1、高三数学试题第 1 页（共 4 页）诸暨市 20202021 学年第一学期期末考试试题高三数学注意：1本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟2请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V=13Sh其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()11 223Vh SS SS其中 S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式 S=4R2其中 R 表示球的半径球的体积公式 V=43R3其中 R 表示球的半径第卷（
2、选择题共 40 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合0,1A，|32,xxBy yxA，则 AB（）A0B1C0,1D2已知复数 z 满足 z z=1+i（i 为虚数单位），则 z （）AiB iC1iD1i3若实数,x y 满足约束条件10,101,xyxyy,则22zxy的取值范围是（）A 1,2B2,2C 0,5D0,54某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A24B30C 4 7D6 7俯视图正视图侧视图334424高三数学试题第 2 页（共 4 页）5.若,xR kZ
3、，则“4xk”是“tan1x”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知数列 na的前n 项和为nS，且0na，nN,若数列 na和 nS都是等差数列，则下列说法不正确的是（）AnnaS是等差数列BnnaS是等差数列C2na是等比数列D2nS是等比数列7 已知函数2()()xxf xxeex，若()()()f xf yf xy，则（）A0 xy B0 xy C0 xyD0 xy8设0,a 若随机变量 的分布列如下：则下列方差值中最大的是（）A()D B()D C(2-1)DD(21)D 9已知函数11,1,()ln,01,xexf xxx，()()g
4、xf xaxb，则下列说法正确的有（）存在,a bR，函数()g x 没有零点；存在,a bR，函数()g x 恰有三个零点；任意bR，存在0a，函数()g x 恰有一个零点；任意0a，存在bR，函数()g x 恰有二个零点；A1 个B 2 个C3 个D 4 个10如图，在三棱锥 PABC中，ABAC，ABAP，D 是棱 BC 上一点（不含端点）且 PDBD，记DAB为 ，直线 AB 与平面PAC 所成角为 ，直线 PA 与平面 ABC 所成角为，则（）A.,B.,C.,D.,DCABP-102Pa2 a3 a高三数学试题第 3 页（共 4 页）第卷（非选择题，共 110 分）二填空题（本大题
5、有 7 个小题，单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分）11已知双曲线22212xya 的离心率3e，则双曲线的焦点坐标是；渐近线方程是12.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在大衍历中建立了晷影长 l 与太阳天顶距(080)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高 h 与太阳天顶距正切值的乘积，即tanlh.若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的 2 倍和 3 倍(所成角记12、)，则12tan()13已知函数()sin()(0,0)2f xx，且3(0)2f,则；若()f x 与()sing xx 的周期相同
6、，则=14若多项式67267012672(1)(1)(1)(1)xxaaxaxaxax，则0a；6a 15.某单位把15只同种型号的口罩分给甲、乙、丙三人(每人至少1只)，且三人领到的口罩只数互不相同，则不同的分发方案有种；甲恰好领到3只口罩的概率为16已知123,e ee 是平面向量，且12,e e 是互相垂直的单位向量，若对任意R 均有31ee的最小值为32ee，则123323eeeee的最小值为17已知椭圆22:12xCy 的左焦点为 F，椭圆外一点(0,)(1)Ptt，直线 PF 交椭圆于AB、两点，过 P 作椭圆 C 的切线，切点为 E，若234PEPA PB，则 t 三、解答题（本
7、大题有 5 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（本题满分 14 分）在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，已知cos2abcA（1）求角C 的大小；（2）若2 3c，ABC的面积为3，分别求ab、sinsinAB的值高三数学试题第 4 页（共 4 页）19（本题满分 15 分）如图，在三棱锥 ABCD中，ABC是边长为3的等边三角形，CDCB,CD 平面 ABC，点 MN、分别为ACCD、的中点，点 P 为线段 BD 上一点，且/BM平面 APN.（1）求证：BMAN；（2）求直线 AP 与平面 ABC 所成角的正弦值20（本题满分15分）已知
