1、圆锥曲线：之双曲线-专题【例题选讲】题型1：双曲线定义的应用1. 若一动点到两个定点的距离之差的绝对值为常数（），求点的轨迹方程.2. 方程表示的曲线是（）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支3. 已知两圆：，：，动圆与两圆、都相切. 则动圆圆心的轨迹方程是_.4. 已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则=_.5. 已知过点的直线与双曲线的右支交于、两点，则直线的斜率的取值范围是_.6. 已知双曲线（）的两个焦点分别为、，点为该双曲线上一点，且，则=_.题型2：求双曲线的方程7. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的方程是_； （2）与双曲线有公共焦点，且
2、过点的双曲线的方程是_.8. 设是常数，若点是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程是_.9. 已知双曲线的中心在坐标原点，两对称轴都在坐标轴上，且过、两点，则该双曲线的方程是_.10. 已知双曲线：经过点，两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为_.11. 已知双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共的焦点，则该双曲线的方程是_.12. 与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程是_.13. 已知双曲线（）的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程是_.题型3：双曲线的性质14. 双曲线的实轴长是_.15. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数=_.16. 设双曲线（）的渐近线
3、方程为，则=_.17. 已知点和点的横坐标相同，点的纵坐标是点的纵坐标的2倍，点和点的轨迹分别为双曲线和. 若的渐近线方程为，则的渐近线方程为_.题型4：与双曲线的焦点有关的三角形问题18. 设、为双曲线的两个焦点，点在该双曲线上，且满足，则的面积为_.19. 已知椭圆（）与双曲线（）有公共焦点，点是它们的一个公共点.（1）用和表示；（2）设，求.题型5：双曲线的离心率计算问题20. 已知点在双曲线：（，）上，的焦距为4，则它的离心率为_.21. 若一个双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率=_.22. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为_.23. 已
4、知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_.24. 设，则曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D. 25. 已知、是双曲线：（，）的左、右焦点，点在上，与轴垂直，且，则的离心率为_.26. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么该双曲线的离心率为_.题型6：与双曲线有关的综合问题27. 若曲线与曲线（）恰有三个交点，则=_.28. 已知等轴双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，且过点.（1）求该双曲线的离心率；（2）求该双曲线的方程；（3）若点在该双曲线上，证明：.29. 若点和点分别为双曲线（）的中心和左焦点，点为该双曲线右支上任意一点
5、，则的取值范围是_.30. 已知椭圆：（）与双曲线：有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于、两点，若恰好将线段三等分，则椭圆的方程为_.31. 过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为_.32. 过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为_.33. 已知双曲线：.（1） 求双曲线的渐近线方程；（2） 已知点的坐标为，设是双曲线上的点，是点关于坐标原点的对称点. 记，求的取值范围.34. 已知双曲线的顶点和焦点分别是椭圆的焦点和顶点.（1） 求椭圆的方程；（2） 已知椭圆上的定点关于坐标原点的对称点为，设点是椭圆上的任意一点，若直线和的斜率都存在且不为零，试问直线和的斜率之积是定值吗？若
6、是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3） 对于椭圆长轴上的某一点（不含端点），过作动直线（不与轴重合）交椭圆于、两点，若点满足：，证明：.35. 已知双曲线（）的左右焦点分别为、，直线过点且与该双曲线交于、两点.（1） 若直线的倾斜角为，是等边三角形，求该双曲线的渐近线方程；（2） 设. 若直线的斜率存在，且，求直线的斜率.【双曲线中常用的几种数学思想方法】一、 数形结合思想1. 已知为一定点，为双曲线的右焦点，在双曲线的右支上移动，则当最小时，点的坐标是_.二、 对称思想2. 若曲线与曲线恰有三个交点，则实数的值为_.三、 分类讨论思想3. 判断方程所表示的曲线.四、 转化思想4. 已知直
