1、2008年高考动量能量专题复习广东 惠来慈云实验中学 徐长龙一、常见的模型（一）初始状态一动一静的碰撞模型1. 初始状态一动一静的同一直线上的弹性碰撞弹性碰撞是动量和动能都守恒的碰撞 本方程组的解为：（1） 或：（2）这两个根应该根据物理情景取舍。两个刚性小球间的弹性碰撞（见图1所示）的结果只取解（1）；m1v1m2图1m1m2情景：m1v1m2v2m1m2情景：m1v1m2v2关于解（1）的讨论：若m1=m2,则v1=v2，速度交换；若m1m2,则v10主动球反弹， v20被动球向前；若m1m2,则v1v1主动球速度几乎不变，v22v1被动球几乎以2倍速向前；2. 完全非弹性碰撞完全非弹性碰
2、撞是所有碰撞种类中，动能损失最大的情况一动一静完全非弹性碰撞方程组的解： 完全非弹性碰撞过程中损失的动能大小是一定的，只与两个物体的质量比有关，与转化的方式无关。这个损失的动能在不同的问题中可以转化为不同的能量，如：系统增加的内能、焦耳热、气体的内能、弹簧的弹性势能、重力势能、两个点电荷间的电势能、原子的能级跃迁等。例1：已知氢原子的基态能量为-13.6eV，一个处于基态的氢原子以一定的速度与另一个处于基态的静止的氢原子发生正碰，要使它们结合为一个氢分子，求运动的氢原子所需的动能为多少？解析：要使它们结合为一个氢分子，必须使一个氢原子发生电离，再结合为一体，属于类完全非弹性碰撞问题，所以碰撞过
3、程中损失的动能为E13.6eV，由上面的计算可得：，所以运动原子的初始动能为27.2eV.也可以利用（1+）E=（1+1）E=27.2eV.点评：原子物理与碰撞问题相结合的一个题。由于原子问题的特殊性，损失的动能不能取任意值，只能取满足原子跃迁或电离的能量值。(如果不满足: （1+）E则只能为弹性碰撞,因为在此类问题中具有选择性的碰撞),3. 一般碰撞该方程组如果v1和v2都未知，则有三个未知数，没有定解，但可以知道：0EEmax.即，v0v/2v/2vv/2v/2v0图2初始：弹簧原长共速：弹簧最短速度交换0弹簧原长共速：弹簧最长还原：弹簧原长（二）初始状态一动一静的双振子双振子问题在各个阶
4、段下的讨论可以看成上面问题的综合应用。图2所示为质量相同的双振子在一个周期内的运动情景，由于不受外力的作用，共有的质心在水平方向上作匀速运动，在弹簧原长（动能守恒）的两种情况下，“速度交换”分别是上面方程组的解（1）或解（2）的结果；最长和最短情况是动能损失最大的时刻，相当于完全非弹性碰撞。（三）滑块小车模型mv0（M+m）v共M图3s物s车s相对如图3所示，质量为M的小车置于光滑的水平面上，质量为m的滑块以初速度v0滑上摩擦因数为的小车表面，小车足够长，最后滑块和小车以v共共速前进。我们可以列出方程：这方程组显然与完全非弹性碰撞相似，有相同结论：1.2.，这种过程中损失的动能比例是一定的，与
5、和S相无直接关系。一些关于能量转化的重要结论（注意图3中的位移关系）：3.摩擦力对滑块做功：4.摩擦力对小车做功：fs车5.整个过程中产生的热量（损失的动能），MmMumv光滑平面图4我们经常用到这个结论：Qfs相.，它表明了动能转化为内能的方式。例如传送带问题中，物体与传送带间产生的热量：Q=fs相对滑动的路程 .（四）圆弧轨道模型1.如图所示质量为M的光滑圆弧轨道置于光滑水平面上，质量为m的质点由轨道上h处滑到轨道的底端，求轨道和质点分别获得的速度。h（M+v）共mv0光滑平面图5Mmv1Mv2（a）（b）（c）由于水平动量守恒：质点的势能转化为两个物体的动能：2.如图5所示，质点m以速度
6、v0滑上质量为M的原来静止的光滑圆弧轨道，达到的最高点高度为h，（图b所示）则有：水平方向上动量守恒：整体机械能守恒：仿照完全非弹性碰撞结论，有：当滑块在上面又滑回来时（图c所示），设速度大小分别为v1和v2则：解得：这与弹性碰撞的解是一样的。注意到（a）（b）（c）三个图中，M的位置是逐渐向左移动的，m一直对M做正功，M的速度也越来越大。（五）人船模型平均动量守恒例2.质量为M的小船静止在平静的水面上，一个质量为m的人（可以看成质点）站在小船的一端，小船的总长度为L，人从小船的一端走到另一端站稳，求船移动的距离.解：设人在船的一端走到另一端的过程中，人相对地移动的距离为s，同时船相对地移动的
