1、2.2等差数列自主学习 知识梳理1等差数列的定义一般地,如果一个数列从第_项起,每一项与它的前一项的差都等于_常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的_,通常用字母_表示2等差中项如果A,那么A叫做a与b的_3等差数列的单调性等差数列的公差_时,数列为递增数列;_时,数列为递减数列;_时,数列为常数列4等差数列的通项公式an_,当d0时,an_,an是关于n的_函数;当d0时,an_,an是关于n的_函数,点(n,an)分布在一条以_为斜率的直线上,是这条直线上的一列_的点5等差数列的性质(1)若an是等差数列,且klmn(k、l、m、nN*),则_(2)若an是等差数列且公差
2、为d,则a2n也是_,公差为_(3)若an是等差数列且公差为d,则a2n1a2n也是_,公差为_ 自主探究如果等差数列an的首项是a1,公差是d,你能用两种方法求其通项吗?对点讲练知识点一等差数列的通项公式例1若an是等差数列,a158,a6020,求a75.总结方法一:先求出a1,d,然后求a75;方法二:应用通项公式的变形公式anam(nm)d求解变式训练1在等差数列an中,已知amn,anm,求amn的值知识点二等差数列的性质例2已知等差数列an中,a1a4a715,a2a4a645,求此数列的通项公式总结要求通项公式,需要求出首项a1和公差d,由a1a4a715,a2a4a645直接求
3、解很困难,我们可以换个思路,利用等差数列的性质,注意到a1a7a2a62a4问题就简单了变式训练2成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数知识点三等差数列的判断例3已知数列an满足a14,an4 (n2),令bn.(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式总结判断一个数列an是否是等差数列,关键是看an1an是否是一个与n无关的常数变式训练3若,是等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列1证明数列an为等差数列的方法(1)定义法:an1and (d为常数,n1)an为等差数列或anan1d (d为常数,n2)an为等差数列(2)等差中项法:2an
4、1anan2an是等差数列(3)通项法:anpnq (p、qR)an是等差数列,只要说明an为n的一次函数,就可下结论说an是等差数列2三个数成等差数列可设为:ad,a,ad或a,ad,a2d;四个数成等差数列可设为:a3d,ad,ad,a3d或a,ad,a2d,a3d. 课时作业一、选择题1在等差数列an中,a13a8a15120,则2a9a10的值为()A24 B22 C20 D82已知等差数列an中,a29,则an为()A14n3 B16n4 C15n39 D15n83等差数列an的公差d0d0d04a1(n1)da1常数dn(a1d)一次d孤立5(1)akalaman(2)等差数列2d
5、(3)等差数列4d自主探究解第一种方法:根据等差数列的定义,可以得到a2a1d,a3a2d,a4a3d,.所以a2a1d,a3a2d(a1d)da12d,a4a3d(a12d)da13d,由此得出:ana1(n1)d.第二种方法:由等差数列的定义知,anan1d(n2),所以(n1)个将以上(n1)个等式两边分别相加,可得ana1(n1)d,即ana1(n1)d.对点讲练例1解设an的公差为d.方法一由题意知解得所以a75a174d7424.方法二因为a60a15(6015)d,所以d,所以a75a60(7560)d201524.变式训练1解方法一设公差为d,则d1,从而amnam(mnm)d
6、nn(1)0.方法二设等差数列的通项公式为ananb(a,b为常数),则得a1,bmn.所以amna(mn)b0.例2解因为a1a72a4,a1a4a73a415,所以a45.又因为a2a4a645,所以a2a69,即(a42d)(a42d)9,(52d)(52d)9,解得d2.若d2,ana4(n4)d2n3;若d2,ana4(n4)d132n.变式训练2解设这四个数为a3d,ad,ad,a3d,则由题设得解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例3(1)证明an4 (n2),an14 (nN*)bn1bn.bn1bn,nN*.bn是首项为,公差为的等差数列(2)解b1,d.
7、bnb1(n1)d(n1).,an2.变式训练3证明,是等差数列,.(ab)(ca)(bc)(ca)2(ab)(bc)(ca)(ac2b)2(ab)(bc)2ac2ab2bca2c22ab2ac2bc2b2a2c22b2,a2,b2,c2成等差数列课时作业1A设等差数列an公差为d.a13a8a15120,5a8120,a824,2a9a102(a8d)(a82d)a824.2Ca29,a3(9)6,da3a215,ana2(n2)d9(n2)1515n39.3D由所以ana1(n1)d,即an8(n1)(2),得an2n10.4C方法一设an首项为a1,公差为d,则a3a4a5a6a7a12
8、da13da14da15da16d5a120d,即5a120d450,a14d90,a2a8a1da17d2a18d180.方法二a3a7a4a62a5a2a8,a3a4a5a6a7(a2a8)450,a2a8180.5D2an12an1,an1an.故数列an是首项为2,公差为的等差数列a101a1100d210052.6.解析nm3d1,d1(nm)又nm4d2,d2(nm).7.解析2d,即d.所以4d,所以a10.8.解析由题意设这4个根为,d,2d,3d.则2,d,这4个根依次为,n,m或n,m,|mn|.9解设ana1(n1)d,则a4a9a6a7(a13d)(a18d)(a15d)(a16d)(a11a1d24d2)(a11da130d2)6d20,所以a4a9a6a7.10解(1)依题意有a13,d734,an34(n1)4n1.设an4n1135,得n34,135是数列an的第34项由于4m194(m5)1,且mN*,4m19是数列an的第m5项(2)am、at是数列an中的项,am4m1,at4t1.2am3at2(4m1)3(4t1)4(2m3t1)1.2m3t1N*,2am3at是数列an中的第2m3t1项