1、江苏省苏州市吴江区2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷（解析版）一、单选题（共9题；共45分）1.已知函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在 内的极大值有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知函数 的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（ ） A.B.C.D.13.若函数 的极大值点与极大值分别为a ， b ， 则（ ） A.B.C.D.4.设函数 ，则 是（ ） A.奇函数，且在 上是增函数B.奇函数，且在 上是减函数C.偶函数，且在 上是增函数D.偶函数，且在 上是减函数5.已知函数 的定义域为 ，其导函数是
2、.有 ，则关于x的不等式 的解集为（ ） A.B.C.D.6.某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选甲乙丙丁戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲乙丙三人去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ） A.24种B.16种C.18种D.20种7.已知 ，则 （ ） A.-10B.10C.-45D.458.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为 ，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字
3、还有如下发现： ，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x ， 剩下的三个数字构成另一个三位数y ， ，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为（ ） A.214B.215C.248D.2849.我国古代著名的数学著作中，周碑算经九章算术孙子算经五曹算经夏侯阳算经孙丘建算经海岛算经五经算术级术和纠古算经，称为“算经十书”，某老师将其中的周碑算经九章算术孙子算经五经算术级术和纠古算经6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ） A.B.C.D.二、多选题（共3题；共15分）10.函数 的定义域为R ， 它的导函数 的部分图象如图所示，则下面
4、结论正确的是（ ） A.在 上函数 为增函数B.在 上函数 为增函数C.在 上函数 有极大值D. 是函数 在区间 上的极小值点11.定义在R上的函数 ，其导函数 满足 ，则下列不等关系正确的是（ ） A.B.C.D.12.已知 的二项展开式中系数之和为729，则下列结论正确的是（ ） A.二项展开式中各项二项式系数之和为 B.二项展开式中二项式系数最大的项为 C.二项展开式中无常数项D.二项展开式中系数最大的项为 三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数 与 的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数a的取值范围是_ 14.在 的展开式中，若 ，则 _. 15.酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)
5、，杯深9cm，上口宽6 cm，水以 的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为_. 16.若函数 的导函数 存在导数，记 的导数为 如果对 x (a，b)，都有 ，则 有如下性质： ，其中n ， ， ， (a，b)若 ，则 _；在锐角ABC中，根据上述性质推断：sinAsinBsinC的最大值为_ 四、解答题（共6题；共70分）17.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”. 问题：已知二项式 ，若_(填写条件前的序号)，（1）求展开式中系数最大的
6、项； （2）求 中含 项的系数. 18.用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答) （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ （3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 19.已知 展开式的二项式系数和为512，且 （1）求 的值； （2）求 被6整除的余数. 20.已知 . （1）当 时，求 在 上的最大值； （2）当 时，讨论 的单调性. 21.已知函数 . （1）求 过 的切线方程； （2）若 在 上的最大值为 ，求证： . 22.已知函数 (其中e为自然对数的底数). （1）求函数 的极值； （2）当
7、时，若 恒成立，求实数b的取值范围. 答案解析部分一、单选题（共9题；共45分）1.已知函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在 内的极大值有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 B 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】根据导数的图象，可知导数有4个零点，从左向右分析， 第一个零点与第四个零点左侧为正右侧为负，所以函数 先增后减，故第一个零点与第四个零点处函数 有极大值，第二个零点左侧为负右侧为正，故函数 先减后增，第二个零点处函数 有极小值，第三个零点两侧，导数值同为正，故该点不是极值点，故答案为：B 【分析】 根据导函数
