1、1111111.22 32 224A.B.C.D.3333ABCDA B C DEFABBCCB EF 在棱长为 的正方体中,点、分别是棱、的中点,则点到平面的距离是 D11 1111111.3223243233D.B EFB C FCB EFhVCEFBVEB C FSShh设到平面的距离为由,且,则,得,解析：故选2.ABCD 如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为 等腰四棱锥，四条侧棱称为它的腰.以下四个命题中为假命题的是.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上B3.A1 3
2、B13 C13 3 D19正方体的内切球与其外接球的体积之比为.C4.3,4,5 .若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为,从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点，其最短路程是 74111115.sin .(a bABCDA B C DAB AD AAaba baba b定义向量运算:的结果为一个向量,其模为,且与向量,均垂直.则下图平行六面体的体积用,表示为用运算符号及数)量积表示111|()|()|()|AAABADAB ADAAAD ABAA或或空间角和距离的综合应用 18.6/.12AFDEOOADADBCOABACOE ADBADFBDEF如图所示,、分别是、的直
3、径.与两圆所在的平面均垂直,是的直径,求二面角的大小；求直线与所成角例1:的余弦值 45.154.ADADABADAFBAFBADFBCOABACAOBCAFOBAFBAABDFFC因为与两圆所在的平面均垂直,所以，故是二面角的平面角因为是圆 的直径，所以又是圆 的直径，所以四边形是正方形解析：所以，即二面角的大小为，2.0,0,0(03 2 0)(3 2 0,0)(03 2 8)0,0,8(0,3 2 0)OCBxAFyOEzOxyzOABDEF以 为原点,以所在直线为 轴,以所在直线为 轴,以所在直线为 轴,建立如图所示空间直角坐标系依题意,有,，,，,，,，(3 23 2 8)(03 2
4、 8)cos|0 186482.101008282cos|cos82.|.1010BDFEBD EFBD EFBDEFBDEFBBDEFD EF 故异面所以,，,，所以,设异面直线与所成的角为，则直线与所成角的余弦值为,空间中出现圆的时候,要充分利用好圆的平面几何性质,如同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,圆的直径所对的圆周角是直角,圆的特征三角反思小结：形等等 111111111121234ABCDA B C DADAAABEABD EA DEABEACDAEDECD如图,在长方体中,，,点 在棱上移动证明：；当 为的中点时,求点 到平面的距拓离；等于展练习1何值时,二面角的大小
5、为：？1DDA DC DDx y z解以 为坐标原点,直线,分别为,轴，建立空间直析：角坐标系 1111111,0,10,0,1(10)1,0,00,2,011,0,1(11)0.AExADExACDA D ExDAD E设,则,，,证明：因为,，所以 11111121,1,0(1,11)1,2,01,0,1()0200022,1,2|2 1 2133EABED EACADACDabcACabacADabacEACDD Eh nnnnnn因为 为的中点，则，从而,设平面的法向量为，则，即，得,从而所以点 到平面的距离为.11111213()(12,0)(0,21)0,0,1020.200122
6、2,1,2|22cos 4|225D ECabcCExD CDDD Cbcab xCEbcaxxDDDDx nnnnnn设平面的法向量，因为,，,，所以由令,所以,，所以依题意,即112232223()23.4AEDECDxx所以，所以不合,当时,二面角的大小为舍去,利用空间向量处理存在性的问题 16210.1/2(2009)PACABCABCACE F OPA PB ACACPAPCGOCFGBOEABOMFMBOEMOA OB如图,平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,的中点,设 是的中点,证明:平面；证明:在内存在一点,使平例：浙江面,并求点到,卷的距离 11.OPOOB OC
