1、四川省泸县第五中学2020届高三数学下学期第二次月考试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄
2、清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，三者是不同的2.集合中的元素具有三性确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能另外，不可忽略空集是任何集合的子集2.复数的虚部为( )A. B. C. 2D. -2【答案】
3、D【解析】【分析】根据复数的概念可知复数的虚部.【详解】形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部,所以复数的虚部为-2.故选：D.【点睛】考查复数的概念，知识点较为基础.3.已知向量，且，那么的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以，故选择C.4.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A. 6B. 10C. 91D. 92【答案】B【解析】【分析】根据流程图可知该算法表示统计数学成绩中大于等于90的人数，接下来根据茎叶图找出成绩
4、大于等于90分的人数即可得到答案.【详解】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选：B【点睛】本题考查学生对茎叶图的认识和对算法流程图的认识,关键是掌握茎叶图的特点，是基础题.5.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，得到函数，那么的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据图象变换求出，然后代入可得的值.【详解】把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的函数图象对应的解析式为，再将图象向右平移个单位，得到，所以.故选：B.【点睛】本题主
5、要考查三角函数的图象变换，进行图象变换时，要关注的系数对结果的影响，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.函数f(x)=在，的图像大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称又故选D【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题7.已知定义在上的函数，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个
6、数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.【详解】当时，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.8.，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果.【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间
7、（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.9.设函数，下述四个结论：是偶函数； 的最小正周期为；的最小值为0； 在上有3个零点其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假【详解】因为函数f（x）定义域为R，而且f（x）cos|2x|+|sinx|f（x），所以f（x）是偶函数，正确；因为函数ycos|2x|的最小正周期为，y|sinx|的最小正周期为，所以f（x）的最小正周期为，正确；f（x）cos|2x|+|sinx|cos2x+|sinx|12sin
8、2x+|sinx|2（|sinx|）2，而|sinx|0，1，所以当|sinx|1时，f（x）的最小值为0，正确；由上可知f（x）0可得12sin2x+|sinx|0，解得|sinx|1或|sinx|（舍去）因此在0，2上只有x或x，所以不正确故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题10.四面体四个顶点都在球的表面上，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求底面外接圆直径,再求球的直径,再利用表面积求解即可.【详解】外接圆直径 ,故球的直径平方,故外接球表面积故选A【点睛】本题主要考查侧棱
9、垂直底面的锥体外接球表面积问题,先利用正弦定理求得底面直径,再利用锥体高,根据球直径求解即可.属于中等题型.11.已知抛物线，圆，若点分别在上运动，且设点，则的最小值为（ ）A. B. C. 4D. -4【答案】B【解析】【分析】设点,圆圆心为,半径为,要保证取得最小值,应,画出几何图形,结合已知,即可求得答案.【详解】画出几何图形,如图:设点,圆圆心为,半径为, 要保证取得最小值 根据图像可知应: 又 故 令 由二次函数可知:当时,取得最小 的最小值为:.故选:B.【点睛】本题考查了圆锥曲线的最值问题,解题关键是掌握圆锥曲线的基础知识和在使用换元法时,要注意引入新变量的范围,在数量关系复杂时
10、,画出几何草图,数学结合,寻找数量关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.12.在平面直角坐标系中，已知，是圆上两个动点，且满足（），设，到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据向量的数量积运算由，可得，设线段的中点为，则可得在圆上，则，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍.点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，由点到直线的距离公式右求得，再运算裂项相消求和法可求得，得实数的取值范围.【详解】由，得，所以，设线段的中点为，则，所以在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍.点到
11、直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，,故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积运算、求动点的轨迹方程、圆上的点到直线上的距离的最值、运用裂项相消求数列的和的方法，关键在于将两点到直线的距离的和的最大值转化为圆心到直线的距离与半径的和，属于难题.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数满足约束条件，则的最大值为_.【答案】6【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【详解】作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分） 由得yx+z，平移直线yx+z，由
12、图象可知当直线yx+z经过点A时，直线yx+z的截距最大，此时z最大由，解得A（2，2），代入目标函数zx+2y得z22+26.故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题14.已知集合,若,则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据可分和两种情况分类讨论，最后求并集得出实数m的取值范围.【详解】由可得：当,则，当,则m应满足:,解得，综上得;实数m的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题主要考查子集的概念，描述法表示集合,注意不要漏了的情况，属于中档题.15.2019年11月5日，第二
