1、2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知ab，则下列结论正确的是（）Aa2b2Ba+cb+cCacbcD2在ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45，则角A=（）A30B30或105C60D60或1203若，则z=xy的最大值为（）A1B1C2D24以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）Ay2=16xBy2=16xCy2=8xDy2=8x5首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）ABd3Cd3D6若
2、“x0R，x02+ax0+10”是假命题，则实数a的取值范围是（）A（，2）B（，2C（，22，+）D2，27在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60，b2=ac，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形8设数列an的前n项和，则a3的值为（）A6B14C20D249下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是（）A和 B和 C和 D和10已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（）ABCD不存在11函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示
3、，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A1B2C3D412椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为，则此椭圆的方程是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13已知命题p：9x20，q：x2+x60，则p是q的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）14设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=15在等比数列an中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=，则+=16已知双曲线2x2y2=1的一条弦AB的斜率为k，弦AB的中点为M，O为原点，若OM的
4、斜率为k0，则k0k=三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17在ABC中，b=2，ABC的面积为（1）求a的值；（2）求sinA值18已知等差数列an的前n项和为Sn，其中a2=3，S5=25（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn19某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平
5、均购地费用=）20已知直线y=x2与抛物线y2=2x相交于A、B两点（1）求证：OAOB（2）求|AB|21已知函数（xR），其中m0为常数（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值22如图，已知A、B是两个顶点，且，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P（1）当M变化时，建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程（2）设P的轨道为曲线C，斜率为1的直线交曲线C于N、Q两点，O为坐标原点，求NOQ面积的最大值，及此时直线l的方程2016-2017学年广西南宁八中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题
6、（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知ab，则下列结论正确的是（）Aa2b2Ba+cb+cCacbcD【考点】不等式的基本性质【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【解答】解：A取a=1，b=2时不成立B由ab，利用不等式的基本性质可得：a+cb+c，成立Cc0时，不成立D取a=3，b=2时不成立故选：B2在ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若a=，b=，B=45，则角A=（）A30B30或105C60D60或120【考点】解三角形【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，由a大于b
7、，根据大边对大角，得到A大于B，由B的度数及三角形内角可得出角A的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数【解答】解：由a=，b=，B=45，根据正弦定理=得：sinA=，由a=b=，得到A（45，180），则角A=60或120故选D3若，则z=xy的最大值为（）A1B1C2D2【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=xy过点A（1，0）时，z最大值即可【解答】解：根据约束条件画出可行域，当直线z=xy过点A（1，0）时，z最大值，最大值是1，故答案为B4以双曲线=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（）Ay2=16xBy2=16x
8、Cy2=8xDy2=8x【考点】抛物线的简单性质【分析】根据双曲线方程，算出它的右焦点为F（4，0），也是抛物线的焦点由此设出抛物线方程为y2=2px，（p0），结合抛物线焦点坐标的公式，可得p=8，从而得出该抛物线的标准方程【解答】解析由双曲线方程=1，可知其焦点在x轴上，由a2=16，得a=4，该双曲线右顶点的坐标是（4，0），抛物线的焦点为F（4，0）设抛物线的标准方程为y2=2px（p0），则由=4，得p=8，故所求抛物线的标准方程为y2=16x故选A5首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）ABd3Cd3D【考点】等差数列的性质【分析】先设数列为an公差
9、为d，则a1=24，根据等差数列的通项公式，分别表示出a10和a9，进而根据a100，a90求得d的范围【解答】解：设数列为an公差为d，则a1=24；a10=a1+9d0；即9d24，所以d而a9=a1+8d0；即d3所以d3故选D6若“x0R，x02+ax0+10”是假命题，则实数a的取值范围是（）A（，2）B（，2C（，22，+）D2，2【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题【分析】若“x0R，x02+ax0+10”是假命题，则x2+ax+10恒成立，则=a240，解得实数a的取值范围【解答】解：若“x0R，x02+ax0+10”是假命题，则x2+ax+10恒成立，则=a240，解
10、得：a2，2，故选：D7在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60，b2=ac，则ABC一定是（）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=ac，化为（ac）2=0，解得a=c又B=60，可得ABC是等边三角形，故选：C8设数列an的前n项和，则a3的值为（）A6B14C20D24【考点】等差数列的通项公式【分析】利用则a3=S3S2，即可得出【解答】解：，则a3=S3S2=32+3（22+2）=6故选：A9下列各对
11、双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是（）A和 B和 C和 D和【考点】双曲线的简单性质【分析】分别求出A，B，C，D离心率和渐近线，再进行比对【解答】解：A中，渐近线方程分别是y=x，y=x，离心率都为，B中，渐近线方程都是y=x，离心率分别为，2，C中，渐近线方程分别是y=x，y=x，离心率都为2，D中，渐近线方程分别是y=x，离心率分别为，故A正确故选D10已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为（）ABCD不存在【考点】基本不等式在最值问题中的应用；数列与不等式的综合【分析】an为等比数列，可设首项为a1，公比为q，从而由a
12、7=a6+2a5可以得出公比q=2，而由可以得出m+n=6，从而得到，从而便得到，这样可以看出，根据基本不等式即可得出的最小值【解答】解：设数列an的首项为a1，公比为q，则由a7=a6+2a5得：；q2q2=0；an0；解得q=2；由得：；2m+n2=24；m+n2=4，m+n=6；=，即n=2m时取“=”；的最小值为故选：A11函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A1B2C3D4【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据当f（x）0时函数f（x）单调递增，f（x）0时f（x）单调递减，
