1、辽宁省沈阳2023-2024高三上学期重点高中期中联合检测数学（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号3答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效4考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回第1卷（选择题，共 60 分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1复数(i+l)i在复平面内对应的点所在的
2、象限为A第一象限B第二象限c第三象限2.若全集U=lxeZII无 141,A=l-3,-2，一1,0,11，则岛A=A.I-4 2 34 1B.12 3 41C.I-3-2-10 l3.已知等差数列 I an I 的前n项和为Sn，且a3+a4+a5=6，则S产A.21B.18C.144若a=（上）1.i,b=ln 2,c主，则A.abcB.bacC.cahA.2B.1C.一13邓7.已知a,/3为锐角，且tan a=2,cos(a/3）一一一，则tan(a书）10（）D第四象限（）D.l-3,-2,-l,O,ll（）D.12（）D.bca5.已知单位向量a,b，且（a+b)上(2a-3b)，
3、则(a,b=（）A.180 B.120C.60D.306.已知直线x-y+3=0是曲线y=x忤叩 1的一条切线，则实数m的值为（）D.-2（）A.立1 39-13BC.-127-12D高三数学第1页（共 4 页）8.巳知定义在R上的函数f(x）满足J(x)-J(-x)=3，且函数J(x+l)是奇函数，当无e-4,0 日寸，才FF（父）1-x2,IJ/(2023)=()A.-6 B.2c.-5 D.10二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知向投a=(1,3),b=(2,-4)，则A
4、.a b=10J(C.a主叶打371 B.向证a,b的夹角为一4 D.向量c=(-6,2)与a垂直10.函数如）2sin（皿cp)(TT 吵O,.l cp I了）的部分图象如图所示，则A.w=2勹B.cp=3 c点（长）是函数如）图象的 一个对称中心卫12(、，x 兰1211TT D直线元一是函数f(x)图象的对称轴r12 11若函数J(x)=3x-x3 在区间(a2一 12,a)上有最小值，则实数a可能的取值是（）A.0B.112.已知正实数x,y满足灶y=l，则A.x+y-4xyOc（开）（叶）习2C.2D.3（）B.x2+y2 11 4 9 D.一一 无l+y2 第 I1 卷（非选择题，
5、共 90 分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若命题“V年 0,3，父2-4x-aO”为真命题，则实数a的取值范围是14.已知在6.ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若向量m=(c+b,a),n=(a拐扒c-b)，且m/n，则角C的度数为1 85 15.已知在等比数列 I an I 中，a2=2,a5一，则满足不等式a 1 a2+a2 a3+an 生1 O时，I（元）一0，则函数F()式f（元）一1的零点个数为四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.(10分）已知函数f(x)一sin 2x+sin2比2(1)求
6、f(x)的最大值及相应x的取值；(2)若把知）的图象向左平移工个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)t3 增区间3打1118.(12分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c sin A=,cos B 一l4 14(1)求角C;(2)若c=l4，求ABC的面积19.(12分）已知Sn 是公差不为0的等差数列Ian I的前n项和，a2是a1与a4的等比中项，S9=45.(1)求数列Ian!的通项公式；(2)已知bn=a加I.3G一1,求数列队1的前n项和Tn.高三数学第3页（共4页）20.(12分）某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产兀(XEN.）台的收入函数为R（兀）3000
7、 x-20 x2(单位：元），其成本函数为C(x)=500 x+4000（单位：元），利润是收人与成本之差(1)求利润函数P（父）及其最大值；(2)为了促销，如果每月还需投人500元的宣传费用，设每台装置的利润为Q（元），求Q（允）的最大值及此时父的值1 21.(12分）设函数J(x)尤仁立尤2+b灶c，其中aO，曲线y=f(x）在点P(O,f(O)）处的切线方3 2 程为y=1.(1)确定b,c的值；(2)若过点(0,2)可作曲线y=f（元）的三条不同切线，求a的取值范围1 22.(12分）已知函数J(x)=2ln x-m兀2+l(meR).2(1)当m=l时，证明J伈）1 j(2)若关于元
