1、 1 20 不等式选讲 1【2022 年全国甲卷】已知 a，b，c 均为正数，且2+2+42=3，证明：(1)+2 3；(2)若=2，则1+1 3【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据2+2+42=2+2+(2)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0 0，0，0，由（1）得+2=+4 3，即0 0，0，0，则32 0，32 0，32 0，所以32+32+323 32 32 323，即()12 13，所以 19，当且仅当32=32=32，即=193时取等号(2)证明：因为 0，0，0，所以+2，+2，+2，所以+2=322，+2=322，+2=322 +32
2、2+322+322=32+32+322=12 当且仅当=时取等号 3【2021 年甲卷文科】已知函数()2,()2321f xxg xxx （1）画出 yf x和 yg x的图像；（2）若 f xag x，求 a 的取值范围【答案】（1）图像见解析；（2）112a 【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将 yf x向左平移可满足同角，求得yf xa过1,42A 时 a 的值可求.3【详解】（1）可得2,2()22,2x xf xxxx ，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xg xxxxxx，画出函数图像如下：（2）()|2|f x
3、axa，如图，在同一个坐标系里画出 ,f xg x 图像，yf xa是 yf x平移了 a 个单位得到，则要使()()f xag x，需将 yf x向左平移，即0a，当yf xa过1,42A 时，1|2|42a，解得112a 或52（舍去），则数形结合可得需至少将 yf x向左平移112 个单位，112a.4 【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.4【2021 年乙卷文科】已知函数 3f xxax（1）当1a 时，求不等式 6f x 的解集;（2）若 f xa ，求 a 的取值范围【答案】（1）,42,.（2）3,2.【解析】【分析】（1）利
4、用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简 f xa ，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）方法一：绝对值的几何意义法 当1a 时，13f xxx，13xx 表示数轴上的点到1和 3 的距离之和，则 6f x 表示数轴上的点到1和 3 的距离之和不小于6，当4x 或2x 时所对应的数轴上的点到13，所对应的点距离之和等于 6，数轴上到13，所对应的点距离之和等于大于等于 6 得到所对应的坐标的范围是4x 或2x，所以 6f x 的解集为,42,.5 方法二【最优解】：零点分段求解法 当1a 时，()|1|3|f xxx 当3x 时，(1)(3)6 xx，解得4x ；当 3
5、1x 时，(1)(3)6xx，无解；当1x时，(1)(3)6xx，解得2x 综上，|1|3|6xx的解集为(,42,)（2）方法一：绝对值不等式的性质法求最小值 依题意 f xa ，即3axax 恒成立，333xaxxaax，当且仅当30axx时取等号，3minf xa,故3aa ，所以3aa 或3aa，解得32a .所以 a 的取值范围是3,2.方法二【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值 由|xa是数轴上数 x 表示的点到数 a 表示的点的距离，得()|3|3|f xxaxa，故|3|aa ，下同解法一.方法三：分类讨论+分段函数法 当3a 时，23,()3,3,23,3,xaxaf xa
6、axxax 则min()3 f xa，此时3 aa，无解 当3a 时，23,3,()3,3,23,xaxf xaxaxaxa 则min()3f xa，此时，由3aa 得，32a 综上，a 的取值范围为32a 6 方法四：函数图象法解不等式 由方法一求得 min3f xa后，构造两个函数|3|ya和 ya ，即3,3,3,3aayaa 和 ya ，如图，两个函数的图像有且仅有一个交点3 3,2 2M，由图易知|3|aa ，则32a 【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法 方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为 1 的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的
7、情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得 3minf xa，利用不等式恒成立的意义得到关于 a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得 f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法 方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求 f x 最小值，要注意函数 f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数 f x 的最小值后，构造关于 a 的函数，利用数形结合思想求解关于 a 的不等式.5【2020 年新课标 1 卷理科】已知函数()|31|2|1|f xxx（1）画出
8、()yf x的图像；7（2）求不等式()(1)f xf x的解集【答案】（1）详解解析；（2）7,6 .【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 f x 的解析式，作出图象；（2）作出函数 1f x 的图象，根据图象即可解出【详解】（1）因为 3,1151,1313,3xxf xxxxx ，作出图象，如图所示：（2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 1f x 的图象，如图所示：由3511xx ，解得76x 所以不等式()(1)f xf x的解集为7,6 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题 6【2020 年
9、新课标 2 卷理科】已知函数2()|21|f xxaxa.（1）当2a 时，求不等式 4f x 的解集；8（2）若 4f x，求 a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2）,13,.【解析】【分析】（1）分别在3x、34x和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f xa，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时，43f xxx.当3x 时，43724f xxxx，解得：32x；当34x时，4314f xxx ，无解；当4x 时，43274f xxxx ，解得：112x；综上所述：4f x 的解集为32x x或112x.（2）222221
10、21211f xxaxaxaxaaaa（当且仅当221axa 时取等号），214a，解得：1a 或3a，a 的取值范围为,13,.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.7【2020 年新课标 3 卷理科】设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1（1）证明：ab+bc+ca0；（2）用 maxa，b，c表示 a，b，c 中的最大值，证明：maxa，b，c 3 4 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）方法一：由22222220abcabcabacbc结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设max,a b c
11、a，因为0,1abcabc ，所以0,a 0,b 0,c 122abcbca ，则34,a 3 4a 故原不等式成立 9【详解】（1）方法一【最优解】：通性通法 22222220abcabcabacbc，22212abbccaabc.1,abca b c 均不为0，则2220abc，222120abbccaabc 方法二：消元法 由0abc 得bac，则abbccab acca2acac 22aacc 223024cac，当且仅当0abc时取等号，又1abc ，所以0abbcca 方法三：放缩法 方式 1：由题意知0,a 0,abc,acb 222224acbcbcbbc，又abbccaa b
12、cbc2abc 224aa 2304a，故结论得证 方式 2：因为0abc ，所以22220222abcabcabbcca 22222212222abbccaabbcca 1 22222232abbccaabbccaabbcca 即0abbcca，当且仅当0abc时取等号，又1abc ，所以0abbcca 方法四：因为0,1abcabc ，所以 a，b，c 必有两个负数和一个正数，不妨设0,abc则,abc 20abbccabca cbbca.方法五：利用函数的性质 方式 1：6bac，令 22f cabbccacaca，二次函数对应的图像开口向下，又1abc ，所以0a，判别式222430a
13、aa，无根，所以 0f c，即0abbcca 方式 2：设 31f xxaxbxcxabbcca x，则 f x 有 a，b，c 三个零点，若0abbcca，10 则 f x 为 R 上的增函数，不可能有三个零点，所以0abbcca （2）方法一【最优解】：通性通法 不妨设max,a b ca，因为0,1abcabc ，所以0,a 0,b 0,c 122abcbca ，则334,4aa故原不等式成立 方法二：不妨设max,a b ca，因为0,1abcabc ，所以0a，且,1,bcabca 则关于 x 的方程210 xaxa有两根，其判别式240aa，即3 4a 故原不等式成立 方法三：不妨
14、设max,a b ca，则0,a,ba c1,abc 1,ac ac2210aca c，关于 c的方程有解，判别式2240aa，则334,4aa故原不等式成立 方法四：反证法 假设3max,4a b c，不妨令304ab，则311,4abc3 4abc ，又113333242244abab ，矛盾，故假设不成立即3max,4a b c，命题得证【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出
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