7、OPxyzOxyz证明：如图,连接,以点 为坐标原点,分别以,所在直线为 轴,轴,轴建立空解间方法：直角坐标系析：0,0,0(08,0)8,0,00,8,00,0,6(04,3),4,0,30,4,0OABCPEFG则,，,.由题意,得 0000008,0,0(04,3)0,3,4(4,43)0./.2(,0)(43)/.994(40)44OBOEBOEFGFGFGBOEFGBOEMxyFMxyFMBOEFMxyM nnn因为,，,所以平面的法向量由，得又直线平面,所以平面设点的坐标为,则,因为平面，所以因此,即点的坐标是，00.8.94.4MMOAOxOyAOBxyxyMAOBMFMBOEB
8、 在平面直角坐标系中,的内部区域可表示为不等式组经检验,点的坐标满足上述不等式组所以,由点的坐标，得点到，的距离分别为在内存在一使面，点,平 1././.2PEHHGHFEOGHFPAACOCPEPBHG OEHF EBFGHBOEFGFGHFGBOE证明：如图，取的中点，连接，因为点，分别是，的中点，所以，因此，平面平面因为在平面内，所以平面方法：2./.OAPPPNOEOANOEQBNFFM PNBNM在平面内,过点 作,交于点,交于点连接,过点 作,交于点.FMBOEOBPACOBPNPNOEPNBOEFMBOE以下证明平面由题意，得平面，所以又因为，所以平面因此平面124Rt52549
9、costa1194.22n542MAOBMOAOBOBONOAPOEPAPQPQNPOONOPNPOOAOPNOAFPBMBN在中,，,，所以点 在因此点在内，点到，的距离分别线段上因为 是的中点，所以，是的为中点反思小结：空间中的存在性问题的分析方法：一是传统法，则需要先猜想后证明，对同学们的空间想象能力要求较高；二是向量法，利用坐标建立方程，从而转化为代数运算 111111.1/223POABCDA B C DEABABkAAA EPBCkPAPBCkOPBCPBC如图,、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点,求证：平面；当时,求直线与平面所成角的正弦值；当 取何值时,在平面内的射影恰
10、好为拓展练习2：的重心？OOAOBOPxyz以点 为原点,直线、所在直线分别为、轴,建立如图所示的空间直角解析：坐标系12 22 22 2(2,0)1,1,0(0,0)0,2,02,0,0ABAEPkkBC不妨设,则得，、，、111112 21(1,1)2 2(22,0)(0,2)2 22 2(1,1)(22,0)(0,2)111.22/.A EkBCPBkA Ex BCy PBxykkxyA EBCPBBCPBB A EPBCA EPBC 证明：由上得，,，设，得，解得，,所以因为,平面，所以平面 220,0,22,0,0(2,02)(22,0)(0,22)(1)0101.0106(111)
11、cos.3|kPAPABCPBPBCBCPBPAPAPA nnnnnnn当时，由、，得，,，,，设平面的法向量为,，则由，得，得故，则,所6.3PAPBC以直线与平面所成角的正弦值为 2 2 2 231()3 332 2 2 2()3 3302.20PBCGkOGkOPBCPBCOkOPG BCkOG PBBCPBC 由知的重心 为，则，若 在平面内的射影恰好为的重心，则有所以,当时,在平面内的射影，恰好解得为的重心几何体的折叠与展开问题 111602.123ABCCDBBABCAB DACB D以等腰直角的斜边上的高为棱折成一个的二面角,使 到 的位置,如图所示.已知斜边求：顶点 到平面的距
12、离；顶点例：到平面的距离 1111111111111.21.2.601.CDBDCDB DCDADB DADDCDAB DCDCAB DABCDCDAB DCDCB DAB DCB DADB DACABAB DBDD解析：故顶点因为，所以又，且，所以平面，故的长为点 到平面的距离因为，所以因为平面，平面，所以平面平面因到平面的距离为为,所以为正三角形11111131.223EB DAEB DAECB DAEACB DADBAEACB D设 为的中点,则,所以平面，故的长为点 到平面的距离故顶点 到平又因为是边面的距长为 的正三角形,所离等于以反思小结：折叠问题的解题关键在于分析好两种关系，即翻
13、折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变掌握立体图形与平面图形的相互转化，可以解决由平面图形按要求折叠成立体图形或展开曲面将立体几何图形转化为平面图形相关的计算与证明问题折叠问题中，抓住位于同一半平面内的图形相对位置关系和度量关系均不变1111119062 .3 ABCA B CACBACBCCCPBCCPPA如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，是上一动点，则的最小值是拓展练习：5 2 1111111111111904515 2.35A BBCCBCA BCACACAC BBCC CACCA连接，沿将展开与在同一个平面内，如图所示，连接，则的长度就是所求的最解析：由余弦定理可求得