8、的图象判断导数零点两侧的符号(先正后负)，即可求解.2.已知函数 的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（ ） A.B.C.D.1【答案】 C 【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】函数 ，则 ， 且 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，（ ）， ，令 ，即 ，解得 ，令 ，即 ，解得 ，所以函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以 。故答案为：C 【分析】利用求导的方法切成函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，
9、再利用切线经过坐标原点，结合代入法，进而求出a的值，从而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数的最小值。3.若函数 的极大值点与极大值分别为a ， b ， 则（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】 ， 或 ， ， 或 ， 在 单调递增，在 单调递减， 为极大值点，且 ， ， ， ，故答案为：C. 【分析】 先对函数求导，然后结合导数分析函数的单调性，进而可求函数的极大值与极大值点，从而可求.4.设函数 ，则 是（ ） A.奇函数，且在 上是增函数B.奇函数，且在 上是减函数C.偶函
10、数，且在 上是增函数D.偶函数，且在 上是减函数【答案】 A 【考点】复合函数的单调性，函数奇偶性的判断，奇偶性与单调性的综合 【解析】【解答】 的定义域为 而 ,所以 为奇函数；在 上， ，因为 在 上为增函数 在 上为减函数，所以 在 上是增函数故答案为：A. 【分析】 根据题意先检验f(-x)与f(x)的关系，然后结合复合函数单调性及奇偶性的定义进行检验即可判断.5.已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .有 ，则关于x的不等式 的解集为（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】由题意，函数 满足 ， 令 ，则 函数 是定义域
11、 内的单调递减函数，由于 ，关于 的不等式 可化为 ，即 ，所以 且 ，解得 ，不等式 的解集为 .故答案为：B 【分析】 根据题意令 ， 求导，结合题意可得g(x)在上单调递减；而得到从而可得答案.6.某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选甲乙丙丁戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲乙丙三人去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ） A.24种B.16种C.18种D.20种【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】由题意可得，
12、第1名不可能是甲乙丙，只能是丁或戊；第5名不可能是甲乙，只能是丙或丁或戊；因此可分如下三种情况： 若甲是第2名，先考虑乙，则有 种情况，再考虑丙，则有 种情况，最后排丁戊，则有 种情况，即此时所包含的情况有： 种；若甲是第3名，当乙是第4名时，丙只能是第5名，只需考虑丁戊的排列，此时有 种情况；当乙是第2名时，丙可以有 种选择，最后排丁戊，则有 种情况；此时包含的情况共有 种；若甲是第4名，则丙是第5名，而乙有 种选择，最后排丁戊，则有 种情况，；此时所包含的情况有 ；综上，从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有 种.故答案为：C. 【分析】 根据题意可得甲乙不是最后一名或第一名
13、，根据排列组合以及分类计数原理计算出结果即可。7.已知 ，则 （ ） A.-10B.10C.-45D.45【答案】 D 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】 ， .故答案为：D 【分析】利用二项式的通项公式，结合已知条件代入数值计算出结果即可。8.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为 ，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现： ，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x ， 剩下的三个数字构成另一个三位数y ， ，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为（ ） A.214B.
14、215C.248D.284【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】1,4,7,2,8,5,这六个数中，1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3组 要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数 ，剩下的三个数字构成另一个三位数 ，且 ，所以 从小到大排列为： ，故第12个三位数x为248.故答案为：C 【分析】 根据题意，在数字142857中，两个数字之和为9的组合有3个，据此依次分析数字x、y的百位、十位、个位数字的情况，即可求出.9.我国古代著名的数学著作中，周碑算经九章算术孙子算经五曹算经夏侯阳算经孙丘建算经海岛算经五经算术级术和纠古算经，称为“算经十书”，某老师将
15、其中的周碑算经九章算术孙子算经五经算术级术和纠古算经6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】根据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本分配给4个人，共有 种分法， 第二类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余2本，视作4本书分配给4个人，共有 ，由分类加法计数原理可得，不同的分配方法的种数为 ，故答案为：B 【分析】根据题意6本分给4名数学爱好者，每人至少一本，则把6本书为6本书为(3,1,
