1、第 1 页 共 2 页2020-2021 学年上期 2020 届高二期中考试理科数学试卷命题人：肖晓 审题人:张文思一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知数列，则是这个数列的第（）项A20B21C22D232在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2，b4，B45，则A（）A30B60C30或 150D60或 1203已知0,2（）x，:sinpxx，2:sinqxx，则 p 是q 的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，
2、日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（）ABCD5方程表示的曲线是（）A一条射线B双曲线C双曲线的左支D双曲线的右支6已知点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，则实数 a 的取值范围是（）Aa7 或 a24Ba7 或 a24C24a7D7a247设数列an的前 n 项和为 Sn，若对于 nN*都有 Sn+1，Sn，Sn+2，成等差数列，且 a24，则 a9（）A512B512C1024D10248已知等差数列an的前 n 项和 Sn 有最小值，且，则使得 Sn0 成立的
3、 n 的最小值是（）A11B12C21D229已知等比数列an的前 n 项和为 Sna4n1+b1（a0，b0），则的最小值为（）ABCD10已知 F 为双曲线的左焦点，P，Q 为 C 右支上的点，若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则PFQ 的周长为（）A 28B36C44D4811 已知 双曲 线 C 的 两个 顶点 分别 为 A1，A2，若 C 的 渐近 线上 存在 点 P，使得，则 C 的离心率的取值范围是（）A（1，3B3，+）C（1，2D2，+）12在ABC 中，若4，|3，则ABC 面积的最大值为（）A BC12D6第 2 页 共 2 页二、填空
4、题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.）13已知方程 ax2+bx+10 的两个根为，3，则不等式 ax2+bx+10 的解集为14若 x，y 满足约束条件，则的最小值为15ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA，bcosC+ccosB4，则ABC 的外接圆的面积为16设数列an的前 n 项和为 Sn（）n，如果存在正整数 n 使得（man）（man+1）0 成立，则实数 m 的取值范围是三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分.）17（10 分）命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线：命题 q：若存在4,40 x，使得 m2tanx00
5、成立（1）如果命题 p 是真命题，求实数 m 的取值范围；（2）如果“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数 m 的取值范围18（12 分）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8（）求等差数列an的通项公式；（）若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列|an|的前 n 项和19（12 分）（）已知中心在原点的双曲线 C 的焦点坐标为，且渐近线方程为，求双曲线 C 的标准方程；（）在圆 x2+y23 上任取一点 P，过点 P 作 y 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在该圆上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程20（12 分）已知在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对
6、的边分别为 a，b，c，且 bsinAacos（B）（1）求 B；（2）设 b，a4，D 为 AC 上一点，若 SABD2，求 AD 的长21（12 分）数列an中，a11，点 p（an，an+1）在直线 xy+20 上（1）求数列an的通项公式；（2）令 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn（i）求 Sn；（ii）是否存在整数（0），使得不等式（1）n（nN*）恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由822（12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆 C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为 4（）求椭圆 C 的方程；（）椭圆 C 与