8、正项数列 nnab、，记数列 na的前n 项和为nS，若1143ab，21nnSa，2211(1)0nnnnnbb bnb（1）求数列 nnab、的通项公式；（2）求数列2nna b的前 n 项和nT 21（本题满分 15 分）如图，已知抛物线24yx的焦点为 F，过 F 作斜率为(0)k k的直线交抛物线于1122(,)(,)A x yB xy、两点，且10y，弦 AB 中垂线交 x轴于点T，过 A 作斜率为 k 的直线交抛物线于另一点C.（1）若14y，求点 B 的坐标；（2）记 ABTABC、的面积分别为12SS、,若21SS=4，求点 A 的坐标22（本题满分 15 分）已知函数()1
9、xf xeax（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在(0,)有零点0 x，求证：（i）02ln2lnaxaa；（ii）30()(1)(1)f axaa.ADBCNMP1诸暨市高三数学期末考试答案 2021.2一选择题12345678910CBADCDACBA二填空题11.3,0；2 yx12.113.3；214.1；1315.72；1916.317.62三解答题18.解：（1）1sinsincossin2BCAA22sin()2sincossinACCAA12sincossinACA2 1cos23CC1（2）1sin32abC 2 34sinabC 2 2222cos
10、又cababC 1 22212()3abababab12()123242 6ababab2sin16sinsin()2 642CABabc2 19.（1）面面CDABCCDBMBMABC 2又正中，ABCAMMCBMAC 2面BMCDBMACBMACDCDACC 1BMAN 1 HADBCNMPG2（2）连 MD 交 AN 于G，连 PG,作PHBC 于 H，连 AH面面面面面ABCBCDABCBCDBCPHABCPHBC 2 PAH 为 AP 与平面 ABC 所成角1 又,都是的中线AN DMACD 为的重心GACD1 又/面面面BMAPNBMPGBMDAPNPG2113为的三等分点，PBD
11、PHCD12212cos7,2 23中：，Rt AHPPHAHABBHAB BHAP112sin42 2PHPAHAP 1法二：建立如图空间直角坐标系：100333 333 3(3,0,0),(0,0),(0,3,0),(,0,),(,0,),(,0)22244BNDAMP xy 200(3,0)(3,3,0)BPBDxy(33,3,0)P 1设面 APN 的法向量为(,)nx y z，33 3(3,3,)(,)00223 330(,3)(,)02 22x y zAP nAN nx y z33 3(3)30122(1)()02333 30222xyzxyxyz 1令2211,2121则xyz3
12、93 32213(,0,)(1,)04421 213 BM n 1ADBCNMPxzx3(2,1,0)P 1又1面的法向量为：=(0,1,0)ABCn 11113(,1,3)(0,1,0)222sin42 2 1AP nAPn 220.解：（1）由题意知：111,13ab2+1+121,21nnnnSaSa+111333nnnnaaqa2又11()(1)0,0nnnnnbbnbnbb121121131(1)122nnnnnnnbbbnnnnbnbbbbbnn2（2）123nnnna b12323123413333123133333 nnnnnTnnT21231111(1)22111121931
13、3333333313nnnnnnnT2112111(1)3633nnn2151144 32 3nnnnT221.（1）设直线 AB 方程为1xmy12122144044 xmyymyy yyx11221414 yyx14即1(,1)4 B1（2）设33(,)C x y1212121344,+同理：ABACyykkxxyyyy11213312121344002+yyyyyyyyyyy2又直线 AB 方程为：1112124()4()40yyxxxyyyyy1 直线 AB 中垂线方程为：122121212122(),022242288 令Tyyyyyxxxxyyxyx2 又2144CTSSdd 21
14、21212312322221212(2)()(2)44()448442222 yyyyyyxyyyyyyy2 又124 y y 212211212132632412(3,2 3)842 yyyAyy3 22.（1）解：()1xf xeax()xfxea1 当0a时，()0 xfxea，()f x 在 R 上单调递增；1 当0a时，()0lnxfxeaxa，所以()f x 在(,ln)a 上单调递减，在(ln+)a，上单调递增1（2）（i）由题意可得001xeax，要证明02lnxa,只要证明00201xxeeax，1设2()1xxg xexe，0 x 2222()(1)022xxxxxxxg
15、xeeeee，5所以2()1xxg xexe 在(0,)上递增，所以()(0)0g xg，得证.2要证明02ln axa,只要证明000112lnxxeex，1设1()1 2lnxxeh xex，0 x 2(1)22()2(1)(1)xxxxxxxxxeeeexeh xex ex e，()21 2xxxexe，0 x()220 xxxee，所以()21 2(0)0 xxxexe，所以()0h x，当0 x时，()0h x，()0h x，得证.2（ii）因为02ln2lnaxaa，所以02lnlnaxaa，1又()f x 在(ln,)a 上单调递增，20()(2ln)2 ln1f axfaaaa，1设23()2 ln1(1)(1)(1)k xxxxxxx，11()22ln3k xxxx ，且(1)0k，231321()0222xxkxxxx xx x，1故()(1)0k xk，1所以，30()(1)(1)f axaa1