7、线与双曲线交于、两点，则当=_时，以为直径的圆过坐标原点？五、 函数与方程思想5.已知直线：与双曲线的左支交于、两点，直线过点和线段的中点，则直线在轴上的截距的取值范围是_.答案解析：1.解：由题意知，（），（）当时，此时点的轨迹是线段的垂直平分线，其方程为（）当时，此时点的轨迹是两条射线，其方程分别为或（）当时，此时点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线，其中实半轴长为，半焦距，虚半轴，所以其方程为.2.解：设是平面内一点，则方程 即为该式表示平面内一点到两个定点、的距离之差等于定长8. 显然。故由双曲线的第一定义知，点的轨迹是双曲线，但仅是双曲线的左支。3.解：圆：的圆心为，半径为；圆：的圆心为
8、，半径为.动圆与两圆、都相切，有以下四种情况：（）动圆与两圆、都外切；（）动圆与两圆、都内切；（）动圆与圆外切、与圆内切；（）动圆与圆内切、与圆外切.设动圆的半径为由（）知，；由（）知，于是由（）、（）可知，点的轨迹方程是线段的垂直平分线，其方程为由（）知，由（）知，于是由（）、（）有，这表明，点的轨迹方程是以、为左、右焦点的双曲线，其中， 即由（）、（）可知，点的轨迹方程为故动圆圆心的轨迹方程是或4.解：联立得，（）当，即时，直线与双曲线有且仅有一个公共点或，不满足题意.（）当，即时，由直线与双曲线有且仅有一个公共点可知，解得故或5.解：在双曲线中，由直线与双曲线的右支交于、两点知，直线的斜
9、率由直线过点可知，直线的方程为，即设，联立，得（）由题设条件及韦达定理，有解得：或故直线的斜率的取值范围是注：对于中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线而言，若某一直线与其左支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般有四个结论：二次项系数不为零，判别式，两交点的横坐标之和小于零，两交点的横坐标之积大于零；若直线与其右支交于不同的两点，则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后，一般也有四个结论：二次项系数不为零，判别式，两交点的横坐标之和大于零，两交点的横坐标之积大于零。这些基本结论在做题时，必须格外注意。6.解：在双曲线中， 在中，又代入得，故7.解：（1
10、）设所求双曲线的方程是（）则由该双曲线过点，有故所求双曲线的方程是，即（2） 设所求双曲线的方程是（）则由该双曲线过点，有又由、得，故所求双曲线的方程是8.解：在双曲线中，而由题意知，故该双曲线的方程是9.解：设所求双曲线的方程为（）则由该双曲线过、两点，有故所求的双曲线的方程是，即.10.解：由双曲线：经过点，有 由双曲线的两条渐近线的夹角为，并且其经过点，可知联立、，得，故双曲线的方程为11.解：在椭圆中，于是椭圆的左、右焦点分别为、又所求双曲线的离心率而于是，故所求双曲线的方程为12.解：在双曲线中，于是双曲线的左、右焦点分别为、据此可设所求双曲线的方程为则由其过点，有又联立、，得，故所
11、求双曲线的方程为13.解：由是所求双曲线的一条渐近线知，由抛物线的准线方程为知， 由、得，故该双曲线的方程是14.解：在双曲线，即中，故该双曲线的实轴长15.解：在双曲线，即中，即于是有故16.解：在双曲线中，于是该双曲线的渐近线方程为又由题意知，该双曲线的渐近线方程为，即故17.解：设的方程为（），的方程为（）设，则由题设条件知，于是由、两点分别在和上，有又双曲线的渐近线方程为 于是故双曲线的渐近线方程为18.解：在双曲线中，于是，在中，又代入得， 故19.解：（1）在中，由余弦定理有点是椭圆与双曲线的一个公共点，于是由、有故（2） 由（1）知，故20.解：点在双曲线：上又双曲线的焦距为4于
12、是有由、得，或（舍去） ，故双曲线的离心率21.解：由，成等差数列，有又（）（）式两边同时除以，得 解得：或（舍去）故该双曲线的离心率22.解：（）当双曲线的焦点在轴上时，由题意知，于是而此时（）当双曲线的焦点在轴上时，由题意知，于是而此时故该双曲线的离心率为或223.解：由双曲线的渐近线方程为，即可知，或当时， ，即于是此时该双曲线的离心率当时， ，即，亦即于是此时该双曲线的离心率故该双曲线的离心率为或24.解：由，有，于是方程表示的曲线是双曲线在双曲线，即中，而于是又双曲线的离心率故25.解：（法一）轴又，即于是 又（）（）式两边同时除以，得 解得：或（舍去）故双曲线的离心率（法二），等式
13、中的表示的外接圆的直径.故双曲线的离心率26.解：设双曲线的方程为（）则该双曲线的渐近线方程为设，则在该双曲线的两条渐近线中，与直线垂直的一条渐近线方程为：由，有 ，即又，此即 解得：又故该双曲线的离心率27.解：曲线表示左、右焦点分别为，的双曲线，其左、右顶点分别为，曲线（）表示圆心为，半径为的圆双曲线与圆恰有三个交点圆与双曲线的左支交于点于是有又故28.解：（1）在等轴双曲线中，实轴长=虚轴长，即故等轴双曲线的离心率（2） 所求双曲线为等轴双曲线可设其方程为（）又该双曲线过点 故所求双曲线的方程为，即（3） 在双曲线中， 于是，又，于是又点在双曲线上故29.解：在双曲线中，由可知，于是该双