8、的不等式j（元）（m-2)x恒成立，求整数m的最小值高三数学第4页（共4页）高三数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B【解析】因为(i+1)i=-1+i,所以复数(i+1)i在复平面内对应的点为(-1,1),在第二象限2.A【解析】U=x E Zllxl:;4=-4,-3,-2,-1,O,1,2,3,4，所以CuA=-4,2,3,4.3.C【解析】因为a3+a4+a5=3a4=6,所以a4=2,所以岛=7a4=14.4.D【解析】a=（主）1.2（矿,即Oa In./e=,即b；，所以b c a.5.A【解 析】因 为(a+b).l(2a-3b)，所 以
9、(a+b)(2a-3b)=O,所 以2lal2-3lhl2-lallblcos(a,b)=o,所以2-3-cos(a,b)=O,解得cos(a,b)=-1.因为(a,b)E o,180，所以(a,b)=180.6.D【解析】由曲线y=x3+mx+1,可得y=3x2+m.直线x-y+3=0的斜率为1.设切点为(a,a+3)根据题意，得3a2+m=1,解得a=-1,m=-2.a+3=a3+ma+1,7.A【解析】因为a,/3为锐角，所以a+JE(O,兀）由cos(a+/3)=气产得sin(a+B)J1-cos叩B)寻，所以tan(a+/J)=-又因为tan 2a=：，所以tan2a-tan(a+J
10、)_-i-（号）9tan(a-/J)=tan2a-(a+J)=一1+tan2atan(a+J)-1+（告）x(亨）138.B【解析】根据题意，设g(x)=f(x)-1.由f(x)+f(-x)=2,得f(x)-1 =-f(-x)-1，则有g(x)=-g(-x),所以函数g(x)为奇函数又因为函数f(x+1)是偶函数，所以g(x+1)=f(x+1)-1也是偶函数，则有g(-x)=g(x+2)，所以g(x+2)=-g(x)，变形可得g(x+4)=-g(x+2)=g(x)，所以函数g(x)是周期为4 的周期函数，所以g(2021)=g(1)=-g(-1)=-f(-1)-1又由当XE-1,0时，f(x)
11、=1-x气所以八1)=0，所以g(2021)=-(0-1)=1,则/(2021)-1=1,故/(2021)=2.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.BD【解析】因为向晕a=(L 3),b=(2,-4)，所以a b=1 X 2+3 X(-4)=-10,故A错误；向量a,b的夹角的余弦值cos(a,b)卢点画勹:污=早又(a,b)e o,叶，所以(a,b)于，故B正确；因为a抄（1，3)峙(2,-4)=(2,1)，所以la+抄|迈了了F污，故C错误；a c=(L 3)(-6,2)=-6+6=0,所以向噩c与a垂直，故D正确故选：BD.第1页共6页10.ACD【解析】A:山图象可得
12、扛 告（合），故T 兀 因为 u)o,芒 兀，所以 u)=2，故A正确；B：将（号扑代入解析式，得2sin(2 X告叶 2（旧气），解得p=-；，故B错误；C:f(x)=2sin(2x-；)，贝UfG)=2sin G-;)=0,B斤以点(:,o)是函数f(x)图象的 一个对称中心，故C正确；D：竺 亡 皿，因为x 竺是该函数图象的对称轴，所以x 止池是该函数图象的对称轴，12 2 12 12 12 故D 正确故选：ACD.11.ABC【解析】因为函数j(x)=3xx3，所以f(x)=3-3x气令f(x)=0，得x=士1.当Xl时，f(x)O;当lx 0,所以 当X=-1时，f(x)取得极小值八
13、1)=-2.因为在区间(a2-12,a)端点处的函数值取不到，所以极小值2 即正 12-1,为(a 2-12,a)上的最小值，所以解得la-1,(1,+00)上递减，且f(2)=-2，所以a:;2.综上：1 a:;2,所以实数a可能的取值是 o,I,2.故选：ABC.12.AD【解析】A:由气乓歹，得扣乏xy,即1 4xy,所以x+y-4xyO,当且仅当x=y=时，等号成立，故A正确；B:x 2+y 2=(x+y)2-2xy=1-2xy i 当且仅当x=y=；时，等号成立，故B错误；C:(1上）（1已 1上 产土 1竺 产 1+9,当且仅当x=y 卢时，等x y)xy xy xy xy xy
14、号成立，故C错误；1 4 1 1 4 1 1+y 4X D:由x+y=1,得X+1+y=2,则产了气仁言Y)(x+1+y)=i(1丁言尸4)纣(s+2R岳）当且仅当宁 苦，即x 主 y 钾时等号成立，故D 芷确故选：AD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.畛0【解析】因为函数f(x)=x 2-4x-a图象的对称轴x=2在o,3内，所以要使“2)，所以数列an+1是首项为q i知1an.4 1 a1a2=4 x 2=8，公比为的等比数列，所以8(1匀32(1古）a1少 a诬3+an佑1=4n 4 1-L=3 所以叩古）853 三 一，解得nO时，g(x)0,则g(x)在(o
