1、第9课 对数与对数函数最新考纲内容要求ABC对数对数函数的图象与性质1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数2对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1)(2)换底公式：logab(a，c均大于0且不等于1，b0)(3)对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN，logaMnnlogaM(nR)3对数函数的定义、图象与性质定义函数ylogax(a0且a1)叫作对数函数图象a10a1性质定义域：(
2、0，)值域：R当x1时，y0，即过定点(1,0)当0x1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)log2x22log2x.()(2)当x1时，logax0.()(3)函数ylg(x3)lg(x3)与ylg(x3)(x3)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图象不在第二、三象限()答案(1)(2)(
3、3)(4)2(2017启东中学高三第一次月考)函数f(x)定义域为_(2，)由得0x2.3(2017泰州中学高三摸底考试)已知2，则a_.2，loga2loga32，loga62，a26，a0，a.4已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图91，则下列结论成立的是_(填序号)图91a1，c1；a1,0c1；0a1，c1；0a1,0c1.由图象可知yloga(xc)的图象是由ylogax的图象向左平移c个单位得到的，其中0c1.再根据单调性可知0a1.5(教材改编)若loga1(a0，且a1)，则实数a的取值范围是_(1，)当0a1时，logalogaa1，0a；当a
4、1时，logalogaa1，a1.即实数a的取值范围是(1，)对数的运算(1)设2a5bm，且2，则m等于_(2)(2017南通第一次学情检测)已知ab1，若logablogba，abba，则ab_.(1)(2)4(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，m.(2)logba，由logablogba得logab3或logab.又ab1，logab，即ab3.又abba，a3b，a3，b，ab4.规律方法1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并2先将对数式化为同底数对数的和、差
5、、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算3abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化变式训练1(1)已知函数f(x)则f(2log23)的值为_(2)若alog43，则2a2a_.(1)24(2)(1)32log234，f(2log23)f(3log23)23log238324.(2)alog43log223log23log2，2a2a2log22log22log2.对数函数的图象及应用(1)(2017南通二调)已知函数f(x)loga(xb)(a0，a1，bR)的图象如图92所示，则ab的值是_图92(2)已知函数
6、f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_. 【导学号：62172048】(1)(2)(1，)(1)由题图可知解得b4，a，ab.(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点规律方法1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解变式训练2如图93，点A，B在函数ylog2x2的图象上，点C在函数ylog2x的图象上
7、，若ABC为等边三角形，且直线BCy轴，设点A的坐标为(m，n)，则m_.图93由题意知等边ABC的边长为2，则由点A的坐标(m，n)可得点B的坐标为(m，n1)又A，B两点均在函数ylog2x2的图象上，故有解得m.对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小(2016全国卷)若ab0,0c1，则下列选项中正确的是_(填序号)logaclogbc；logcalogcb；acbc；cacb.对于：logac，logbc，0c1，lg c0.而ab0，lg alg b，但不能确定lg a，lg b的正负，logac与logbc的大小不能确定对于：logca，logcb，而lg alg b，两边同乘
8、一个负数不等号方向改变，logcalogcb，正确对于：利用yxc(0c1)在第一象限内是增函数，可得acbc，错误对于：利用ycx(0c1)在R上为减函数，可得cacb，错误角度2解简单的对数不等式(2016浙江高考改编)已知a，b0且a1，b1，若logab1，则下列说法正确的是_(填序号)(a1)(b1)0；(b1)(ba)0.法一：logab1logaa，当a1时，ba1；当0a1时，0ba1.只有正确法二：取a2，b3，排除，故选.角度3探究对数型函数的性质已知函数f(x)loga(3ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求
9、出a的值；如果不存在，请说明理由. 【导学号：62172049】解假设存在满足条件的实数a.a0，且a1，u3ax在1,2上是关于x的减函数又f(x)loga(3ax)在1,2上是关于x的减函数，函数ylogau是关于u的增函数，a1，x1,2时，u最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.规律方法利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的思想与方法1对
10、数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1或0a1且b1时，logab0.2利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性4多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y1交点的横坐标进行判定易错与防范1在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，)对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1与a1两种情况讨论2在
11、运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N，且为偶数)3解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围课时分层训练(九)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1lg 2lg 21_.1lg 2lg 21lg 5lg 22lg 22(lg 5lg 2)2121.2函数ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_. 【导学号：62172050】(，1)(1，)作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog
12、2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为(1，)3函数y的定义域是_由log(2x1)002x11x1.4已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_abc因为alog23log2log23log231，blog29log2log23a，clog32log331，所以abc.5若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图94所示，则下列函数图象中正确的是_(填序号)图94由题图可知ylogax的图象过点(3,1)，loga31，即a3.选项，y3xx在R上为减函数，错误；选项，yx3符合；选项
13、，y(x)3x3在R上为减函数，错误；选项，ylog3(x)在(，0)上为减函数，错误6已知函数f(x)则f(f(1)f的值是_. 【导学号：62172051】5由题意可知f(1)log210，f(f(1)f(0)3012，f3log313log321213，所以f(f(1)f5.7已知函数ylog2(ax1)在(2,4)上单调递增，则a的取值范围是_由函数ylog2(ax1)在(2,4)上单调递增，得 解得a，则a的取值范围是.8(2017苏锡常镇调研二)已知函数f(x)x32x，若f(1)f(log3)0(a0且a1)，则实数a的取值范围是_. 【导学号：62172052】(0,1)(3，
14、)f(x)3x220，f(x)为R上的递增函数，又f(x)x32xf(x)，f(x)为奇函数由f(1)f0得f(1)f(log3)f，loga33或0a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_(1,2当x2时，yx64.f(x)的值域为4，)，当a1时，3logax3loga24，loga21，1a2；当0a1时，3logax3loga2，不合题意故a(1,23已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的解集解(1)要使函数f(x)有意义，则解得1x1.故所求函数f(
15、x)的定义域为(1,1)(2)证明：f(x)为奇函数，由(1)知f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)为奇函数(3)因为当a1时，f(x)在定义域(1,1)内是增函数，所以f(x)01，解得0x1，所以使f(x)0的x的解集是(0,1)4已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解(1)f(1)1，log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30，得1x3，函数f(x)的定义域为(1,3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减又ylog4x在(0，)上单调递增，f(x)的单调递增区间是(1,1)，单调递减区间是(1,3)(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.