1、第3课时正切函数的图象与性质学 习 目 标核 心 素 养1了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的性质(重点)2能利用正切函数的图象及性质解决有关问题(难点、易错点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象核心素养正切函数是以为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出ytan x，x的图象正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间(kZ)上都是增函数对称性无对称轴，对称中心为(kZ)思考：正切函数在定义域内是单调函数吗？提示不是1思考辨析(正确的打
2、“”，错误的打“”)(1)正切函数在定义域上是单调递增函数()(2)正切函数的对称轴方程为xk，kZ()(3)正切函数的对称中心为(k，0)，kZ()提示(1)正切函数在，kZ上是单调递增函数(2)正切函数不是轴对称图形(3)正切函数的对称中心为，kZ答案(1)(2)(3)2(一题两空)函数f(x)tan的定义域是_，f_由题意知xk(kZ)，即xk(kZ)故定义域为，且ftan3函数ytan x的单调递减区间是_(kZ)因为ytan x与ytan x的单调性相反，所以ytan x的单调递减区间为(kZ)正切函数的定义域【例1】求下列函数的定义域(1)y；(2)y思路点拨(1)分母不为0，且t
3、an有意义；(2)被开方数非负，且tan x有意义解(1)要使y有意义，则函数y的定义域为(2)由题意得tan x30，tan x，kxk(kZ)，y的定义域为求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytanx有意义，即xk(kZ)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解.1求函数y的定义域解要使函数y有意义，则有函数y的定义域为正切函数的单调性及应用【例2】(1)比较下列两个数的大小(用“”或“”填空)tan _tan ；tan _tan(2)求函数ytan的单调区间及最小正周期思路点拨(1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进
4、行比较(2)先利用诱导公式将x的系数化为正数，再把x看作一个整体，利用ytan x的单调区间求解利用T求周期(1)tan tantan ，0，且ytan x在上是增函数，tan tan tan tantan ，tantan ，0，且ytan x在上是增函数，tan tan(2)解ytantan，由kxk(kZ)，得2kx2k(kZ)，所以函数ytan的单调减区间是，kZ，无增区间最小正周期T21求yAtan(x)的单调区间，可先用诱导公式把化为正值，由kxk求得x的范围即可比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内2运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用
5、单调性比较大小2(1)求函数y3tan的单调区间；(2)比较tan 与tan的大小解(1)y3tan3tan，令k2xk，则x，kZ，从而函数y3tan的单调递增区间为，kZ，故函数y3tan的单调递减区间为，kZ(2)因为tan tan，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，所以tantan，即tan tan正切函数的图象及应用探究问题1如何由ytan x的图象画出y|tan x|的图象提示只需保持ytan x的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y|tan x|的图象2如何由ytan x的图象画出ytan|x|的图象提示把ytan x(x0)的图象
6、关于y轴对称便可得出ytan|x|的图象【例3】根据函数y|tan x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性思路点拨解由y|tan x|得，y其图象如图由图象可知，函数y|tan x|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，周期为将本例中的函数y|tan x|改为ytan |x|，解答同样的问题解由ytan |x|得y根据ytan x的图象，作出ytan |x|的图象如图：由图象可知，函数ytan |x|是偶函数，单调增区间为，(k0,1,2，)；单调减区间为，(k0，1，2，)，不具有周期性作由正切函数复合而成的简单函数图象的两种方法(1)直接描点法，要注意定义域；(2)
7、图象变换法，即以ytan x的图象为基础，采用反转、对称、平移等变换，作出函数的图象.3函数f(x)tan x|tan x|的周期是_作出f(x)tan x|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)tan x|tan x|的最小正周期T1本节课的重点是正切函数的定义域、单调性以及奇偶性和周期性，难点是正切函数单调性的应用2本节课要学会“三点两线法”画正切函数的图象类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”作出，这里的三个点分别为(k，0)，其中kZ两线为直线xk(kZ)，直线xk(kZ)3要掌握与正切函数性质有关的三个问题(1)与正切函数有关的定义域、值域问题
8、(2)正切函数的单调性及应用(3)与正切函数有关的奇偶性、周期性问题4本节课的易错点有两处(1)易忽视正切函数ytan x的定义域为(2)易忽视正切曲线只有对称中心而没有对称轴1函数y4tan的最小正周期为()ABCD2DT22 (多选题)下列函数中，周期为，且在上为增函数的是()A ytan BytanCycos DysinAC 对于A选项，函数ytan的周期为，且在上为增函数，符合题意，故A选项正确对于B选项，函数ytan的周期为，不合题意，故B选项错误对于C选项，函数ycossin 2x的周期为，且在上为增函数，符合题意，故C选项正确对于D选项，函数ysincos 2x在上为减函数，不符合题意，故D选项错误故选AC3函数ytan x在上的值域为_1，x，1tan x4求函数ytan 2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间，内的图象解定义域为；值域为(，)；最小正周期为；对应图象如图所示：