1、章末复习课 整合网络构建警示易错提醒1有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的(2)平行向量无传递性，即ab，bc时，a与c不一定是平行向量(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量2向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(ab)ca(bc).专题一有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：aba b(b0)x1y2x2y10.例1已知a(1，
2、2)，b(3，2)，若k a2b与2a4b平行，求实数k的值解：法一：向量k a2b与2a4b平行，则存在唯一实数，使k a2b(2a4b)因为k a2b4(1，2)2(3，2)(k6，2k4)2a4b2(1，2)4(3，2)(14，4)，所以(k6，2k4)(14，4)所以解得即实数k的值为1.法二：因为k a2bk(1，2)2(3，2)(k6，2k4)，2a4b2(1，2)4(3，2)(14，4)，ka2b与2a4b平行，所以(k6)(4)(2k4)140.解得k1.归纳升华1向量与非零向量a共线存在唯一实数 使ba. 2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a(x1，
3、y1)与b(x2，y2)共线x1y2x2y10.变式训练平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求满足am bn c的实数m、n；(2)若(ak c)(2ba)，求实数k.解：(1)因为ambnc，所以(3，2)(m4n，2mn)所以解得(2)因为(ak c)(2ba)，ak c(34k，2k)，2ba(5，2)所以2(34k)5(2k)0，即k.专题二有关向量的夹角、垂直问题非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)的夹角为，则abab0x1x2y1y20，cos .例2已知向量a，b满足|a|，|b|2，|ab|，求向量ab与ab的夹角的余弦值解：由已知|a|，|b
4、|2，|ab|，所以(ab)213.所以a22abb213，则()22ab2213，得2ab6.(ab)2a22abb2()26221，所以|ab|1.所以cos .归纳升华1本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；2两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的，就本例而言，平行四边形两条对角线的夹角应该是的补角，即.变式训练(2015重庆卷)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D解析：由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.
5、又因为|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，所以|b|2|b|2cos 2|b|20.所以cos .又因为0 ，所以.答案：A专题三有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2a22abb2；(3)若a(x，y)，则|a| ；(4)应用三角形或平行四边形法则例3设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|()A8 B4 C2 D1解析：法一：因为216，所以|4.又|4，所以|4，因为M为BC的中点，所以.所以，所以()，所以|42.法二：如图所示，四边形ABDC是平行四
6、边形，又|，所以|，所以四边形ABDC是矩形，所以|，又216，所以|4，所以|2.答案：C归纳升华解答该类题目有以下几个关键点：1根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察图形以便直观地得出一些结论2利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0等3数形结合法的运用可使解题简捷变式训练已知向量a和b的模都是2，其夹角为60，又知a2b，2ab，则|_解析：3ab，|2(3ab)29a26abb2.因为|a|b|2，ab|a|b|cos 602，所以|29a26abb29462452.所以|2.答案：2专题四数形结合思想平面向量
7、的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来运用数形结合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题例4已知向量a与b不共线，且|a|b|0，则下列结论正确的是()A向量ab与ab垂直B向量ab与a垂直C向量ab与a垂直D向量ab与ab共线解析：如图所示，作a，b，以OA和OC为邻边作OABC.由于|a|b|0，则四边形OABC是菱形，所以必有ACOB.又因为ab，ab，所以(ab)(ab)答案：A归纳升华通过本题可以得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直以上可以作为结论记住变式训练向量a，b的夹角为60，且|a|1，|b|2，则|2ab|等于()A1 B. C3 D2解析：依题意作图，易知OAB为等边三角形，所以|2ab|b|2.答案：D