15、,+oo)上单调递增因为f(x)为偶函数，所以g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增由图象可知g(x)与h(x)有两个交点，故函数F(x)的零点个数为2.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解：规范解答1(1)因为f(x)=sin2x+sin钮2 1-cos2x=sin2x+1分2 2 亨 sin伈)+主.3 分所以当2x气2kTI十 k E Z,X 评分细则按步骤给分即x=kn十平，kEZ时，f(x)取得最大值气旦5分的取值和f(x)(2)g(x)f(x+9.6分：最大值各1分亨 sin2(x平）气叶迈51=sin(2x+ii)+上2 12/2 8分由2kTI 一 2x苦 2k
16、TI十 k E Z,11TI TI 1导KT 一一一三x三KT十一，kE Z,24-24 k取0 或1,.9分增区间写成并集得g(x)在0,TI上的单调递增区间为o，会，詈：，叶 10分1形式扣 0.5 分11 18.解：（1)因为cos B=一，14 5范所以BE(0,),sin B=石石可14、3范s-./3因为，即sin A sin B,14 14 2分所以A B,则AE(o,巴），.2 3分13 所以cosA=-n-4分14 所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB13.11,3欢5范=-X-x 14 14 14 14=-.6分2 又0 C TI,故C=早
17、.8分第3 页共 6 页b 14(2)由正弦定理，得a 3西5西范14 14 2 解得a=6,b=10,10分所以.6.ABC 的面积为5.6.ABC=absinC=x 6 x 10 x if:=15范12分19.解：（1)设数列妇的公差为 d因为a2是al与a4 的等比中项，所以a=a1a4,l 分所以(a1+d)2=a1(a1+3d).2分岛 9a1 十荩X 9 X 8=45,解得生:.4 分d=1,所以an=a1+(n-l)d=n.5 分(2)由（1)知，加（2n-1)3正1,.6 分则几1 X 3+3 X 31+5 X 32+（2n-1)X 3n-l,3几1 X 31+3 X 32+5
18、 X 33+（2n-3)X 3n-l+(2n-1)X 3四7分两式相减，得-2Tn=1+2 X(31+32+33+3正1)-(2n-1)x3n9分=1+2x袄11勹尸（2n-1)X 3n=(2-2n)x3n-2,11分所以九（n-1)X 3n+1.12 分20.解：（1)由题意知，xEL 100,xEN*.P(x)=R(x)-C(x)=3000 x-20 x2-(SOOx+4000)1分=-20 x2+2500 x-4000=-2o(x 早）2+74125,所以函数P(x)图象的对称轴为x 号:,3 分所以当X=62或X=63时，P(x)取得最大值74120.6分 1(2)Q(x)=P(x)-
19、500.7 分X 4500=-20 x-+2500 X -2尸2500X 9 分=1900.10 分当且仅当20 x 竺巴，即X=15时，等号成立X 所以当X=15时，Q(x)取得最大值1900.12 分第4页共6页漏掉一个 x 的值，扣l分21.解：（1)f(0)=C=1.1分因为f(x)=x 2-ax+b,2分所以f(O)=b=0.3分(2)设切点为(t,f(t)），则f(t)=t 2-at,则切线方程为y-f(t)=(t2-at)(x-t),4分即y=(t 2-at)(x-t)+户号 t 2+1.5 分因为点(0,2)在切线上，所以（t2-at)t扣扣1=2,整理，得与3-t 2+1=0
20、.3 2 6分令g(t)扣扣1，则可转化为g(t)有 3 个不同的零点令g(t)=2t 2-at=t(Zt-a)=O,解得t=O或t=孚7分当t号时，g(t)o,函数g(t)在t千上单调递增；当Ot 钾时，g(t)o,函数g(t)在Ot 沪上单调递减8分如图，只要g（号）0即可，9分即2)3aa 2 3 2 士）12贲，所以a的取值范围为(2if3,+oo).12分 尸22.(1)证明：当m=1时，f(x)=2lnx-扣 2+1(x 0),1分2 2 2 一X所以f(x)=:-x=一(x 0).z分X X 令f(x)=O,得x迈当XE(0,迈）时，f(x)O,f(x)单调递增；当XE（拉，oo
21、)时，f(x)O,f(x)单调递减，所以f(x)在x=迈处取得唯一的极大值，即最大值，3 分所以f(x)max=f（句2ln-.fi.-x 2+1=ln2,所以f(x):;ln2.4分而ln2 lne=1,所以f(x)0).6分当mO时，因为气岊 O,所以G(x)o,所以G(x)在(o,+oo）上单调递增又因为G(l)沪 3 0,所以关千x的不等式G(x)O,X 同上可得关千x的不等式G(x)O时，令G(x)=O,得(mx-2)(x+1)x=0.解得X=.9分所以当XE(o,点）时，G(x)O,G(x)单调递增，当XE 侵 00）时，G(x)O,h(2)=O,h(3)=2ln 2-2ln 3-O,.11 分所以当h(m)O时，整数m的最小值为 3,故使原不等式恒成立的整数m的最小值为 3.第6页共6页12 分