7、距离为d，注意到有Ls + d. 由于总动量为零，所以人行船行，人停船停，两者运动时间相同。sd图由于水平动量守恒：，故 所以，船移动的距离：二、基本方法1. 动能定理在不同条件下的几种常见表达（1）动能的变化等于外界对物体所做的功：Ek=W 或，（2）动能的变化等于动力做功减去阻力做功：（3）动能的变化等于各分段外力做功之和：2. 关于摩擦力做功（1）无论是静摩擦力还是滑动摩擦力，都可以做正功、负功或不做功；（2）一对静摩擦力做功的代数和恒为零；（两者相对静止，位移必相同）（3）一对滑动摩擦力做功的代数和恒为负。（W总fs相对，参见滑块小车模型的讨论）3. 机械能守恒定律，写成h的优点是不必
8、选取零势能点。4. 动量与动能间的关系 或：5. 动量定理的几种常见表达， 或：动量定理是一个矢量式，代入数值进行计算时要注意F或v的方向（/取值），但上式中的“”号是矢量运算符号，与正方向的规定无关。6. 动量守恒定律的应用（1）矢量表达式： 或（2）动量是一个瞬时量，v和v 都是指瞬时速度，而且都必须相对同一参照系（通常是相对地面）。（3）守恒范围的确定：确定系统 选取两个或多个（某一方向）只受内力或外力的冲量可以忽略的物体系统选取时刻 选取有用的两个或几个瞬间，找出这两个或几个瞬间的（某一方向）的总动量。规定方向：与正方向一致的动量取正，反向的动量取负。（4）动量守恒的过程中机械能不一定
9、守恒，反之亦然。三、情景与过程例3.两个球A、B在光滑的水平面上沿同一直线，同一方向运动，mA1kg，mB2kg，vA6m/s，vB2m/s，当A球追上球B并发生正碰后，两球A、B速度的可能值是（取两球碰撞前的运动方向为正）AvA5m/s，vB= 2.5m/sBvA 2m/s，vB 4m/sCvA =4m/s，vB= 7m/sDvA = 7m/s，vB 1.5m/s解析：判断球A、B碰撞后的速度可能值有三种途径：（1）情景的可能性 碰撞完成后，被碰小球B的速度一定比原来的速度大，因此A、D选项一定是错的；碰后如果两个小球分开并且同向运动，则后面的A球的速度一定要小于前面的B球的速度，因此A选项
10、一定是错的；（2）碰撞前后的动量守恒 B、C选项都可能是对的（3）机械碰撞后的动能一定不会大于碰撞前的动能，即，由此可得C项错误。所以，正确的选项是B.例4.一质量为m静止在光滑水平面上的物体B，其上有一与水平面相切的光滑弧形轨道，如图所示，现有质量也为m的滑块A，以水平速度v0向B滑去，若不计一切摩擦和碰撞的机械能损失，则下列说法正确的有：A. 若A不能翻过B的最高点，那么A、B分离后一定是A静止，B以速度v0向右运动；B. 若A能翻过B的最高点，且能沿B的右侧面下滑，那么A、B分离后一定是B静止，A以速度v0向右运动；ABv0C若A恰好能翻过B的最高点，且沿B的右侧面下滑，那么B获得的最大
11、的动能为DA恰好翻过B的最高点时，B的动能为解析：A项中：A、B分离后动能守恒，动量守恒，速度交换，是正确的；B项：A越过B的最高点再滑到水平面分离后，A、B的动能和动量也守恒，可以看出，它是弹性碰撞的第（2）组解的情景，所以B项是正确的；C、D项：A滑上B的过程中，A对B做正功，A翻过B的最高点后，沿右侧下滑，A对B则做负功，所以，B获得的最大动能应该是在A在B的最高点的时刻，计算结果D项正确。点评：这个题目与弹性碰撞模型中的两个解的取舍有异曲同工之处。例3.一支质量为M的火箭，假设它依靠向下喷射气体维持在空中静止不动，已知喷气的速度为v，则火箭发动机喷气的功率为：_。解：设火箭在t内喷出气
12、体的质量为m，则对气体运用动量定理和动能定理要求火箭维持在空中不动，需满足力平衡条件FMg所以火箭发动机的功率：点评：这是一个看起来特别简单的题目，但难点却不少。有些人直接套用P=Fv得P=Mgv得到错误的结论；本题的关键在于选择应用研究对象，就是动量定理和动能定理对谁而写？另外，要注意对于连续体问题，假设的未知量一般要有两个：一个是t，另一个是m.练习：1. A、B两球在水平光滑轨道上同方向运动，已知它们的动量分别为pA7kgm/s，pB9kgm/sA从后面追上B并发生碰撞碰后B球动量变为12kgm/s，则两球质量mA和mB间的关系是_2.如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分
