1、第七章 直线和圆的方程(二)知识网络范题精讲【例1】 已知两定点A、B,一动点P,如果PAB和PBA中的一个是另一个的2倍,求P点的轨迹方程.分析:认真分析题设条件,综合利用平面几何的知识,列出几何等式,再利用解析几何的一些概念、公式、定理等将几何等式坐标化,便得曲线的方程,还要将所得方程化简,使求得的方程是最简单的形式.解:给出了PAB和PBA中的一个是另一个的2倍,即PAB=2PBA或PBA= 2PAB,将kPA、kPB代入二倍角公式,即得到P点的轨迹方程.如下图所示建立直角坐标系.设A、B两点的坐标分别为(a,0)、(a,0),P(x,y).kPA=tan=,kPB=tan(180)=t
2、an=,当=2时,tan=.将代入,得=.化简后得P点的轨迹方程为(x)2=a2(y0).当点P在y轴右侧时,即=2,同时可得P点轨迹方程为(x+)2=a2(y0).【例2】 一圆和直线l:x+2y3=0切于点P(1，1)，且半径为5，求这个圆的方程.分析:利用直线与圆相切列方程，求出方程中的常参数.解法一:设圆心坐标为C(a,b)，圆方程即为(xa)2+(yb)2=25.点P(1，1)在圆上，则(1a)2+(1b)2=25.又l为圆C的切线，则CPl,=2.联立解得或即所求圆的方程是(x1)2+(y12)2=25或(x1+)2+(y1+2)2=25.解法二:设圆方程为(xa)2+(yb)2=
3、25,过P(1，1)的切线方程是(1a)(xa)+(1b)(yb)=25.整理得(1a)x+(1b)ya(1a)+b(1b)+25=0.这就是已知直线l的方程,即=.解得或即得圆方程.注:当然还有很多方法，比如利用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0来求解也可.【例3】 设AB是圆x2+y2=1的一条直径，以AB为直角边、B为直角顶点,逆时针方向作等腰直角三角形ABC.当AB变动时，求C点的轨迹.解法一:(参数法)取xOB=为参数，则B(cos,sin),于是，(xcos)2+(ysin)2=4.=cot,消去得x2+y2=5.故所求轨迹是以原点为圆心，为半径的圆.解法二:(相关点法)设
4、C(x,y)、B(x0,y0),当x0、y00时，则(xx0)2+(yy0)2=4.=1.由x02+y02=1消去x0、y0得轨迹方程.显然当x0=0或y0=0时，方程也适合.解法三:(几何法)连结CO，因为|OC|2=|OB|2+|AB|2=5为定值，故其轨迹为圆.评析:求轨迹的方法很多，注意合理选取，参数法求轨迹方程是常用方法之一，常用到的参数有斜率、点的坐标、长度、夹角等.试题详解高中同步测控优化训练(九)第七章 直线和圆的方程(二)(A卷)说明:本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷(选择题 共30分)一、
5、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的，则下列命题中正确的是A.方程f(x,y)=0表示的曲线一定是曲线CB.坐标满足方程f(x,y)=0的点一定在曲线C上C.方程f(x,y)=0表示的曲线不一定是曲线CD.曲线C是坐标满足方程f(x,y)=0的点的轨迹解析:命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”只是曲线与方程概念中的条件之一，所以曲线C与f(x,y)=0不等价.答案:C2.直线l将圆x2+y22x4y=0平分，且与直线x+2y=0垂直，则直线l的方程为A.y=2xB.y=2x2C.y=x+D.y=x+解析:
6、圆心为(1，2)，直线l过点(1，2)且斜率为2，得方程y=2x.答案:A3.到两个坐标轴距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是A.2条直线B.4条直线C.4条射线D.8条射线解析:设动点M为(x,y)，则|x|y|=2|x|y|=2.当x0，y0时，xy=2；当x0,y0时，x+y=2；当x0，y0时，x+y=2；当x0,y0时，xy=2.答案:D4.方程|x|1=表示的曲线是A.一个圆B.两个半圆C.一个半圆D.两个圆分析:化简方程为已知曲线.解:原方程化为|x|1,x22|x|+1=1(y1)2,即(x1)2+(y1)2=1.答案:B5.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示圆，
7、则a的取值范围是A.(,2)B.(,2)C.(2,0)D.(2,)分析:注意二元二次方程表示圆的条件.解:根据x2+y2+2Dx+2Ey+F=0表示圆，需D2+E2F0,得()2+a2(2a2+a1)0,即2a.答案:D6.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.都有可能分析:本题主要考查直线与圆的位置关系.解:依题意1,故P点在圆外.答案:B7.两条曲线y=a|x|和y=x+a(a0)有两个不同的公共点，则a的取值范围是A.a1B.0a1C.D.0a1分析:利用数形结合判断曲线交点情况.解:y=x+a的斜率为1，在y轴上的截距a0
8、,要使其与y=a|x|这条折线有两个不同的公共点，需a1.答案:A8.圆x2+y24x+2y+c=0与直线x=0交于A、B两点,圆心为P,若PAB是正三角形,则 C的值为A.B.C.D.分析:本题考查直线截圆所得弦长问题,一般用几何法较简单.解:圆心(2,1)到x=0的距离为2,设圆的半径为r,则r2=,c+5=.c=.答案:A9.与圆x2+y24x+2y+4=0关于直线xy+3=0对称的圆的方程是A.x2+y28x+10y+40=0B.x2+y28x+10y+20=0C.x2+y2+8x10y+40=0D.x2+y2+8x10y+20=0分析:本题考查有关对称的问题.主要依据两点:(1)对称
