1、第3课 直线与圆的综合运用一、考纲要求1、能利用直线与圆、圆与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆、圆与圆的有关问题。2、掌握处理直线与圆、圆与圆关系的综合性问题基本方法；3、领悟感受并基本掌握“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简洁的运算途径.二、知识梳理回顾要求1、已知圆外一点，能否写出圆的切线方程？2、研究两圆关系的主要“特征线”有那几个？3、研究直线与圆、圆与圆的位置关系，一般采用两种方法要点解析1、已知圆，圆，则以为切点的圆的切线方程为，圆的切线方程为2、两圆公切线、连心线、公共弦是研究两圆关系的主要“特征线，合理利用会使问题简捷3、研究直线与圆、圆与圆的位置关系
2、，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解。其中方法一是常用方法。 诊断练习题1：自点M（3，1）向圆x2+y2=1引切线，则切线方程是 ，切线长是 。（y=1或3x-4y-5=0；3）x=1或3x-4y-5=03【分析与点评】（1）若斜率不存在，画图考察是否符合题意，若斜率存在，可设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，然后可得切线方程；点M和圆心的距离，半径，用勾股定理可解切线长（2）自一点向圆引切线求切线方程首先应考虑点在圆上还是在圆外，若在圆上则切线仅有一条，若在圆外则切线必有两条，不能出现多解或漏解。【变式1】已知圆O：x
3、2y24，则过点P(2,4)与圆O相切的切线方程为 。（3x4y100或x2）解析：点P(2,4)不在圆O上，切线PT的直线方程可设为yk(x2)4.根据dr，2，解得k，所以y(x2)4，即3x4y100.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2.【变式2】圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为 。（xy20）解析：圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.题2由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 .【分析与点评】在作出直
4、线与圆在同一坐标系中图形，圆是定的，直线也是定的，但由于直线上点是动的，因此切线也是动的，先思考切线长的最小值怎么求？其目标函数如何建立？方法一：直接在直线取点向圆引切线，由圆心到直线的距离、半径、切线长可以构成直角三角形即垂径定理，利用直角三角形中的关系建立目标函数？ 方法二：能否将则切线长的最值转移？由圆心到直线的距离、半径、切线长可以构成直角三角形中，把切线长的最小值转化为圆心与直线的距离的最小值。（在此顺便复习一下圆上点到直线(点)的距离的最值的求法-注意直线与圆的位置关系）【变式1】由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 . 通过此题让学生巩固最小值的求法-代数法和几何法.【变
5、式2】由直线上的一点向圆引切线，则切线长取最小值时切线所在直线的方程为 .通过此题让学生掌握过圆外一点如何求圆的切线方程的一般方法：斜率存在时，待定系数法设出直线点斜式方程再利用圆心到切线的距离等于半径求出直线的斜率。不存在时，直接写出切线方程，然后进行检验即可。本题利用题2的方法一、二求出直线上点的坐标然后利用过圆外一点如何求圆的切线方程的一般方法即可。问题：过圆上一点如何求圆的切线方程？【引申】1、已知是圆上一点，过点引圆的切线，则切线方程是。2、已知是圆上一点，过点引圆的切线，则切线方程是.题3、已知圆，圆则两圆的公共弦方程为 ，公共弦长为 。【分析与点评】思考1：公共弦方程的求法：只要
6、对两圆方程作差就可以得到直线方程为；思考2：公共弦的长度可以求出两交点坐标，用点到点距离公式解决，还可以用圆心到公共弦距离，半径已经公共弦的一半构造直角三角形解决得到弦长为【备用1】若过的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围是 。【分析与点评】利用前面基础知识梳理第2题的结论，从两个方面考虑：代数方法：直线与曲线联立方程组，直线与圆有公共点。几何方法：画出图形，利用点到直线的距离公式求出，直线与圆有公共点。 提醒的是如果本题求的是直线的倾斜角，那就要考虑分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况了。【备用2】若直线与曲线仅有一个公共点，求实数的取值范围【分析与点评】本题最适合的方法是图象法，
7、注意不要漏掉相切情况。题4. 已知圆O：，直线：，设圆O上到直线 的距离等于1的点的个数为= 。（4）要点归纳（1）强化直线与圆的位置关系的判断方法的应用：代数法、几何法。特别是圆的切线方程的求法：点在圆外、点在圆上。（2）渗透了点与圆、圆与圆的位置关系的判断方法。（3）要重视图形在解题中的作用，辅助分析，帮助理解。强化数形结合的思想之应用。四、范例导析例1已知圆C：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1) 证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程(1) 证明：直线l的方程整理得(xy4)m(2xy7