13、别为mA = 2.0kg，mB = 1.0kg，mC = 1.0kg现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做108J（弹簧仍处于弹性限度内），然后同时释放A、B，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰以4m/s的速度迎面与B发生碰撞并粘连在一起求：（1）弹簧刚好恢复原长时（B与C碰撞前）A和B物块速度的大小（2）当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能3. 如图所示，运动的球A在光滑的水平面上与一个原来静止的B球发生弹性碰撞，碰撞前后的速度在一条直线上A、B的质量关系如何，才可以实现使B球获得：（1）最大的动能（设A的初动能为且不变）；（2）
14、最大的速度；（A的初速度为且不变）；（3）最大的动量.（设A的初动量为且不变）（设两球半径相等）；4.如图所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一木匣A，木匣A顶端悬挂一木块B（可视为质点），A和B的质量都为m = 1kg，B距木匣底面高度h = 16cm，当它们都静止时，弹簧长度为L. 某时刻，悬挂木块B的细线突然断开，在木匣上升到速度刚为0时，B和A的底面相碰，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为 = 1m/s. 求：（1）B与A碰撞中动能的损失Ek;（2）弹簧的劲度系数k；（3）原来静止时弹簧内具有的弹势势能E05矩形滑块由不同材料的上、下两层粘结在一起，将其放在光滑的水平面上，
15、如图所示，质量为m的子弹以速度u水平射向滑块若射击上层，则子弹刚好不穿出；若射击下层，则整个子弹刚好嵌入，则上述两种情况相比较 （ ）A两次子弹对滑块做的功一样多B两次滑块所受冲量一样大C子弹嵌入下层过程中对滑块做功多D子弹击中上层过程中，系统产生的热量多6. 如图所示，质量为m的子弹以速度0水平击穿放在光滑水平地面上的木块木块长为L，质量为M，木块对子弹的阻力恒定不变，子弹穿过木块后木块获得动能为Ek，若木块或子弹的质量发生变化，但子弹仍穿过木块，则 （ ）AM不变，m变小，则木块获得的动能一定变大BM不变，m变小，则木块获得的动能可能变大Cm不变，M变小，则木块获得的动能一定变大Dm不变，
16、M变小，则木块获得的动能可能变大abMNOv0P7. 如图所示，光滑绝缘杆上套有两个完全相同、质量都是m的金属小球a、b，a带电量为q（q0），b不带电。M点是ON的中点，且OM=MN=L，整个装置放在与杆平行的匀强电场中。开始时，b静止在杆上MN之间的某点P处，a从杆上O点以速度v0向右运动，到达M点时速度为3v0/4，再到P点与b球相碰并粘合在一起（碰撞时间极短），运动到N点时速度恰好为零。求：电场强度E的大小和方向；a、b两球碰撞中损失的机械能；a球碰撞b球前的速度v。8. 一玩具“火箭”由上下两部分和一短而硬（即劲度系数很大）的轻质弹簧构成。上部分G1的质量为m1，下部分G2的质量为m
17、2，弹簧夹在G1与G2之间，与二者接触而不固连。让G1、G2压紧弹簧，并将它们锁定，此时弹簧的弹性势能为已知的定值E0。通过遥控可解除锁定，让弹簧恢复至原长并释放弹性势能，设这一释放过程的时间极短。现将玩具在一枯井的井口处从静止开始自由下落，撞击井底（井足够深）后以原速率反弹，反弹后当玩具竖直向上运动到离井口深度为h的时刻解除锁定。求解除锁定前瞬间，火箭的速度；解除锁定后瞬间G1、G2的速度；若以井口处作为重力势能的参考点，解除锁定后G1的机械能会超过E0吗？如能，请分析超过E0的条件。9. 如图所示，质量为2kg的物块A（可看作质点），放在长木板B的左端，B的质量为1kg，可在水平面上无摩擦
