(a0)上递增”为例)提示已知f(x)是奇函数，在区间a，b(a0)上是单调递增的证明f(x)在区间b，a上也单调递增证明：任取x1，x2b，a且x1x2则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)，bx1x2a，ax2x1b，由f(x)在a，b上单
8、调递增，f(x2)f(x1)，f(x2)f(x1)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在区间b，a上单调递增3如图两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？提示偶函数的图象在对称区间上单调性相反【例3】已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(1,1)，且在0,1)上为增函数若f(a2)f(32a)0，试求a的取值范围思路点拨可将f(a2)f(32a)0移项得f(a2)f(32a)，根据奇偶性和单调性转化为研究a2与2a3的大小关系，注意定义域解f(a2)f(32a)0，f(a2)f(32a)f(x)为奇函数，f(32a)f(2a3)，f(a2)f(2a3)f(x)在0,1)上为
9、增函数，f(x)在(1,1)上单调递增，解得1a0，求实数m的取值范围解f(x)是奇函数，在0,2上单调递增，f(x)在2,2上都递增由f(m)f(m1)0，f(m)f(m1)f(1m)，由f(x)的单调性知1mm，m2，m的取值范围为1定义域在数轴上关于原点对称是函数yf(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3(1)若f(x)0且yf(x)的定义域关于原点对称，则yf(x)既是
10、奇函数又是偶函数(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性(3)有时判定函数的奇偶性需要在定义域内先化简解析式再判定奇偶性(4)偶函数有一个特殊性质：f(x)f(x)f(|x|)4奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反1下列函数为奇函数的是()Ayx By2x23Cy Dyx3，x0,1AA中函数是奇函数；B中函数是偶函数；C、D中函数是非奇非偶函数2已知函数f(x)3，则f(x)的奇偶性为既是奇函数又是偶函数要使函数有意义，需满足x220,2x20，x，此时y0，因此函数图象为点，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数3设f(x)是定义在(，)上的偶函数，且当x0时，f(x)x31，则当x0时，f(x)x31当x0，f(x)(x)31x31，f(x)f(x)，f(x)x314已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3