16、11)和(2,2,1,1)，再分配给4名数学爱好者， 再由概率的定义代入数值计算出结果即可。二、多选题（共3题；共15分）10.函数 的定义域为R ， 它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ） A.在 上函数 为增函数B.在 上函数 为增函数C.在 上函数 有极大值D. 是函数 在区间 上的极小值点【答案】 A,C 【考点】函数的图象，利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件 【解析】【解答】由图象可知 在区间 和 上 ， 递增；在区间 上 ， 递减. 所以A选项正确，B选项错误.在区间 上， 有极大值为 ，C选项正确.在区间 上， 是 的极小值点，D选项错误.故答案
17、为：AC 【分析】由已知条件，结合图象即可得出导函数的性质，由此得出函数的单调性，利用函数的单调性即可求出函数的极值，对选项逐一判断即可得出答案。11.定义在R上的函数 ，其导函数 满足 ，则下列不等关系正确的是（ ） A.B.C.D.【答案】 A,B,D 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】令 ，则 ， ， 在 上恒成立， 在 上单调递增，对A， ，A符合题意；对B， ，B符合题意；对C， ，C不符合题意；对D， ，D符合题意；故答案为：ABD. 【分析】根据题意构造函数 ， 并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性对选项逐一判断即可得出
18、答案。12.已知 的二项展开式中系数之和为729，则下列结论正确的是（ ） A.二项展开式中各项二项式系数之和为 B.二项展开式中二项式系数最大的项为 C.二项展开式中无常数项D.二项展开式中系数最大的项为 【答案】 A,B 【考点】二项式定理，二项式系数的性质 【解析】【解答】令 ，则 二项展开式系数和为 ，解得： ； 展开式的通项公式为 ；对于A，由 知其二项式系数和为 ，A符合题意；对于B，当 时，二项式系数最大，则所求项为 ，B符合题意；对于C，令 ，解得： ，则展开式第5项为常数项，C不符合题意；对于D，分别令 ，可得展开式为 ，由此可确定系数最大的项为 ，D不符合题意.故答案为：A
19、B. 【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，再结合二项式系数的性质，对选项逐一判断即可得出答案。三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数 与 的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数a的取值范围是_ 【答案】 【考点】函数的值域，奇偶函数图象的对称性，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】函数 与 的图像上存在关于原点对称的对称点， 方程 ，即 在 上有解，方程 在 有解设 ， ，且 为 的切线，设切点为 ，由 得 ，则有 ，解得 由图象可得，要使直线 和 的图象有公共点，则 ，解得 所以实数 的取值范围是 故答案为 【分析】 由对称性求函数解析式得：设y=f(x)的图象与y=g(
20、x)的图象关于原点对称，由 ， 得 ， 利用导数研究函数的值域得：方程 在 有解，设对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再数形结合法即可得出 ， 从而求出a的取值范围。14.在 的展开式中，若 ，则 _. 【答案】 208 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】 的展开式中含x的最高次项为 ， 的展开式中含x的最高次项为 ，所以 展开式中含x的最高次项为 ，所以 ，解得 ，由已知得展开式中x的最高次为9，所以 ， ； 的展开式中含 的项为 ， 的展开式中含 的项为 ，所以 ， 的展开式中含 的项为 ， 的展开式中含 的项为 ，所以 ，所以 .故答案为： 208. 【分析】 由题意
21、结合二项式项的性质先求出n的值，由此可得m的值，再利用二项展开式的通项公式，求得的值即可.15.酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深9cm，上口宽6 cm，水以 的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为_. 【答案】 【考点】变化的快慢与变化率，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】由题意，设 时刻水面高为 ，水面圆半径为 , 则 可得 此时水的体积为 又由题设条件知，此时的水量为20t故有 故有 当水深为3cm，对应的时间为 ，则 所以当水深为3 cm时，水升高的瞬时变化率为 故答案为： 【分析】根据题意作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时
22、的瞬时变化率即可.16.若函数 的导函数 存在导数，记 的导数为 如果对 x (a，b)，都有 ，则 有如下性质： ，其中n ， ， ， (a，b)若 ，则 _；在锐角ABC中，根据上述性质推断：sinAsinBsinC的最大值为_ 【答案】 ； 【考点】正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域 【解析】【解答】解：设 ， ，则 ，则 ， ， 有如下性质： 则 ， 的最大值为 ，故答案为： ， 【分析】构造函数 ， ，求导，则 ，由正弦函数的图象可知 成立，根据函数的性质 ，即可求得 的最大值四、解答题（共6题；共70分）17.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.
