1、4.2对数4.2.1对数的概念学 习 目 标核 心 素 养1理解对数的概念(重点)2能熟练地进行指数式与对数式的互化(重点)3掌握常用对数与自然对数的定义通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养若某物质最初的质量为1，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则经过x年，该物质的剩留量y084x由此，知道了经过的时间x，就能求出该物质的剩留量y；反过来，知道了该物质的剩留量y，怎样求出所经过的时间x呢？1对数一般地，如果abN(a0，a1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaNb，其中，a叫作对数的底数，N叫作真数2常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方
2、便起见，对数log10N简记为lg N3自然对数以e为底的对数称为自然对数其中e2718 28是一个无理数，正数N的自然对数logeN一般简记为ln N4几个特殊对数值(1)loga10，logaa1，loga1(其中a0且a1)(2)对数恒等式：aN(a0，a1，N0)(3)零和负数没有对数1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)因为(2)416，所以log(2)164()(2)对数式log32与log23的意义一样()(3)对数的运算实质是求幂指数()(4)等式loga10对于任意实数a恒成立()(5)lg 10ln e1()提示(1)2不能作底数；(2)log2 3与log3 2底
3、数和真数均不同，意义不一样；(4)a0且a1答案(1)(2)(3)(4)(5)2计算：log3 9，223log3 92,233(1)已知log4x，求x；(2)已知log2(log3x)1，求x；(3)求log1(32)解(1)log4x，x423(2)log2(log3x)1，log3x212，x329(3)设y (32)，则(1)y32(1)2(1)2，则y2，即 (32)2对数的概念【例1】使对数log2a2(104a)有意义的a的取值范围是思路点拨根据对数中底数和真数的取值范围求解要使log2a2(104a)有意义，则1a或a根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不
4、等式组即可.1(1)使loga (3a2)有意义的a的取值范围是(2)使 (3x6)有意义的x的取值范围是(1)(2)x|x且a1(2)令x0且a1)进行互化解(1)2416log216433log335a20log520a045log045b(2)1627128102001e2303101并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(3)29就不能直接写成log(3)92，只有a0，a1，N0时，才有axNxlogaN2对数式logaNb是由指数式abN变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：2下列指数式与对数式的互化
5、正确的序号是Na2与logNa2；4与()44；64与log64；z与xzyNa2loga N2(a0且a1)；64log 6433设alog3 7，blog3 28，则32ab由题知3a7,3b28，32ab解指数、对数方程探究问题1方程x42，x33的解是什么？如何解xab型的方程？提示x4216，x3327，解xab时按幂的运算法则计算即可2方程x24(x0)，x364的解是什么？如何解xkb(kZ)?提示x24，x2，x364，x4，xkb，x即可通过开方运算求解3方程2x8的解是什么？2x7呢？如何解axb(a0，a1)?提示238，2x8的解为x3，2x7，xlog2 7，axb，
6、xloga b，即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值【例3】解方程：(1)9x27；(2)exe2；(3)525；(4)log2(log3(log4x)0；(5)logx164；(6)xln e3思路点拨利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解解(1)9x27，(32)x33，即32x33，2x3，x(2)exe2，x2(3)52x125，x13(4)log2(log3(log4 x)0，log3(log4 x)201，log4 x313，x4364(5)x416，1624，2，x又x0，x(6)xln e3，xln e3，exe3，x3，x3解指数、对数方程时的注意点(1)将对数式
7、转化为指数式，构建方程转化为指数问题(2)利用幂的运算性质和指数的性质计算求解(3)x的取值范围是否在指数、对数式的互化中发生了改变4求下列各式中的x值(1) )(3x22x1)1；(2)lg 0001x；(3)logx83；(4)2解(1)由题知2x213x22x1，得x0或x2，当x0时，2x2110，且a1，N0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaabb；(2)aN2在关系式axN中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算1有下列说法：零和负数没有对数；任何一个指数式都可以化成对数式；以10为底的对数叫做常用对数；以e为底的对数叫做自然对数其中正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4C正确，不正确，只有a0，且a1时，axN才能化为对数式2在Nlog(10b)(b2)中，实数b的取值范围是(2,9)(9,10)令2b10且b93已知loga2m，loga3n，则a2mn12loga2m，loga3n，am2，an3a2mn(am)2an223124求值：