18、滑动，两端各有一竖直挡板M、N，现A、B上相同的速度0 = 6m/s向左运动并与挡板M发生碰撞，B与M碰后速度立即变为零，但不与M粘连；A与M碰撞时没有能量损失，碰后立即返回向N板运动，且在与N板碰撞前，A、B能达到共同速度并且立即被锁定，与N板碰撞后，A、B一起以原速反向运动，并且立即解除锁定. A、B之间的动摩擦因数 = 0.1通过计算求下列问题：（1）A与挡板M能否发生第二次碰撞？（2）A最终停在何处？（3）A在B上一共通过了多少路程？参考解答：1.解：由题设条件，两球在光滑轨道上运动，水平方向不受外力作用，水平动量守恒，即(1)由碰撞前后能量关系，可得(2)由动量定义又可得(3)联立各
19、式可得 解得2.（1）弹簧刚好恢复原长时，A和B物块速度的大小分别为A、B 由动量守恒定律有：0 = mAA - mBB此过程机械能守恒有：Ep = mA+mB代入Ep108J，解得：A6m/s，B = 12m/s，A的速度向右，B的速度向左（2）C与B碰撞时，C、B组成的系统动量守恒，设碰后B、C粘连时速度为，则有：mBB -mCC = （mB+mC），代入数据得 = 4m/s，的方向向左此后A和B、C组成的系统动量守恒，机械能守恒，当弹簧第二次压缩最短时，弹簧具有的弹性势能最大，设为Ep，且此时A与B、C三者有相同的速度，设为，则有：动量守恒：mAA -（mB+mC） = （mA+mB+m
20、C），代入数据得 = 1m/s，的方向向右机械能守恒：mA+（mB+mC）2 = Ep+（mA+mB+mC）2，代入数据得Ep50J3. 答案：（1），Ek2m=mAv02/2（2） ，vBm=2v0（3） ，P2m=2mAv04. 线断后，A向上做简谐运动，刚开始为最低点，此时弹簧伸长为x，应有kx = 2mg；A到达平衡位置时，应有kx1 = mg，x1为此时弹簧的伸长，可见x = 2x1，A振动的振幅即x1 = ，当A到达最高点时，A的速度为零，弹簧处于原长位置，弹簧的弹性势能也为零（1）当A、B结为一体运动到弹簧长度又为L时，弹簧中弹性势能不变，A的重力势能不变，B的重力势能减少mgh
21、，此时A、B具有动能2m2，可见系统（A、B及弹簧）减少的机械能为Emgh = 06J只有在B与A碰撞粘合在一起时有机械能（动能）的损失，其他过程均不会损失机械能，故碰撞中损失的动能即系统损失的机械能：Ek = E06J（2）A、B发生碰撞时，A向上运动了x，速度为零;B向下自由下落了h- x，速度为B，由机械能守恒定律有：mg（h- x） = mA和B碰撞过程，动量守恒，设碰后共同速度为，则mB = 2m由能量守恒有：m = Ek+2m2由以上各式，代入数据解得：x = 004m，k = 500N/m（3）线断后，A从最低点到最高点时，弹簧原来具有的弹性势能转化为A的重力势能，有E0mgx，
22、得E0 = 0.4J5. AB 6. AC 7. 答案：a球从O到M WOM= 得： 方向向左 设碰撞中损失的机械能为E，对a、b球从O到N的全过程应用能的转化和守恒定律-qE2L-E=0- 则碰撞中损失的机械能为 E= 设a与b碰撞前后的速度分别为v、v，则 mv=2mv 减少的动能E=-= 8.答案：v0 = 解除锁定前后，G1、G2动量守恒 （m1+m2）v0 = m1v1 + m2v2 G1、G2能量守恒（m1+m2）v02 + E0 = m1v12 + m2v22 解得： v1 = （“”舍去） v1 = v2 = （“”舍去） v2 = （3）由题意知 m1v12 - m1gh E
23、0 解得：h 9.答案：(1)第一次碰撞后A以v0=6 ms速度向右运动，B的初速度为0，与N板碰前达共同速度v1，则mA v0=(mA+mB)v1 v1=4m/s系统克服阻力做功损失动能因与N板的碰撞没有能量损失，A、B与N板碰后返回向左运动，此时A的动能 因此，当B先与M板碰撞停住后，A还有足够能量克服阻力做功，并与M板发生第二次碰撞所以A可以与挡板M发生第二次碰撞。 (2)设第i次碰后A的速度为vi，动能为EAi，达到共同速度后A的速度为vi动能为EAi 同理可求得 单程克服阻力做功 因此每次都可以返回到M板，景终停靠在M板前。(3) 由(2)的讨论可知，在每完成一个碰撞周期中损失的总能量均能满足 (即剩余能量为)其中用以克服阻力做功占损失总能量之比碰撞中能量损失所占的比例因此，当初始A的总动能损失完时，克服摩擦力做的总功为 所以S27/213.5m