14、曲线的方程为设，则由点在双曲线右支上知，令，其对称轴为函数在上单调递增于是对任意的，都有这表明，故的取值范围是30.解：由椭圆：与双曲线：有公共的焦点知， 于是椭圆的方程可化为，即双曲线：的一条渐近线方程为设线段被椭圆所截得的弦为，则，且联立得，由此有于是有 解得：（舍去） 于是故椭圆的方程为31.解：显然，点在双曲线外（1）当所求直线的斜率不存在时，显然，过点且与双曲线有一个公共点的直线方程为（2）当所求直线的斜率存在时，不妨设其斜率为则由其过点可知，所求直线的方程为，即联立，得（）（）若，则当时，由（）式，有无解，不满足题意，舍去当时，由（）式，有而此时所求直线的方程为将代入中，得即此时所
15、求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意于是当时，所求直线的方程为（）若，即，则对（）式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有，而这显然与矛盾，舍去于是当时，所求直线不存在故所求直线的方程为或32.解：显然，点在双曲线外由题意知，所求直线的斜率是存在的，不妨设为则由其过点可知，所求直线的方程为，即联立，得（）（）若，则当时，由（）式，有而此时所求直线的方程为将代入中，得即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意当时，由（）式，有而此时所求直线的方程为将代入中，得即此时所求直线与双曲线的唯一公共点为，满足题意于是当时，所求直线的方程为（）若，即，则对（）式，由所求直线与双曲线仅有一个公共点，有
16、，即，满足题意 于是当时，所求直线的方程为故所求直线的方程为或33.解：（1）在双曲线中，故该双曲线的渐近线方程为（2） 设则又，于是又点在双曲线上于是，其中或对于函数，函数在上单调递减对任意的，都有对于函数，函数在上单调递增对任意的，都有故对任意的，总有，即的取值范围是.34.解：（1）在双曲线中，于是该双曲线的左右顶点分别为；左右焦点分别为设椭圆的方程为（）则由题意知，于是故椭圆的方程为（2） 点是椭圆：上的定点关于坐标原点的对称点，显然点也在椭圆上设则，于是又点和点都在椭圆：上于是有 -得，于是故，即直线和的斜率之积为定值（3） （）当直线不垂直于轴时，设其斜率为则由其过点可知，直线的方
17、程为，即椭圆的方程可化为设，联立，得由韦达定理，有于是又而由，有于是，即故（）当直线垂直于轴时，由椭圆的对称性可知，综上可知，总有35.解：（1）在双曲线中，直线的倾斜角为、两点关于轴对称，并且点的横坐标于是又是等边三角形于是有 解得：或（舍去）故该双曲线的渐近线方程为（2） 当时，双曲线的方程为由，得，又直线的斜率存在，不妨设为则由直线过点可知，直线的方程为，即双曲线的方程可化为设，联立，得 显然由韦达定理，有又而，（）又，由（）式有，而于是有 ，即， 解得：故直线的斜率为或【双曲线中常用的几种数学思想方法】1.解：在双曲线中，其离心率，右准线：过点作于点则由双曲线的第二定义知，于是，当且仅
18、当、三点共线时，最小，且.由、三点共线有，把代入双曲线方程中，得于是或（舍去）故点的坐标为2.解：（法一）由于变量在两个方程中都以平方的形式出现，因此若是两曲线的一个交点，则也是它们的一个交点.这表明，一般情况下，这两个曲线的交点个数不可能有三个（奇数个），除非有，即.把代入中，得或把或，代入中，得或，即或若，则两曲线分别为，即和，显然它们有且只有一个交点，不满足题意。若，则两曲线分别为，即和，显然它们有三个交点，满足题意。故（法二）联立 得， 解得：（）当时，或或即此时两曲线恰有三个不同的交点，满足题意.（）当时，两曲线交点的个数情况如下：若，两曲线有两个交点；若，两曲线有且只有一个交点；若
19、或，两曲线无交点.以上情况，均不符合题意.故注：当时，曲线，即为，亦即直线. 数形结合可见，此时它与曲线，即圆心为，半径为1的圆恰有三个交点；而当时，曲线为左、右顶点分别为，的双曲线，同样由数形结合可见，它与圆心为，半径为1的圆的交点个数根据参数取值的不同而不同。3.解：由于方程中含有未知参数，因此对于其所表示的曲线，需要分情况进行讨论。具体如下：（）当，即时，原方程可化为，即此时原方程表示圆心在坐标原点，半径为的圆。（）当，即时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆。（）当，即时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆。（）当，即时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线。（）当，即时，原方程表示中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线。4.解：设，联立，得由题设条件，有，由韦达定理，有，又以线段为直径的圆过坐标原点而，（）又由（）式，有 解得： 满足、故当时，以为直径的圆过坐标原点.5.解：设，联立，得（）由题设条件及韦达定理，有设则由点是线段的中点，有，由直线过点、可知，直线的方程为，即在方程中，令，则直线在轴上的截距令，其对称轴为函数在上单调递减于是对任意的，都有而，又或于是或或故直线在轴上的截距的取值范围是