14、小值通过计算可得，所以，类比思想在立体几何中的运用222._4_ABCABACABACBCABCDABCACDADB在平面几何里,有勾股定理：设的两边，互相垂直,则拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：设三棱锥的三个侧面、两两互相垂直，则例：.ABCACDABDABACADABACDBBECDEABCDBECDABBEBCDABECDBCDABEBCDBEAABEAHBEHAHBCD如图所示，由已知三个侧面、两两垂直，易知三条侧棱、也两两垂直，则平面过 点作，为垂足由，知平面又平面，因此，平面平面，且两平面的交线为过 点在平面内作，为
15、垂足，则平面解析：2222222222RtRt.111()()422S.SSS(S)SS.ACDBCDHCDABCHBCBCDABDHACDABCABDBCDHBCDHBCHBDBCDBCDDBAEAHEAEHE BECDAECD BECD HESSSSSSSSSS易知所，所以于是，即同理可,，以得反思小结：此题是类比思想的运用，从平面几何拓展到空间立体几何，可以先猜后证 12 4 .PA BPABP A B CP ABCSPA PBSPA PBVV由图有面积关系：，则由图有体积关系：拓展练习：PA PB PCPA PB PC.1313 sinsi.nPA CP A B CBPA CP ABC
16、B PACPACBPA CB OOBPACBOOBPOB POSB OVVVVSBOPA PC PBB POPA PC PBBPPA PB PCPABCOPP 过作平面的垂线，垂足为，过作平面的垂线，垂足为，则解析：1.空间中的距离空间中的距离包括空间两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两异面直线的距离、平行直线及平面间的距离在这些距离中，最核心的知识是点到平面的距离求距离的核心思维方法是转化求空间距离常见方法：一是作出垂线，构造包含这条垂线的平面，在平面中通过解三角形来获得垂线段的长，从而求出距离；二是利用等积转化，即三角形面积法或三棱锥体积法；三是建立空间直角坐标系,利用向量的坐
17、标运算和数量积的几何意义求出距离2().空间中的角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角在这些角中，最核心的知识是直线与平面所成的角求角的大小的核心思维方法也是转化求角的大小常见的方法：一是作出角，在平面中通过解三角形来获得角的大小 异面直线所成角通过平移构造三角形，直线与平面所成角可以用最小角定理，二面角可以用面积的比；二是建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算和数量积的几何意义求出所求角的余弦值1.“”“”“”“”(2010)将侧棱相互垂直的三棱锥称为 直角三棱锥，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的 直角面和斜面，过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的 中
18、面 已知直角三角形具有性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：佛山市质量检测 .直角三棱锥中,斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 1231232.(2010).OABCOAOBOCOAOBOCOAOBOCS SSS SS 如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且，分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为,则,的大小关系为江西卷321SSS 123213642120140645440222215221322.OAOBOCBCCA ABD E FOADOBEOCFSSSSSS 特殊化法.令,分别取，,边的中点,则,分别为满足条件的截面三角解析：满形，且它们均为直角三足角形，故，空间距离与空间角是立体几何各种题型命题的热点，要对空间角与距离的基本几何形态有清楚的理解，掌握处理空间问题中转化的思维方法，尤其是掌握向选题感悟：量方法
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