13、可从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，然后得到答案【解答】解：从f（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点故选：A12椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为，则此椭圆的方程是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知列式b=c，ac=，又a2=b2+c2，求出a，b，c的值即可【解答】解：解：不妨以焦点在x轴上的椭圆为例，如图，则由题意可得，b=c，ac=，又a2=b2+c2，联立以上三式解得：a=4，b=c=4椭
14、圆方程为：故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13已知命题p：9x20，q：x2+x60，则p是q的必要不充分条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用不等式的解法分别化简命题p，q，即可判断出结论【解答】解：命题p：9x20，解得3x3q：x2+x60，3x2则p是q的必要不充分条件故答案为：必要不充分14设f（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=e【考点】导数的运算【分析】先根据乘积函数的导数公式求出函数f（x）的导数，然后将x0代入建立方程，解之即可【解答】解：f（x
15、）=xlnxf（x）=lnx+1则f（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e故答案为：e15在等比数列an中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=，则+=【考点】等比数列的性质【分析】先把+进行分组求和，再利用等比中项的性质可知a7a10=a8a9，最后把a7+a8+a9+a10=，a8a9=代入答案可得【解答】解： +=（+）+（+）=+=故答案为16已知双曲线2x2y2=1的一条弦AB的斜率为k，弦AB的中点为M，O为原点，若OM的斜率为k0，则k0k=2【考点】双曲线的简单性质【分析】设点，代入双曲线方程，利用点差法，结合线段AB的中点为M，即可得到结论【解答】解：设A（x1，y1）
16、，B（x2，y2），M（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y，A，B代入双曲线方程，两式相减可得：2（x1x2）2x（y1y2）2y=0，AB的斜率为k，直线OM的斜率为k0，k0k=2故答案为2三、解答题（本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17在ABC中，b=2，ABC的面积为（1）求a的值；（2）求sinA值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式即可解得a的值（2）由已知及余弦定理可解得c的值，利用正弦定理即可得解sinA的值【解答】（本题满分为10分）解：（1）且0C，a=1（2）由余弦定理
17、得：c2=a2+b22abcosC=2，由正弦定理得：得18已知等差数列an的前n项和为Sn，其中a2=3，S5=25（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出（2）利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a2=3，S5=25a1+d=3， d=25，解得a1=1，d=2an=1+2（n1）=2n1（2）=，数列bn的前n项和Tn=+=19某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房
18、建为x（x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；实际问题中导数的意义【分析】先设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，根据题意写出综合费f（x）关于x的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而得出它的最小值即可【解答】解：方法1：导数法设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则（x10，xZ+），令f（x）=0得x=15当x15时，f（x）0；当0x15时，f（x）0因此当x=15时，f（x）取最小值f
19、（15）=2000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层方法2：（本题也可以使用基本不等式求解）设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则，当且进行，即x=15时取等号答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层20已知直线y=x2与抛物线y2=2x相交于A、B两点（1）求证：OAOB（2）求|AB|【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）先联立直线与抛物线方程消去x，利用韦达定理取得y1+y2和y1y2的值，进而根据直线方程求得x1x2的值，利用x1x2+y1y2=0，证明OAOB（2）利用弦长公式求|AB|【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2
20、）联立直线与抛物线方程得y22y4=0y1+y2=2，y1y2=4x1x2=（y1+2）（y2+2）=y1y2+2（y1+y2）+4=4，x1x2+y1y2=0，OAOB（2）解：直线方程代入抛物线方程整理得：x26x+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=6，x1x2=4，|AB|=221已知函数（xR），其中m0为常数（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）根据m=1，我们易求出f（1）及f（1）的值，代入点
21、斜式方程即可；（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数的单调区间【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=x3+x2，f（x）=x2+2x，故f（1）=1所以曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率为1，而f（1）=，故切线方程是：y=x1，整理得：y=x；（2）f（x）=x2+2x+m21令f（x）=0，解得x=1m，或x=1+m因为m0，所以1+m1m当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，1m）1m（1m，1+m）1+m（1+m，+）f（x）
22、0+0f（x）递减极小值递增极大值递减所以f（x）在（，1m），（1+m，+）内是减函数，在（1m，1+m）内是增函数函数的极小值为：f（1m）=m3+m2；函数的极大值为：f（1+m）=m3+m222如图，已知A、B是两个顶点，且，动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P（1）当M变化时，建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程（2）设P的轨道为曲线C，斜率为1的直线交曲线C于N、Q两点，O为坐标原点，求NOQ面积的最大值，及此时直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【分析】（1）根据题意画出图形，利用垂直平分线转换线段的关系得到PA+PB=4，据椭圆的定义即可
23、得到动点P的轨迹方程（2）利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：（1）以线段AB的中点为坐标原点，直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系由线段MB的垂直平分线l交MA于点P知，PB=PM故PA+PB=PA+PM=AM=4，A（，0），B（，0），即P点的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，中心为（0，0），可得a=2，c=，则b=1故P点的方程为：（2）设l：y=x+m并代入得5x2+8mx+4m24=0，=（8m）245（4m24）08016m20 即m（，），|PQ|=又原点O到直线l的距离为d=SOPQ=2=2，当且仅当5m2=m2即m=时等号成立，故OPQ面积的最大值为：2此时直线l的方程：y=x2017年2月14日