7、 X 轴负半轴交于点 A，直线过定点（1，0）交椭圆于 M，N 两点，求AMN 面积的最大值第 1页 共 20页第 2页 共 20页一、选择题1-5 D A B C D6-10 D A D D C11-12 A B1已知数列，则是这个数列的第（）项A20B21C22D23【解答】解：数列，则该数列的通项公式为 an，若3，即 2n145，解可得 n23，则是这个数列的第 23 项；故选：D2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2，b4，B45，则 A（）A30B60C30或 150D60或 120【解答】解：a2，b4，B45，由正弦定理，可得：，解得 sinA，
8、ab，AB，A30故选：A3已知0,2x（），:sinpxx，2:sinqxx，则 p 是 q 的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件【解答】：B4（5 分）张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（）ABCD【分析】此数列为等差数列an，设公差为 d由题意可得：a15，an1，Sn90利用通项公式与求和公式即可得出【解答】解：此数列为等差数列an，设公差为 d与题意可得：a1
9、5，an1，Sn9090，解得 n305+29d1，解得 d每天比前一天少织布的尺数为故选：C5方程表示的曲线是（）A一条射线B双曲线C双曲线的左支D双曲线的右支【解答】解：方程，表示点 P（x，y）到两定点 F1（1，0），F2（1，0）的距离之差等于定值 1|F1F2|，其轨迹是以 F1（1，0），F2（1，0）为焦点，1 为长轴长的双曲线的右支，第 3页 共 20页第 4页 共 20页故选：D6已知点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，则实数 a 的取值范围是（）Aa7 或 a24Ba7 或 a24C24a7D7a24【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在
10、直线两侧，建立不等式即可求解【解答】解：点（3，1）与 B（4，6），在直线 3x2y+a0 的两侧，两点对应式子 3x2y+a 的符号相反，即（92+a）（1212+a）0，即（a+7）（a24）0，解得7a24，故选：D7（5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，若对于 nN*都有 Sn+1，Sn，Sn+2，成等差数列，且 a24，则 a9（）A512B512C1024D1024【解答】解：Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列，2SnSn+1+Sn+2，Sn+1Sn+Sn+2Sn0，an+1+an+2+an+10，an+22an+1，an从第二项起是公比为2 的等比数列，29512故选：
11、A8已知等差数列an的前 n 项和 Sn 有最小值，且，则使得 Sn0 成立的 n 的最小值是（）A11B12C21D22【解答】解：由题意可得等差数列an的公差 d0因为，所以 a120，a110，所以 a11+a120，则，S2121a110故使得 Sn0 成立的 n 的最小值是 22故选：D9（5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sna4n1+b1（a0，b0），则的最小值为（）ABCD【解答】解：Sna4n1+b1（a0，b0），S1a+，当 n2 时，anSnSn13a4n2，数列an是等比数列，第 5页 共 20页第 6页 共 20页a1，a+b4，则，当且仅当且 a+b4
12、即 a1，b3 时取得最小值为，故选：D10已知 F 为双曲线的左焦点，P，Q 为 C 右支上的点，若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则PFQ 的周长为（）A 28B36C44D48【解答】解：双曲线 C：的左焦点 F（5，0），点 A（5，0）是双曲线的右焦点，则 b4，即虚轴长为 2b8；双曲线图象如图：|PF|AP|2a6|QF|QA|2a6而|PQ|16，+得：|PF|+|QF|PQ|12，周长为 l|PF|+|QF|+|PQ|12+2|PQ|44，故选：C11已知双曲线 C 的两个顶点分别为 A1，A2，若 C 的渐近线上存在点 P，使得，则 C
13、的离心率的取值范围是（）A（1，3B3，+）C（1，2D2，+）【分析】设 P（x，），然后利用两点间距离公式表示出，得到关于x 的一元二次方程，有解，则判别式0，得到关于 a，b，c 的不等式，即可求出 e 的范围【解答】解：由题意设一条渐近线为：，取点 P（），且 A1（a，0），A2（a，0）因为，（x+a）2+2（xa）2+，整理得，该方程有解时，存在符合题意的 P 点，故，化简得，第 7页 共 20页第 8页 共 20页1e3故选：A12（5 分）在ABC 中，若4，|3，则ABC 面积的最大值为（）A BC12D6【分析】由已知4，结合向量的数量积可求 a2+c2b2，然后结合|，
