1、第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.角的有关概念 射线 旋转 象限角 正角 负角 零角 +k360,kZ 2.弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做_.弧度记作_.(2)公式：1弧度的角 rad 角 的弧度数公式|=_(弧长用l表示)角度与弧度的换算 1=_rad 1 rad=(_)弧长公式 弧长l=_ 扇形面积公式 S=_=_ rl180180r|1 r2 l21 r|23.任意角的三角函数(1)定义：设角 终边与单位圆交于P(x,y)，则sin =_，cos =_，tan =_.y x(x0)yx(2)三角函数线：如图所示，则正
2、弦线为_(用字母表示)余弦线为_，正切线为_.(3)诱导公式(一)：sin(+k2)=_；cos(+k2)=_；tan(+k2)=_(kZ).(4)同角三角函数的基本关系：平方关系:_,商数关系:_.MP OM AT sin cos tan sin2+cos2=1 tan =sin cos 判断下面结论是否正确(请在括号内打“”或“”).(1)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)与45角终边相同的角可表示为k360+45，kZ或2k+45，kZ.()(4)将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是60.()(5)终边相同的角的同一三角函数值相等.()(6)点P(ta
3、n ，cos )在第三象限，则 终边在第二象限.()【解析】(1)错误.负角小于90但它不是锐角.(2)错误，第一象限角不一定是锐角，如-350是第一象限角，但它不是锐角.(3)错误，不能表示成2k+45，即角度和弧度不能混用.(4)错误,拨快时分针顺时针旋转，应为-60.(5)正确，由诱导公式(一)可知或由三角函数的定义可得.(6)正确，由已知得tan 0，cos 0，所以为第二象限角.答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)1.终边与坐标轴重合的角 的集合为()(A)|=k360，kZ(B)|=k180，kZ(C)|=k90，kZ(D)|=k180+90，kZ【解析】选C.k=0时在x轴
4、正半轴.k=1时在y轴正半轴.k=2时在x轴负半轴.k=3时在y轴负半轴，故选C.2.终边落在第二象限的角可表示为()(A)|90+2k 180+2k，kZ(B)|+2k +2k，kZ(C)|90+k180 180+k180，kZ(D)|+k kZ【解析】选B.A错，角度与弧度不能混用.C,D错，当k为奇数时不成立，故选B.243k4 ，3.已知sin 0，tan 0，那么 是()(A)第一象限角 (B)第二象限角(C)第三象限角 (D)第四象限角【解析】选C.由sin 0，则的终边在三、四象限，或y轴负半轴.由tan 0，则的终边在一、三象限，故是第三象限角.4.已知2弧度的圆心角所对的弦长
5、为2，则这个圆心角所对的弧长是()(A)2 (B)sin 2 (C)(D)2sin 1【解析】选C.2sin 112r|r2r.sin 1sin 1 由，可得ll5.已知角 终边上一点A(2,2)，则tan =_.【解析】答案：1 y2tan 1.x2 6.若tan =2，则 =_.【解析】又tan=2，答案：sin 3cos sin cos sin 3cos tan 3sin cos tan 1 ，tan 3231.tan 12 13 13考向 1 三角函数的定义【典例1】(1)若 是第三象限的角，则 是()(A)第一或第二象限的角(B)第一或第三象限的角(C)第二或第三象限的角(D)第二或
6、第四象限的角 12(2)(2013淄博模拟)若点P(m，n)是1 110角的终边上任意 一点，则 的值等于_.(3)已知角 的终边上一点P(m)，m0,且sin =求cos ,tan 的值.2222mnm2mnn3，2m,4【思路点拨】(1)由为第三象限角可得 的范围，对k取不同的值可解.(2)由P点在1 110角的终边上可得m，n的关系式，代入所求式子可解.(3)先由 结合三角函数的定义建立关于参数m的方程，求出m的值，再根据定义求cos，tan 的值.122msin 4【规范解答】(1)选B.由+2k +2k，kZ,得 kZ 故 当k为偶数时在第一象限，当k取奇数时在第三象限，故选B.32