13、届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有_ 种.【答案】144【解析】【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.【详解】先安排丁、戊、己共有种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有，故答案为：144【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题.16.已知数列满足)，,则数列中最大项的值是_【答案】【解析】【详解】依题意有，当时，
14、为，当时，即，也即，所以，所以，当时，所以最大项为.点睛：本题主要考查数列已知求的方法，考查递推数列求通项的配凑法，考查数列的最大项的求解方法.首先根据题目所给与的关系，利用，然后利用配凑成等比数列的方法，求出的通项公式，代入后先求得前几项的值，然后利用函数的单调性来解决最值问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：（1）根据茎叶图求甲乙两位同
15、学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？（2）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；（3）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好 （2）见解析 （3）分布列见解析，数学期望为0.8【解析】【分析】（1）按大小顺序排好后，第10个数和第11个数的平均数是中位数；（2）计算频率及频率除以组距后可画出频率分布直方图；（3）不低于140分的有5个，取值依次为0，1，2，求出概率得分布列，再由期望公式求得期望【详解】解：（1）甲的中位数是119，
16、乙的中位数是128，乙的成绩更好（2）乙频率分布直方图如下图所示（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，则的取值为0，1，2；所以的分布列为012【点睛】本题考查茎叶图，中位数，考查频率分布直方图，考查随机变量的频率分布直方图，属于中档题本题还考查了学生的数据处理能力18.的内角，的对边分别为，设.（1）求；（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理即二倍角公式化简已知等式，结合B的范围即可得到结果（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理结合基本不等式求出ac的范围，即可得面积的范围【详解】（1）且，又，（2）由题意知：，或（舍
17、）（当时取“”）综上，面积的取值范围为【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题19.如图，矩形中，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）分别取的中点，由线面垂直性质定理可得，又三角形和全等，所以，四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理，即得证；（2）以为原点，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的正弦值【详解】（1）如图所示：分别取，的中点，连结，则，平面与平面都与平面垂直，
18、平面，平面，由线面垂直的性质定理得，四边形是平行四边形，平面，平面（2）如图，以为原点，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，设平面的法向量，则，取，得设二面角的平面角为，由图知为钝角，二面角的余弦值为，则正弦值为点睛】本题主要考查线面平行判定定理，线面垂直性质定理的应用，以及二面角的求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题20.已知的两个顶点的坐标分别为，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为.（）求顶点的轨迹的方程；（）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.【答案】（）
19、（）证明见解析，定值为.【解析】【分析】（）设，根据题意列方程即可求解.（）设，由为的重心，可得，从而，将直线与椭圆方程联立整理利用韦达定理求出点坐标，代入椭圆方程可得，再利用弦长公式以及三角形的面积公式即可求解.【详解】（）设，因为点的坐标为，所以直线的斜率为同理，直线的斜率为由题设条件可得，.化简整理得，顶点的轨迹的方程为：.（）设，因为为的重心，所以，所以，由得，又点在椭圆上，所以，因为为的重心，所以是的倍，原点到直线的距离为，.所以，所以，的面积为定值，该定值为.【点睛】本题考查了直接法求曲线的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知为常数，函数，（
20、其中是自然对数的底数）.（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先对函数求导，可得切线的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函数，可证；（2）由，先研究函数，则，由在上是减函数，可得，通过研究的正负可判断的单调性，进而可得函数的单调性，可求出参数范围.试题解析：（1）（），所以切线的斜率，整理得，显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故（2），设，则，易知在上是减函数，从而当，即时，在区间上是增函数，在上恒成立，即在上恒成立在区间上是减函数，所以满足题意当，即时，
21、设函数的唯一零点为，则在上递增，在上递减，又，又，在内有唯一一个零点，当时，当时，.从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾.不合题意综上得，（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若射线与曲线交于两点，与曲线交于点，且，求的值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为，公共弦所在直线的极坐标方程（2）【解析】【分析】（1）先得到C1的一般方程，再由极坐标与直角坐标的
22、互化公式得到极坐标方程，将，联立，得到公共弦所在直线的极坐标方程；（2）先求得|OA|，|OB|，可得|OA|OB|，化简可得到.【详解】（1）曲线的直角坐标方程为，将极坐标与直角坐标的互化公式：代入，可得曲线的极坐标方程为.联立与，得曲线与公共弦所在直线的极坐标方程,（或和）（2）把，代入，得；又，则=2，可得所以，【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些，是中档题23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题意零点分段求解绝对值不等式即可；(2)由题意结合题中所给的式子的特点利用柯西不等式求解其最值即可.【详解】（1）化简得.当时，由，即，解得，又，所以；当时，由，即，解得，又，所以；当时，不满足，此时不等式无解；综上，不等式的解集为：.（2）由于，故，由柯西不等式：上式.当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.