1、3.3.2从函数观点看一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法学 习 目 标核 心 素 养1掌握一元二次不等式的解法(重点)2能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点)通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养2022年，冬季奥运会将在中国举行，跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一，一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68 m他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h那么他能实现自己的目标吗？1一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式思考1：不等式x2y20是一元二次
2、不等式吗？提示此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式2三个“二次”的关系设二次函数yax2bxc(a0)，一元二次方程ax2bxc0判别式b24ac000方程ax2bxc0的根有两个相异的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有根实数二次函数yax2bxc的图象ax2bxc0的解集x|xx1或xx2Rax2bxc0的解集x|x1xx2思考2：若一元二次不等式ax2x10的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2x10的解集为R，则解得a，所以a使不等式ax2x10的解集为R1不等式35x2x20的解集为
3、()ABCDRC35x2x202x25x30(x3)(2x1)0x3或x2不等式3x22x10的解集为()A BC DRD因为(2)243141280，所以不等式3x22x10的解集为R3不等式x22x52x的解集是x|x5或x2x，得x24x50，因为x24x50的两根为1,5，故x24x50的解集为x|x54不等式3x25x40的解集为原不等式变形为3x25x40因为(5)2434230，所以3x25x40无解由函数y3x25x4的图象可知，3x25x40；(2)4x218x0；(3)2x23x20，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所
4、以原不等式的解集为(2)原不等式可化为0，所以原不等式的解集为(3)原不等式可化为2x23x20，因为942270；(2)x24x40；(3)x22x30解(1)0，方程2x23x20的根是x1，x22，不等式2x23x20的解集为(2)0，方程x24x40的根是x1x22，不等式x24x40的解集为(3)原不等式可化为x22x30，由于0，方程x22x30无解，不等式x22x30的解集为R(4)原不等式可化为3x25x20，方程3x25x20的两根为x1，x21，不等式3x25x20的解集为含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10思路点拨对于二次项的系数a是否
5、分a0，a0三类进行讨论？当a0时，是否还要比较两根的大小？解当a0时，原不等式可化为x1当a0时，原不等式可化为(ax1)(x1)0当a0，1，x1当a0时，原不等式可化为(x1)0若1，则x1，即0a1，则1x综上所述，当a1；当0a1时，原不等式的解集为解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并2解关于x的不等式：ax222xax(a0)解原不等式移项得ax2(a2)x20，化简为(x1)(ax2)0a0，(x1)0当2a0时，x1；当a2时，x1；当a2时，1x综上所述，当2a0时，解集为；当a2时，解集为x|x1；当a
6、0、y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数yx22x3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合x|x3；同理，满足y0时x的取值集合为x|1x0(a0)或ax2bxc0)是函数yax2bxc(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y0时，函数yax2bxc(a0)就转化为方程，当y0或y0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示方程x22x30的解集为1,3不等式x22x30的解集为x|x3，观察发现不等式x22x30解集的端点值恰好是方程x22x30的根3设一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10(a
7、0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10的解集为x|2x3，求关于x的不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系可知5，6由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，解得x，所以不等式cx2bxa0的解集为x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0的解集解由根与系数的关系知5，6且a0c0，即x2x0，即x2x0的解集为x|2x3”变为“关于x的不等式ax2bxc0的解集
8、是”求不等式cx2bxa0的解集解法一：由ax2bxc0的解集为知a0又20，则c0又，2为方程ax2bxc0的两个根，又，ba，ca，不等式变为x2xa0，即2ax25ax3a0又a0，2x25x30，所求不等式的解集为法二：由已知得a0 且2，2知c0，设方程cx2bxa0的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2，其中，x13，x2不等式cx2bxa0的解集为已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去 a， 将不等式化为具体
9、的一元二次不等式求解.1解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的简图；由图象得出不等式的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m0)，一根(0)，无根(0)(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x23由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)mx25x0，则
10、一元二次不等式ax210无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0的解集为R()提示(1)当m0时，是一元一次不等式；当m0时，是一元二次不等式(2)因为a0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集为R(3)当a0时，ax2bxc0的解集为x|x1xx2，否则不成立(4)因为(2)2120的解集为R答案(1)(2)(3)(4)2设a1，则关于x的不等式a(xa)0的解集为因为a1，所以a(xa)0又aa，所以x或xa3已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为由题意知2，是方程ax2bxc0的两个根且a0，即为2x25x20，解得x0的解集为4解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解(1)原不等式可化为x27x120，因为方程x27x120的两根为x13，x24，所以原不等式的解集为x|3x4(2)原不等式可以化为x22x20，因为判别式4840，方程x22x20无实根，而抛物线yx22x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R
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