8、)0，mR，也就是直线l恒过定点A(3,1)由于|AC|5(半径)，点A(3,1)在圆C内，故直线l与圆C恒交于两点(2) 解：弦长最小时，直线lAC，而kAC，故此时直线l的方程为2xy50.已知圆x2y26mx2(m1)y10m32m240(mR)(1) 求证：不论m取什么值，圆心在同一直线l上；(2) 与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离(1) 证明：配方得(x3m)2y(m1)225.设圆心为(x，y)，则，消去m，得x3y30.故不论m取什么值，圆心在同一直线l：x3y30上(2) 解：设与l平行的直线为n：x3yb0，则圆心到直线n的距离d错误！未找到引用源。，由于圆的半径r
9、5，当dr，即53br，即b53时，直线与圆相离例2 、已知圆C经过不同的三点错误！未找到引用源。,且CP的斜率是1，（1） 求圆C的方程（2） 过原点做两条相互垂直的直线错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。交圆C于E、F,错误！未找到引用源。圆C于G、H,求四边形EFGH面积的最大值(1)错误！未找到引用源。 (2)S=错误！未找到引用源。EF*GH错误！未找到引用源。例3、已知：以点，为圆心的圆与轴交于、，与轴交于、，其中为原点.（1） 求证：的面积是定值；（2） 设直线与圆交于点、，若，求圆的方程.【教学处理】第一题可让学生板演，教师点评，强调学生必须作图；第二题要求学生独立思考，
10、教师适时提出问题并介入与学生交流讨论，后由学生明确思路老师板书示范。【引导分析与精讲建议】（1）第一题点评：关键是把三角形的面积表示出来？根据图形已知三角形OAB是直角三角形，令圆的方程中的分别为0即可求出与坐标轴的交点坐标.（2）第二题可以提出问题：这个条件如何用？（代数？几何？）方法一：直接联立直线和圆的方程组解出点的坐标，代入中，求出。注意值代入的验证。但是计算较繁.方法二：在方法一中，不需解出点的坐标，可以利用韦达定理找出,再利用，设线段的中点为，得到,转移为，能够立出有关的一个方程解出值。同样注意代入检验，进行取舍.方法三：在方法二中，进一步观察图形，可发现并且,从而直线（即直线）方
11、程为，再把圆心代入即可解出.但是要检验圆与已知直线是否相交来对进行取舍.【点评】： 本题主要通过第二题的三种解法，向学生渗透一题多解，从不同方面对图形的理解和条件的转换。本题第二题三种解法中解法一虽然宜掌握但计算量大，解法二常见的韦达定理的应用是解析几何的通性通法，解法三虽然思维量大，技巧性也强，但要求学生理解会处理。关键是学生要掌握通解通法，一些平几等技巧性的解法有时会起到事半功倍的奇效，理应做适当做了解【解题反思】1、直线与圆的位置关系（点与圆、圆与圆）的判断方法，特别是圆的切线方程的求法（点在圆外、点在圆上）以及直线被圆所截得的弦长也是在高考中出现频率较高的问题。要强化直线和圆所截得的弦
12、长、圆心到直线的距离、半径组成的直角三角形在处理弦长问题中应用即垂径定理的应用。2、在解题过程中，要培养学生动手作图的习惯。强调图象在研究问题中的关键作用，体会形转化数（例1、例2的第二题）、数转化为形的主要思想方法。 课后训练：1、 过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线方程为 点(3,1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为.因此切线的斜率k2.故圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.2、设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_圆C：x2y22ay20化为标准方程是C：x
13、2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r.|AB|2，点C到直线yx2a即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.3、在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_ 解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，的取值范围是（-13，13）。4、设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：（）求实数b 的取值范围； （）求圆C 的方程；（）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论（）令0，得抛物线与轴交点是（0，b）；令，由题意b0 且0，解得b1 且b0（）设所求圆的一般方程为令0 得这与0 是同一个方程，故D2，F令0 得0，此方程有一个根为b，代入得出Eb1所以圆C 的方程为.（）圆C 必过定点（0，1）和（2，1）证明：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边0120（b1）b0，右边0，所以圆C 必过定点（0，1）同理可证圆C 必过定点（2，1）
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