7、13kk224 ，1kk,kZ,422 (2)由1 110=3360+30,tan 1 110=tan 30=答案：n3,m322222mnmnmnm2mnnmn3n11mn3m 23.nmn311 m323(3)由题设知 r2=|OP|2=()2+m2,O为原点，得 x3ym，32r3m.22m2mmsin r42 2r3m2 23m8m5.从而，于是，解得m5r2 2x33615cos tan 432 2m5r2 2x33615cos tan.432 2 当时，；当时，【互动探究】将本例题(3)中“sin =”改为“tan ”，如何求sin ，cos？【解析】2m433mtan 3 由已知
8、得，3m3tan,m1333P31r21133sin cos.2222 又，得，【拓展提升】用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.【提醒】三角函数值的大小只与角的终边有关，而与终边上的点的位置无关.【变式备选】已知角 的终边在直线3x+4y=0上，求sin ,cos ,tan 的值.【解析】角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4
9、t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,r=|PO|=2222xy4t3t5 t,当t0时，r=5t,y3t3x4t4sin,cos,r5t5r5t5y3t3tan;x4t4y3t3t0r5t,sin,r5t5x4t4y3t3cos tan.r5t5x4t4343sin cos tan 554343sin cos tan.554 当 时，综上可知，；或，考向 2 弧度制的应用【典例2】(1)已知扇形OAB的圆心角 为120，半径r=6，求 的长及扇形面积.(2)已知扇形周长为20，当扇形的圆心角为多大时，它有最大 面积，最大面积是多少？AB【思路点拨】(1)将圆心角化为弧度，再利用弧长、
10、面积公式求解.(2)利用扇形周长得半径与弧长的关系，再利用面积公式化为关于半径r的二次函数求最值.【规范解答】(1)=120=(2)由已知得l+2r=20，23，2r64311Sr4612.22 ，ll22max11Sr(202r)r10rrr52522r5S25,10102 rad.r5 ，所以时，此时，lll【互动探究】本例题(1)中若求扇形的弧所在的弓形面 积,又将如何求解?【解析】由S弓=S扇形-S=故弓形的面积为 212126sin129 3,23129 3.【拓展提升】角度与弧度制下的弧长、面积公式(1)弧度制下,弧长l=r,扇形面积S=lr，此时为弧度.角度制下，弧长l=扇形面积
11、S=此时n为角度，它们之间有着必然的联系.(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角 所在的三角形.12n r180，2n r360，【变式备选】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角 的大小.(2)求 所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)由O的半径r=10=AB，知AOB是等边三角形，=AOB=60=(2)由(1)可知 r=10，弧长l=r=S扇形=.33，101033，111050r102233，lAOBAOB110 3110 350 3SAB10,222223SSS50.32 扇形而（）考向 3 同角三角函数关系式的应用【典例
12、3】(1)(2012辽宁高考)已知sin -cos =(0，)，则tan =()(2)已知tan =2.求：4sin2-3sin cos -5cos2.2，22A1BCD 122 2sin 3cos 4sin 9cos ；【思路点拨】(1)利用平方关系与已知条件联立方程可解.(2)将所求式子“弦”化“切”，代入已知可求;将所求式子分母看作“1”,再利用平方关系“1”的代换而后转化为“切”代入已知求解.【规范解答】(1)选A.22sin cos 2sincos1 ，由，2222cos 2cos12cos2 2cos 1022cos 10cos.220sin 2sin tan 1.cos 得，即，
13、即，故又 ，故，故(2)sin 232sin 3cos cos sin 4sin 9cos 49cos 2tan 3.4tan 92tan 32 23tan 214tan 94 292sin 3cos 1.4sin 9cos 又，故4sin2-3sin cos-5cos2 故4sin2-3sin cos-5cos2=1.22222222224sin3sin cos 5cos4tan3tan 5.sincostan1tan 24tan3tan 54 23 25tan1211 又，【拓展提升】求解关于sin，cos 的齐次式问题的关注点(1)如果三角函数式不是关于sin，cos 的齐次式，可通过化