14、可求 b 及 a2+c2，然后代入三角形的面积公式，结合基本不等式即可求解【解答】解：accosB4，ac4，a2+c2b28，|3，b3，a2+c226，SABC，当且仅当 ac 时取等号，ABC 面积的最大值为，故选：B二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）已知方程 ax2+bx+10 的两个根为，3，则不等式 ax2+bx+10 的解集为 3,41【分析】根据题意，方程 ax2+bx+10 的两个根为，3，由根与系数的关系分析可得 a0，结合一元二次不等式的解法分析可得答案【解答】解：根据题意，方程 ax2+bx+10 的两个根为，3，则有（）3，解
15、可得 a0，则 ax2+bx+10 x3，即不等式的解集为x|；故答案为：x|【点评】本题考查一元二次不等式的解法，注意分析 a 的范围14（5 分）若 x，y 满足约束条件，则的最小值为【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论【解答】解：x，y 满足约束条件，得到其可行域如图：第 9页 共 20页第 10页 共 20页则的几何意义是可行域内的点与（8，4）的斜率，然后求解最小值，由可得 P（，），所以 kAP故答案为：15（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA，bcosC+ccosB4，则ABC 的外接圆的面
16、积为49【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简已知等式可得 sinA（R 为ABC 外接圆的半径），利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，进而可求 R7，根据圆的面积公式即可计算得解【解答】解：因为 bcosC+ccosB4，由正弦定理，可得：bcosC+ccosB2R（sinBcosC+sinCcosB）2RsinA4，可得：sinA（R 为ABC 外接圆的半径），因为：cosA，所以解得：sinA，R7，S49故答案为：4916（5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn（）n，如果存在正整数 n，使得（man）（man+1）0 成立，则实数 m 的取值范围是（，）【分析】利用：
17、可以求出数列an的通项公式，再对其进行分析可知：当 n2k 时，即 n 为偶数时，50，且随着 k 的增大而减小；当 n2k+1 时，即 n 为奇数时，0，且随着 k 的增大而增大；存在正整数 n，使得（man）（man+1）0 成立；即存在正整数 k 使得 a2k+1ma2k成立，由此求解即可【解答】解：，当 n1 时，；当 n2 时，；由此可知：当 n2k 时，即 n 为偶数时，50，且随着 k第 11页 共 20页第 12页 共 20页的增大而减小；当 n2k-1 时，即 n 为奇数时，0，且随着 k 的增大而增大；存在正整数 n，使得（man）（man+1）0 成立；即存在正整数 k
18、使得 a2k-1ma2k 成立；a1a3a2k-1ma2ka4a2，a1ma2；故答案为：（）三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线：命题 q：若存在，使得 m2tanx00 成立（1）如果命题 p 是真命题，求实数 m 的取值范围；（2）如果“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数 m 的取值范围【分析】（1）利用双曲线的性质，列出不等式即可求解 m 的范围（2）命题 q 是真命题，求出 m 的范围，然后利用复合命题的真假，求解 m 的范围即可【解答】解：（1）命题 p：方程表示焦
19、点在 x 轴上的双曲线，若命题 p 为真命题，则 3m10，m30，即 m 的取值范围是（2）若命题 q 为真命题，则 m2tanx0 在有解，得2m2，又“pq”为假命题，“pq”为真命题，则 p、q 两个命题一真一假，若 p 真 q 假，则，解得 2m3，若 p 假 q 真，则，解得，综上，实数 m 的取值范围为18已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8（）求等差数列an的通项公式；（）若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列|an|的前 n 项和【分析】（）设等差数列an的公差为 d，由等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项
20、，由此能求出等差数列an的通项公式（）由（）和 a2，a3，a1 分别为1，2，4，成等比数列，知|an|3n7|，由此能求出数列|an|的前 n 项和为 Sn第 13页 共 20页第 14页 共 20页【解答】解：（）设等差数列an的公差为 d，则 a2a1+d，a3a1+2d，等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8，解得，或，所以由等差数列通项公式，得an23（n1）3n+5，或 an4+3（n1）3n7故 an3n+5，或 an3n7（）当 an3n+5 时，a2，a3，a1 分别为1，4，2，不成等比数列；当 an3n7 时，a2，a3，a1 分别为1，2，4，成等比数列，满足条
