1、2021-2022学年度第二学期高二年级期中考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】求出，即与平行，从而求出【详解】因为，即与平行，所以直线与平面垂直.故选：B2. 已知向量，且向量与互相垂直，则的值是（ ）A. 1B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】先求出的坐标，再根据数量积为0可求的值.【详解】，因为向量与互相垂直，故，故，故选：B3. 在的展开式中的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数值，代入通项即可得解.
2、【详解】的展开式通项为，令，解得，因此，展开式中的系数是.故选：D.4. 已知随机变量，且，则（ ）A. B. 12C. 3D. 24【答案】C【解析】【分析】结合，求得，即可求解【详解】由题意，随机变量，可得，又由，解得，即随机变量，可得，故选：C5. 为了对变量，的线性相关性进行检验，由样本点求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法正确的有（ ）A. 若所有样本点都在直线上，则B. 若变量，呈正相关，则变量，的线性相关性较强C. 若所有样本点都在直线上，则D. 若越小，则变量，的线性相关性越强【答案】A【解析】【分析】根据相关关系与变量的线性相关性之间的关系判断各选项的正误【详解】所有样
3、本点都在一条直线上，若，则正相关，相关系数；，负相关，相关系数为越大，相关性超强，越小，相关性越弱，四个选项中只有A正确故选：A6. 已知随机变量，若，则（ ）A. 0.16B. 0.23C. 0.32D. 0.18【答案】B【解析】【分析】由正太分布的对称性进行求解【详解】因为，所以由正太分布的对称性可知：，故选：B7. 设某医院仓库中有10盒同样规格X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）A. 0.08B. 0.1C. 0.15D. 0
4、.2【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P=，P=，P=，P=，P=，P=；则由全概率公式，所求概率为P=P+P+P=+=0.08.故选：A8. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记：学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场，记：学生丙第一个出场，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出和，利用条件概率公式求解即可.【详解】根据题意，事件分甲最后一个出场和不是最后一个出场两种情况，所以，事件为学生丙第一
5、个出场，学生乙不是最后一个出场，所以，所以，故选：A.二、多选题（每题5分，部分选对得2分，漏选、错选均不得分，共20分）9. 展开式中，下列说法正确的有（ ）A. 二项式系数和为B. 第2项是C. 第8项与第9项的二项式系数相等D. 第9项的系数最小【答案】ABC【解析】【分析】利用二项式系数的性质可判断AC的正误，利用二项展开式的通项可判断BD的正误.【详解】展开式的二项式的系数为，故A正确.第8项与第9项的二项式系数分别为，而，故C正确.展开式的通项公式为，故第2项是，故B正确，第9项是，而，故第9项的系数大于第1项的系数，故D错误，故选：ABC.10. 下列四个命题中，假命题为（ ）A
6、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据组合数的计算公式进行判断ABC选项，由二项式系数的性质可得D选项错误.【详解】，A为真命题；，B为真命题；，C为真命题；，D为假命题.故选：D11. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】由赋值法令，即可判断A、C、D选项；结合二项展开式即可判断B选项.【详解】令，可得，故A正确；含的项为，故，B错误；令，又，故，C正确；令，又，故，D正确.故选：ACD.12. 若随机变量，其中，下列等式成立的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断各选项的正误.【详解】对于A
7、选项，利用正态密度曲线的对称性可知，所以，A对；对于B选项，B错；对于C选项，C对；对于D选项，D对.故选：ACD.三、填空题（每题5分，共20分）13. 已知五汛中学弘毅楼共有五层，有西边与东边各两个楼梯，则从一层到五层不同的走法有_种【答案】16【解析】【分析】利用分步乘法计数原理进行求解.【详解】从一层到五层共走四次楼梯，每次都有2种选择，故共有种走法.故答案为：1614. 已知，且事件、相互独立，则_【答案】#【解析】【分析】利用概率的乘法公式可求得结果.【详解】由概率的乘法公式可得.故答案：.15. 2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”与冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓
8、意，深受全国人民的喜爱某商店有3个不同造型的“冰墩墩”和4个不同造型的“雪容融”的吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有_种（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】用插空法进行求解.【详解】先排3个不同造型的“冰墩墩”，有种排法，再将4个不同造型的“雪容融”插到4个空位中，有种排法，故共有=144种排法.故答案为：14416. 投壶是从先秦延续到清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壶相互独立，若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则乙最后获胜
9、的概率为_【答案】【解析】【分析】按照乙只投中1次、乙只投中2次、乙投中3次，分3种情况求出乙获胜的概率再相加可得结果.【详解】若乙只投中1次，则甲投中0次时乙获胜，其概率为；若乙只投中2次，则甲投中0次或1次时乙获胜，其概率为;若乙投中3次，则乙必获胜，其概率为，综上所述：乙最后获胜的概率为.故答案为：四、解答题（17题10分，18-22题各12分，共70分）17. 某篮球运动员投篮的命中率为0.2，现投了3次球（1）求恰有2次命中的概率；（2）求至多有1次命中的概率；（3）设命中的次数为，求【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）利用次独立重复试验概率计算公式，即可求出恰有2次
10、投中的概率；（2）利用次独立重复试验概率计算公式，即可求出至多有1次投中的概率；（3）由题意可知，根据二项分布的期望公式即可求出结果【小问1详解】解：（1）某篮球运动员投篮的命中率为，则未命中的概率为，现投了次球，恰有次投中的概率为： 【小问2详解】至多有1次投中的概率为： 【小问3详解】由题意可知，所以18. 在1，2，3，8这8个自然数中，任取3个数字（1）求这3个数中恰有1个偶数的概率；（2）设为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量的概率分布列及方差【答案】（1） （2）分布列见解析，方差为【解析】【分析】（1）利用组合知识求出概率；（2）求出的可能取值及相应的概率，求出分布列和方差.【
11、小问1详解】这3个数中恰有1个偶数，则剩余2个数为奇数，设这3个数中恰有1个偶数为事件A，则，【小问2详解】的可能取值为0,1,2,3,，所以随机变量的概率分布列为：X0123P期望为，方差为19. 已知点，设，（1）求，夹角的余弦值（2）若向量，垂直，求的值（3）若向量，平行，求的值【答案】（1） （2）或. （3）【解析】【分析】（1）利用夹角公式可求夹角的余弦值.（2）利用向量垂直的坐标形式可求参数的值.（3）利用共线向量定理可求参数的值.【小问1详解】，故.【小问2详解】由（1）可得，因为向量，垂直，故，整理得到：，故或【小问3详解】由（1）可得不共线，故，均不为零向量，若向量，平行，
12、则存在非零常数，使得，整理得到：，因为不共线，故，故或，故.20. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答条件：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件：展开式中常数项为第三项问题：已知二项式，若_，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中所有的有理项【答案】（1）； （2），.【解析】【分析】（1）利用二项展开式的性质求出，再求展开式中二项式系数最大的项；（2）设第项为有理项，求出即得解.【小问1详解】解：选，由，得（负值舍去）选，令，可得展开式中所有项的系数之和为0由得选，设第项为常
13、数项，由，得由得展开式的二项式系数最大为，则展开式中二项式系数最大的项为【小问2详解】解：设第项为有理项，因为，所以，则有理项为，21. 在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即求：（1）试求考试成绩位于区间的概率（2）若这次考试共有2000名学生，试估计考试成绩在人数（3）若从参加考试的学生中（参与考试的人数超过2000人）随机抽取3名学生进行座谈，设选出的3人中考试成绩在80分以上的学生人数为，求随机变量的分布列与均值附：若，【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）利用题设中给出的参考数据可得所求的概率.（2）可求，从而可求相应区间上的人数.（3）
14、利用二项分布可求分布列，利用公式可求期望.【小问1详解】因为，故均值为，标准差为，故.【小问2详解】,故考试成绩在的人数约为，【小问3详解】因为，结合题设条件可得，故，故随机变量的分布列如下：0123故.22. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为求n的值；若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析
15、】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出的值；（2）根据古典概型的概率公式计算全为大集团的概率值；（3）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，整理得到即，解得（2）若2个全是大集团，共有种情况；若2个全是小集团，共有种情况；故全为大集团的概率为（3）由题意知，随机变量的可能取值为，计算，；故的分布列为： 01234 数学期望为【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）
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