14、简转化为齐次式.(2)因为cos 0,所以可用cosn(nN*)除之，这样可以将被求式化为关于tan 的表达式，可整体代入tan=m，从而完成被求式的求值运算.(3)注意1=sin2+cos2的应用.【变式训练】已知(1)求sin x-cos x的值.(2)求tan x的值.1x0sin xcos x.25 ，【解析】(1)由sin x+cos x=平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=即2sin xcos x=(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=又 x0，sin x0，cos x0，sin x-cos x0，故sin x-cos x=1,5125，242
15、5，49.2527.5(2)由(1)得sin x-cos x=故由 得 75，1sin xcos x57sin xcos x5，34sin xcos x55，3sin x35tan x.4cos x45【易错误区】三角函数定义中忽略分类讨论致误【典例】(2013天津模拟)已知角 的终边上一点P(3a，4a)(a0),则sin =_.【误区警示】本题易出现的错误是：由终边上一点求三角函数时，由于没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，从而求出r=5a，导致结果错误.【规范解答】x=3a,y=4a,答案：22r3a4a5 a.y41a0r5asin.r5y42a0r5asin.r54sin.5 当
16、时，当 时，45【思考点评】1.任意角三角函数的定义 对于三角函数的定义，如果不是在单位圆中，设角的终边 经过点P(x，y)，|OP|=则 2.分类讨论思想的应用 对于三角函数定义中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨 论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐 类讨论，最后归纳总结.22rxy，yxsin cos rr ，ytan.x 1.(2013揭阳模拟)已知点P(sin ，cos )在第四象限，则角 的终边在()(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限【解析】选B.P(sin，cos)在第四象限，的终边在第二象限.sin 0cos 0，2.(2013广州
17、模拟)设 则sin -cos 的值为()33tan,32 ，1313AB22221313CD2222【解析】选A.可在第三象限角的终边上取点 则点P到原点的距离为|OP|=根据三角函数的定义可知：sin=cos=sin-cos=33tan,32 3P(1,),32 3.31,23,213.223.(2012江西高考改编)若 则sin cos =()【解析】选D.1tan 4,tan 1111ABCD108341tan 4,tan 22sin cos 4,cos sin sincos4,sin cos 1sincos.4 4.(2013阳江模拟)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的
18、圆心角的弧度数是_.【解析】设扇形半径为r cm，弧长为l cm，答案：2 2r8r214.r4242.r2 ，则解得，圆心角llll1.设 则x的取值 范围是()3x12sin xcos xsin xcos x22，且，3A 0 xBx44533CxDxx442442 或【解析】选B.由|sin x+cos x|=sin x+cos x，sin x+cos x0.由三角函数线可知，当x0，时显然成立，故排除C，D，又当x 时sin x+cos x0，故排除A，故选B.23,422212sin xcos xsin xcos x2sin xcos xsin xcos xsin xcos x,2.
19、已知 则sin2-sin cos =()【解析】选A.由 sin 3cos 53cos sin ，22ABC2D 255 sin 3cos 53cos sin ，222222tan 353tan tan 2sinsin cos sinsin cos sincostantan 422.tan14 15 即，解得：，则3.已知 是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个根,且 则sin +cos =_.【解析】1tan tan，732，21tan k,tan 1tank3,tan 由22sin cos k,cos sin k4,1k,sin cos k4.得即3 sin 0，cos 0，k0，k=2，sin cos=2sin cos=1,sin2+cos2+2sin cos=2,(sin+cos)2=2,又sin+cos 0，sin+cos=答案：72，1,22.2
