1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)空间向量的数量积运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.60B.30C.135D.45【解析】选D.因为a-b与a垂直,所以(a-b)a=0,所以aa-ab= |a|2-|a|b|cos=1-1cos=0,所以cos=.因为0180,所以=45.2.(2014广州高二检测)若a,b均为非零向量,则ab=|a|b|是a与b共线的()A.充分不必要条件B.必要不充分条
2、件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解析】选A.ab=|a|b|cos=1=0,即a与b共线,反之不成立,因为当a与b共线反向时,ab=-|a|b|.3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+3b|等于()A.B.C.D.4【解析】选C.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2=1+6cos60+9=13.所以|a+3b|=.4.(2014青岛高二检测)已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A.8B.C.4D.【解析】选D.cos=,所以sin=,所以平行四边形的面积S=|a|b|sin=.5.已知PA平面ABC
3、,垂足为A,ABC=120,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.6B.6C.12D.144【解析】选C.因为=+,所以=+2= 36+36+36+236cos60=144.所以|=12.6.(2014福州高二检测)若向量m垂直于向量a和b,向量n=a+b(,R,且0),则()A.mnB.mnC.m,n既不平行也不垂直D.以上三种情况都可能【解析】选B.因为mn=m(a+b)=ma+mb=0,所以mn.【一题多解】选B.由向量n=a+b(,R,且0)知向量n与向量a,b共面,故向量mn.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3
4、k,则ab等于.【解析】ab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:-28.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则ab+bc+ca的值为.【解题指南】本题的关键是利用条件a+b+c=0,两边平方,再结合模求解.【解析】因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,所以ab+bc+ca=-=-13.答案:-139.(2014聊城高二检测)设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则=.【解析】因为(2m+n)(m-3n),所以(2m+n)
5、(m-3n)=0,化简得mn=-2.又因为|a|=6, |b|= =3,ab=(4m-n)(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+mn=18,所以cos=1,得=0.答案:0【变式训练】已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,求.【解析】(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16ab=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0,解之得|b|2=2ab=|a|2,所以cos=,所以=60.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图所示,已知ADB和ADC都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,BAC=60.求的值.【解
6、析】不妨设AD=BD=CD=1,则AB=AC=.=(-)=-,由于=(+)=1,=|cos60=1.所以=0.11.(2014牡丹江高二检测)如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD=60.求证:CC1BD.【解题指南】利用已知条件表示所证明的两条直线所在的向量的数量积为0,即可证明两条直线垂直.【证明】设=a,=b,=c,则|a|=|b|.因为=-=b-a,所以=(b-a)c=bc-ac=|b|c|cos60-|a|c|cos60=0,所以,即CC1BD.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知a,b是异面直线,
7、ab,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.由ab,得ab=0,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0.因为e1e2=0,所以2k-12=0,所以k=6.2.(2014郑州高二检测)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)(-)=0,则ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选B.因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+)(-)=|2-|2=0,所以|=|.3.(2014银川高二检测)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D
8、1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60,则此平行六面体的对角线AC1的长为()A.B.2C.D.【解析】选D.因为=+,所以|2=(+)2=+2+2+ 2=1+1+1+2(cos60+cos60+cos60)=6,所以|=.【拓展延伸】求两点间的距离或某条线段的长度先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=aa,通过向量运算去求|a|,即得所求距离.4.(2014天津高二检测)如图,正四面体ABCD中,E是BC的中点,那么()A.D.与不能比较大小【解析】选C.因为=(+)(-)=(|2-|2)=0,=(+)=(-)+=|cos120
9、-|cos120+|cos120.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E,F分别为棱AB,AD的中点,则|+|=,|-|=,与所成角为.【解题指南】可先化简+知其等于,再用表示进而把向量-用向量,表示.【解析】|+|=|=2;=,=22cos60=2,故|-|2=|-|2=-+=4-2+4=3,故|-|=.又因为=(-),故=(-)=(-)=0,因为0180,所以=90.答案:2906.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:(+)2=3;(-)=0;与的夹角为60;正方体的体积为|.其中正确命题的序号是.【解析】如图所示,(+)2=(+)
10、2=3; (-)=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60,故与的夹角为120;正方体的体积为|.综上可知,正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知正四面体OABC的棱长为1,点E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积:(1).(2)(+)(+).(3)|+|.【解题指南】根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.【解析】(1)因为E,F分别是OA,OC的中点,所以EFAC,且EF=AC,于是=|cos=|cos=11cos=11cos60=.(2)(+)(+)=(+)(-+-)=(+)(+-2)=+-2+-2=
11、1+-2+1-2=1.(3)|+|=.【拓展延伸】利用图形找关系在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.8.(2014济南高二检测)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为1,计算.(2)设与的夹角为,求|.【解析】(1)=+,=+.因为BB1平面ABC,所以=0,=0.又ABC为正三角形,所以=-=-=.因为=(+)(+)=+=|cos+=-1+1=0,所以=90.(2)结合(1)知=|cos+=-1.又|=|,所以cos=,所以|=2.【变式训练】如图所示,已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分别是AD,BC的中点,试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.【解析】因为点F是BC的中点,所以=(+).所以=-=(+)-=(+-).又|=|=|-|,所以=-2+,同理=-2+.由代入可得=-2+-2+,所以2-2(+)=0,所以(+-)=0.所以(+-)=0.所以=0,.同理可得,所以EF是AD与BC的公垂线.关闭Word文档返回原板块