1、课时分层作业(三)正弦定理与余弦定理的应用 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C之间的距离为()A2 n mileB3 n mileC5 n mile D6 n mileC在ABC中，A60，B75，C45.，BC5(n mile)2某人向正东方向走x km后向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是()A. B2C2或 D3C如图所示，在ABC中，ABx，BC3，AC，B30.由余弦定理，得()2x2322
2、3x，所以x23x60，解得x或x2.3一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这艘船的航行速度是()A5海里/时 B5海里/时C10海里/时 D10海里/时D如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10海里，在直角三角形ABC中，可得AB5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时4有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶()A与水速成45 B与水速成135C垂直于对岸 D不
3、能确定B如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且ACAB，在RtABC中，cosABC.ABC45，DAB18045135.则小船的方向应与水速成135行驶5在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A200 m B300 mC400 m D100 mB如图，BED，BDC为等腰三角形，BDED600(m)，BCDC200(m)在BCD中，由余弦定理可得cos 2，0290，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故选B.二、填空题6如图所示，为测
4、量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为_(3030)m由正弦定理得，PB，树的高度hPBsin 45(3030)(m)7如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为_m.50由题意知ABC30，由正弦定理，得，AB50(m)8如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两
5、点的俯角分别为30，45，且BAC135，若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为_m/s.分析知ABD30，ACD45，在ABD和ACD中，AB200 m，AC100 m，在ABC中，BC2AB2AC22ABACcosBAC100 000，即BC100 m，这辆汽车的速度为(m/s)三、解答题9如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45方向，B在北偏东75方向，试求这两座建筑物之间的距离解由题意可知CD，BDC180757530，CBD1803030120，DAC45.在B
6、DC中，由正弦定理可得，BC.在ADC中，由正弦定理可得，AC3.在ABC中，由余弦定理可得，AB2AC2BC22ACBCcosACB(3)2()223cos 4525，AB5.故这两座建筑物之间的距离为5 km.10如图所示，在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？解设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，在ABC中，A
7、B1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sinABCsinBAC .ABC45.BC与正北方向垂直CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船11如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内海底探测仪测得BAC30，DAC45，ABD45，DBC75，A，B两点的距离为 km.则C，D间的距离是()A. km B3 kmC. km D5 kmC在ABD中，
8、因为BADBACDAC304575，所以ADB180BADABD180754560.由，得AD，因为ABCABDDBC4575120，BACBCA30，所以BCAB，所以AC3.在ACD中，由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcosDAC5，即CD.故C，D间的距离为 km.故选C.12如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/hB设AB与河岸线所成的角为，
9、客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6.13(一题两空)如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东_度，航行路程为_海里8020()由题意，在ABC中，ABC7035105，AB40，BC40.根据余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC402(40)2240403 2001 600，AC20()根据正弦定理得，CAB45，此船航行的方向和路程分别为北偏东65，20()海里14.如图
10、所示，有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角ABC120，从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角ADC150，从D处再攀登300米到达C处则石竹山这条索道AC长为_米100在ABD中，BD200米，ABD120.因为ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得，所以.所以AD200(米)在ADC中，DC300米，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200)230022200300cos 150390 000，所以AC100(米)故石竹山这条索道AC长为100米15如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin 的值解(1)依题意知，CAB120，AB504200，AC120，ACB，在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB200212022200120cos 12078 400，解得BC280.所以该军舰艇的速度为70海里/时(2)在ABC中，由正弦定理，得，即sin .