21、件故|an|3n7|，记数列|an|的前 n 项和为 Sn当 n1 时 S1|a1|4；当 n2 时，S2|a1|+|a2|5；当 n3 时，SnS2+|a3|+|a4|+|an|5+（337）+（347）+（3n7）5+当 n2 时，满足此式综上所述，19（）已知中心在原点的双曲线 C 的焦点坐标为，且渐近线方程为，求双曲线 C 的标准方程；（）在圆 x2+y23 上任取一点 P，过点 P 作 y 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在该圆上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程【分析】（）由题意可设双曲线方程为，且求得 c，再由渐近线方程及隐含条件列式求得 a，b 的值，则双曲线
22、的渐近线方程可求；（）设轨迹上任一点 M 的坐标为（x，y），点 P 的坐标为（x0，y0），则依题意可知 D 点坐标为（0，y0），由中点坐标公式把 P 的坐标用 M 的坐标表示，再把 P 的坐标代入圆的方程，整理可得 M 的轨迹方程【解答】解：（）依题可知双曲线的焦点在 y 轴上，设其方程为：，且，双曲线的渐近线方程为，即第 15页 共 20页第 16页 共 20页又a2+b2c2，由可得得双曲线方程为：；（）设轨迹上任一点 M 的坐标为（x，y），点 P 的坐标为（x0，y0），则依题意可知 D 点坐标为（0，y0），PD 的中点为 M，即，点 P 在圆 x2+y23 上运动，得 4x2
23、+y23，经检验所求方程符合题意，点 M 的轨迹方程为20（12 分）已知在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bsinAacos（B）（1）求 B；（2）设 b，a4，D 为 AC 上一点，若 SABD2，求 AD 的长【分析】（1）由正弦定理化简已知等可得 sinBcos（B），化简可得：tanB，结合范围 B（0，），情况 B 的值（2）由题意及余弦定理可求 c 的值为 1 或 3，由于当 c1 时，cosA0，A 为钝角不符合题意，可求 c3，根据题意利用三角形的面积之比即可求得 AD 的值【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）bsinAacos（B）
24、由正弦定理，可得 bsinAasinB，可得：asinBacos（B），可得：sinBcos（B），化简可得：tanB，B（0，），B6 分（2）由 b2a2+c22accosB，可得：c24c+30，解得：c1 或 c3，8 分当 c1 时，cosA0，则 A 为钝角，不符合题意，故 c3，9 分又SABCacsinB3，ADb12 分21（12 分）数列an中，a11，点 p（an，an+1）在直线 xy+20 上（1）求数列an的通项公式；（2）令 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn（i）求 Sn；（ii）是否存在整数（0），使得不等式（1）n（nN*）恒成立？若存在，第 17页 共
25、20页第 18页 共 20页求出所有的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）a11，点 p（an，an+1）在直线 xy+20 上，an+1an2，即数列an为等差数列，公差为 2，an2n1（2）（），（）存在整数使得不等式（1）n（nN*）恒成立因为要使得不等式（1）n（nN*）恒成立，应有（1）n的最小值（nN*）（a）当 n 为奇数时，即所以当 n1 时，的最大值为，所以只需（b）当 n 为偶数时，所以当 n2 时，的最小值为，所以只需由（）（）可知存在，0又为整数，所以值为1，1日 期：2020/10/24 17:37:51；用 户：肖 晓；邮 箱：13939889201；学 号
26、：30321718 箱：13939889201；学 号：30371822（12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆 C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为 4（）求椭圆 C 的方程；（）椭圆 C 与 X 轴负半轴交于点 A，直线过定点（1，0）交椭圆于 M，N 两点，求AMN面积的最大值【分析】（）由题意 a2b，根据椭圆 C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为 4，利用椭圆的定义求出 a，可得 b，即可求椭圆 C 的方程；（）设直线 MN：xmy1，联立椭圆方程，消去 x，运用韦达定理，再由AMN 面积为S|AD|y1y2|，代入化简整理，再由对勾函数的性质，即可得到最大值【解答】解：（）由题意 a2b，（2 分）又 2a4，所以 a2，b1（4 分）第 19页 共 20页第 20页 共 20页椭圆方程为（5 分）（）A 点坐标为（2，0），直线 MN 过定点（1，0），令直线 MN 的方程为 xmy1，（6 分）联立，消去 x 得（m2+4）y22my30，（8 分），（9 分）（11 分），（12 分）令 tm2+3，t3，（14 分）当且仅当 tm2+33 即 m0 时，AMN 面积的最大值为（15 分）