9、点连线垂直于对称轴；(2)两对称点连线的中点在对称轴上,对于特殊的对称轴解法较易.解:因x2+y24x+2y+4=0的圆心坐标O1(2,1),半径r1=1,点O1(2,1)关于直线xy+3=0的对称点为O(4,5),所以,要求得的圆的方程为(x+4)2+(y5)2=1,即x2+y2+8x10y+40=0.答案:C10.曲线y=1+(2x2)与直线y=k(x2)+4有两个交点时，实数k的取值范 围是A.，+)B.(，C.(0，)D.(，解析:利用几何图形所示，由数形结合的方法知，当且仅当kPTkkPB，即k时，两曲线有两个交点.答案:B第卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题
10、4分，共16分)11.圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,4)、B(0,2),则圆C的方 程为_.分析:本题考查圆的方程的求法,确定圆心和半径.解:设圆C的方程为(xx0)2+(yy0)2=r2.圆心在直线2xy7=0上，2x0y07=0.又圆过A(0,4)、B(0,2),x02+(4y0)2=r2,x02+(2y0)2=r2.由解得圆的方程为(x2)2+(y+3)2=5.答案:(x2)2+(y+3)2=512.已知曲线y=kx+1与x2+y2+kxy9=0的两个交点关于y轴对称，则k=_,交点坐标为_.解析:关于y轴对称的两个交点在直线y=kx+1上，k=0,y=1.代入x2
11、+y2+kxy9=0,得x2=9,x=3,故交点是(3,1).答案:0 (3,1)13.动圆x2+y2bmx2(m1)y+10m22m24=0的圆心轨迹方程是_.分析:本题考查轨迹方程的求法,注意对变量m的限制条件.解:圆的方程可化为(x3m)2+y(m1)2=25.不论m取何实数,方程都表示圆.设动圆圆心为(x0,y0),则消去参变量m,得x03y03=0,即动圆圆心的方程为x3y3=0.答案:x3y3=014.已知两点M(1，)、N(4，),给出下列曲线方程:2x+y1=0；2x4y+3=0；x2+y2=3；(x+3)2+y2=1.在曲线上存在P点满足|PM|=|PN|的所有曲线方程是_.
12、解析:到M、N距离相等的点在MN的垂直平分线2x+y+3=0上，与平分线有交点.答案:三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)圆经过点A(2，3)和B(2，5).(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x2y3=0上，求圆的方程.(1)解:要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，所以所求圆的方程为 (x2)(x+2)+(y+3)(y+5)=0,即x2+(y+4)2=5.(2)解法一: 因为kAB=12,AB中点为(0，4)，所以AB中垂线方程为y+4=2x，即2x+y+4=0，解方程组得所以圆心为(1，2).根据两点间的距离
13、公式，得半径r=,因此，所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.解法二:所求圆的方程为(xa)2+(yb)2=r2，根据已知条件得所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.16.(本小题满分10分)光线l过点P(1，1)，经y轴反射后与圆C:(x4)2+(y4)2=1相切，求光线l所在的直线方程.解:设l与y轴的交点(即反射点)为Q,点P关于y轴的对称点为P(1，1).由光学知识可知直线PQ为反射线所在的直线，且为圆C的切线.设PQ的方程为y+1=k(x+1)，即kxy+k1=0,由于圆心C(4，4)到PQ的距离等于半径长，=1.解得k=或k=.由l与PQ关于y轴对称可得l
14、的斜率为或，光线l所在的直线方程为y+1=(x1)或y+1=(x1),即4x+3y1=0或3x+4y+1=0.17.(本小题满分12分)求通过原点且与两直线l1:x+2y9=0,l2:2xy+2=0相切的圆的 方程.解:圆与l1、l2相切，故圆心的轨迹在l1与l2的夹角平分线上.k1=,k2=2,k1k2=1,l1l2.设l1与l2的夹角平分线为l,其斜率为k,故l与l2夹角为45.|=1.k=3或k= (舍去).l:3x+y7=0,设圆心(a,b)，则解得或故圆方程为(x2)2+(y1)2=5或(x)2+(y+)2=.18.(本小题满分12分)已知定点A(4，0)和圆x2+y2=4上的动点B
15、，点P分AB之比为 21，求点P的轨迹方程.分析:设点P(x,y)、B(x0,y0)，由=2，找出x、y与x0、y0的关系.利用已知曲线方程消去x0、y0得到x、y的关系.解:设动点P(x,y)及圆上点B(x0,y0).=2,代入圆的方程x2+y2=4得()2+=4,即(x)2+y2=.所求轨迹方程为(x)2+y2=.19.(本小题满分12分)已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.分析:如下图所示,选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴.本题关键是求出圆心O的坐标.过O作AC的垂线,垂足为M,M是AC的中点,垂足M的横坐标与O的横坐标一致.同理可求出O的纵坐标.证明:如上图所示,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD外接圆的圆心O分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得x=xM=,y=yN=,xE=,yE=.所以|OE|=.又|BC|=,所以|OE|=|BC|.