1、8.1二分法与求方程近似解8.1.1函数的零点学 习 目 标核 心 素 养1理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系(重点)2会求函数的零点(重点、难点)3掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理的数学核心素养解方程的历史方程解法时间图东方方程解法时间图西方1函数的零点的定义一般地，我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系(1)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数解(2)函数yf(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标3零点存在性定理若函数yf(x)在区间a，b上的图
2、象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)0答案(1)(2)(3)2(一题两空)函数yx23x2的零点是_，其图象与x轴的交点为_1，2(1,0)，(2,0)令x23x20，则(x2)(x1)0，x1或x23若函数f(x)在区间2,5上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是_1由f(x)在区间2,5上是减函数，可得f(x)至多有一个零点又因为f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)0，所以f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f(x)恰有一个零点求函数的零点【例1】求下列函数的零点(1)f(x)x3x；(2)f(x)2x8
3、；(3)f(x)1log4 x；(4)f(x)(ax1)(x2)(aR)思路点拨根据函数的零点和方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根解(1)f(x)x3xx(x21)x(x1)(x1)，令f(x)0，得x0,1，1，故f(x)的零点为x1，0,1(2)令f(x)2x80，x3，故f(x)的零点为x3(3)令f(x)1log4 x0，log4 x1，x4故f(x)的零点为x4(4)当a0时，函数为f(x)x2，令f(x)0，得x2f(x)的零点为2当a时，f(x)(x2)(x2)2，令f(x)0，得x1x22f(x)有零点2当a0且a时，令f(x)0，得x1，x22f(x)的零点为，
4、2综上，当a0时，f(x)的零点为2；当a时，函数有零点2；当a0且a时，f(x)的零点为，2函数的零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点1求下列函数的零点 (1)f(x)；(2)f(x)(2x3)ln(x2)；(3)f(x)sin，x0，解(1)当x1时，令f(x)ln(x1)0，得x2；当x1时，令f(x)2x110，得x1所以函数的零点是1和2(2)因为函数f(x)的定义域为(2，)，所以2x4，由(2x3)ln(x2)0，得x21，所以x3，即函数f(
5、x)(2x3)ln(x2)的零点是3(3)因为x0，所以，由sin0，得2x0或2x，解得x或x，所以函数f(x)sin，x0，的零点是和零点存在性定理及其应用【例2】在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为_(填序号)；思路点拨利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f(a)f(b)0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点f20，ff0，零点在上1判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象2要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)的图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没
6、有零点2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x3)0(e272)的一个根所在的区间是_(填序号)x10123ex03712727402012x323456(1,0)；(0,1)；(1,2)；(2,3)设f(x)ex(x3)，由上表可知，f(1)03720，f(0)130，f(1)27240，f(3)201260，f(1)f(2)0，因此方程ex(x3)0的根在(1,2)内函数零点(方程不等实根)个数的判断探究问题1如何去求一个方程的零点？提示(1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理2求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？提示解方程法优点：解的准确，不需估算
7、缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f(x)2x3x图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数【例3】(1)函数f(x)ex3的零点个数为_(2)函数f(x)ln x的零点个数是_(3)已知关于x的一元二次方程(x1)(3x)ax(aR)，试讨论方程实数根的个数思路点拨(1)利用函数的零点的概念解方程求解(2)利用函数图象来求解(3)原方程可化为(x1)(3x)xa，利用直线ya与抛物线y(x1)(3x)x的位置关系讨论，也可以利用判别式(1)1(2)2(1)令f(x)0，ex30，xln 3，故f(x)只有1个零点(2)在同一坐标系中画
8、出yln x与y的图象，如图所示，函数yln x与y的图象有两个交点，所以函数f(x)ln x的零点个数为2(3)解法一：原方程化为x25x3a令f(x)x25x3，g(x)a作函数f(x)x25x3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为，画出如图所示的简图：由图象可以看出：当a时，方程没有实数根；当a时，方程有两个相等的实数根；当a时，方程有两个不相等的实数根法二：原方程化为x25x3a0254(3a)4a13当0，即a时，方程没有实数根；当0，即a时，方程有两个相等的实数根；当0，即a时，方程有两个不相等的实数根(变条件)若把本例(3)中x加以限制(1x3)，求解相应问题解原方程可化为x
9、25x3a(1x3)，作函数f(x)x25x3(1x3)的图象，注意f(x)x25x3的对称轴为x，f3，f(1)1531，f(3)91533故f(x)在1x3上的草图如图所示：由图可知，当a或1a3时，方程有一个实数根；当3a时，方程有两实数根；当a1或a时，方程无实数根判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数3函数f(x)lg xsin x的零点有i(iN*)个，记为xi，xi(，)，kN*，则k构成的集合为_1,4,5由f(x)lg xsin x得lg xsin x，
10、在同一坐标系中作出ylg x和ysin x的图象，如下图，由图象知，函数f(x)lg xsin x有三个零点x1，x2，x3，因为xi(，)，kN*，所以k1,4,5，所以k构成的集合为1,4,51在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点2方程f(x)g(x)的根是函数yf(x)与yg(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标3函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础1下列图象表示的函数中没有零点的是()AB、C、D的图象均与
11、x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点2设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1B2C3D4C因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以0是函数f(x)的一个零点当x0时，令f(x)exx30，则exx3分别画出函数yex和yx3的图象(图略)，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，)上有一个零点又根据对称性知，当x0时函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点个数为3应选C3已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)136.13615.5523.9210.8852.488232.06411238由表可知函数f(x)存在零点的区间有_个4f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，f(6)f(7)0，共有4个区间4函数f(x)x2ax1在区间上有零点，求实数a的取值范围解由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是所以实数a的取值范围是