23、条件：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”. 问题：已知二项式 ，若_(填写条件前的序号)，（1）求展开式中系数最大的项； （2）求 中含 项的系数. 【答案】 （1）若选条件时，令 ，可得展开式所有项的系数和为 ，而二项式系数和为 ， 所以 ，解得 ，若选条件时，由前3项的二项式系数和为22可得 ，解得 .设展开式中系数最大的项为第 项，则满足 ，即 ，解得 ，又 ,所以 ，即展开式中系数最大的项为 ，（2）在 中，含 项的系数为 .【考点】组合及组合数公式，二项式系数的性质 【解析】【分析】 当选填条件时，由题意列式求得n=
24、6，当选填条件时，由前3项的二项式系数和为22求得n=6. (1)把n=6代入 ， 可知第四项的二项式系数最大，由二项展开式的通项得答案； (2)把n=6代入 ， 由第一个因式的常数项乘以第二个因式含含2项的系数，由第二个因式的常数项乘以第一个因式含含2项的系数，第一个因式含有x项的系数乘以第二个因式含有x项的系数，最后求和得出答案.18.用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答) （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？ （3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ 【答案】 （1）符合要求的四位偶数可分为三类
25、： 第一类：0在个位时有 个；第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有 种），十位和百位从余下的数字中选（有 种），于是有 个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有 个由分类加法计数原理知，共有四位偶数： 个（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数有 个；个位数上的数字是5的五位数有 个故满足条件的五位数的个数共有 个（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类： 第一类：形如2，3，4，5，共 个；第二类：形如13，14，15，共有 个；第三类：形如124，125，共有 个；第四类：形如123，共有 个由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共
26、有： 个【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【分析】 (1)根据题意，分情况讨论；当0在个位，2在个位，4在个位，再由分类计数原理可得； (2)由题意看得出：5的倍数则个位数字为0或5的数，再根据分类计数原理可得； (2)根据题意，分4种情况讨论，结合分类计数原理可得.19.已知 展开式的二项式系数和为512，且 （1）求 的值； （2）求 被6整除的余数. 【答案】 （1）因为 展开式的二项式系数和为 ， 所以 ，故 . 令 ，可得 ，令 ，可得 ，即 ， .（2） 显然，展开式除了最后2项外，其余各项都能被6整除,故展开式被6整出的余数，即 被6整除的余数为5.【考点】二项式系数的性
27、质，整除的概念和性质 【解析】【分析】 (1)由题意利用二项式系数的性质，求得n的值，再分别令x=1，x=2，计算出要求式子的值即可. (2)根据题意把按照二项式定理展开，可得它除以6的余数.20.已知 . （1）当 时，求 在 上的最大值； （2）当 时，讨论 的单调性. 【答案】 （1）解：当 时， 由 ，得 ，当 时解得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以最大值在端点处取得， 又 所以 在 上的最大值为 .（2）当 时， 当 时 ，得 ，得 在 上单调递增，在 上单调递减.当 时， ，方程 的两根为 且 所以 ，得 ，得 即 在 上单调递增，在 上单调递减.当 时， .当 ，即
28、 时， 在 上单调递增. ，即 时方程 的两根为 且 所以 ，得 或 ，所以 ，得 即 在 上单调递增，在 上单调递减综上：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】(1)由已知条件把a、b、c的值代入求出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，利用函数的单调性即可求出最值。 (2)首先把b与c的值代入由此得出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质，对a分情况讨论即可
29、得出函数的单调性。21.已知函数 . （1）求 过 的切线方程； （2）若 在 上的最大值为 ，求证： . 【答案】 （1）解：设切点为 ， ， ，切线方程为 ，切线过点 ， ，解得： ，切线方程为 ；（2）证明： ， ， ， ， 函数 在 ， 上单调递增，又 ， （1） ，因此函数 在 ， 上存在唯一零点 ，并且 ， ， （可得 当 当 时，函数 取得极大值即最大值 ， 而函数 在 上单调递减 ，而 ， ， 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】(1)由已知条件首先对函数求导，再把点的坐标代入求出切线的斜率，结合点斜式
30、即可求出直线的方程。 (2)根据题意对函数求导得出 ， 构造函数由该函数的单调性即可求出零点的唯一性，再结合整理得出当时，函数g(x)的最值情况，再结合函数的单调性得出 ， 由此得到。22.已知函数 (其中e为自然对数的底数). （1）求函数 的极值； （2）当 时，若 恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】 （1）由 得 , 当 时， 无极值； 当 时，令 ,得 , 当 时 ,当 时 ,函数 在 上单调递减;函数 在 单调递增. 函数 存在极小值.其极小值为 ,无极大值.（2）由题意有 恒成立,即 恒成立, 设 ,则 , 设 ,下面证明 有唯一解.易知 单调递增,且 ,所以若 有零点x,则
31、,令 ,可得 , （）注意到 ,所以方程（）等价于 , 又由（1）可知,当 时, 在 上单调递增,又当 时, ,所以方程 等价于方程 , 设函数 ,则 单调递增,又 , ,所以存在 ,使得 ,即方程 有唯一解 ,即 ,因此方程 有唯一解 ,所以 有唯一解 .且当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增; 所以 的最小值为 ,所以 .【考点】函数的最值及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1)根据题意首先对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性得出函数的极值情况。 (2)由已知条件 恒成立,即 恒成立,构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的零点，结合题意 令 ,可得 , 由函数f(x)的单调性 所以方程 等价于方程 , 设函数结合该函数的单调性以及方程根的情况即可得出 有唯一解 再结合函数的单调性.即可求出函数g(x)的最小值。
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