1、2020-2021学年广东省佛山市顺德一中高一（下）期中数学试卷一.单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1若（1+i）+（23i）a+bi（a，bR，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A3，2B3，2C3，3D1，42设，是两个不共线的向量，若向量（kR）与向量共线，则（）Ak0Bk1Ck2Dk0.53若cos，是第三象限的角，则sin（+）（）ABCD4已知向量（m，2），（3，6），若|+|，则实数m的值是（）A4B1C1D45已知，则tan（+）的值为（）ABCD16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角
2、三角形D等边三角形7已知关于x的方程2sin2xsin2x+m10在（，）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是（）A（1，）B（2，2）C（2，）D（2，1）8已知函数f（x）sinx，若存在x1，x2，xm满足0x1x2xm6，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（xm）|12（m2，mN*），则m的最小值为（）A6B7C8D9二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分，共4小题，合计20分）9某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐
3、”的字样，则在、处可依次写上（）A乐、新、快B快、新、乐C新、乐、快D乐、快、新10如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，DAB75，CAB30，ABBC，ABD60，则（）ABD10（3+）mBDC10mCDC10mDBC10m11用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A圆锥B圆柱C三棱锥D正方体12下列说法正确的是（）A若非零向量（+）0，且，则ABC为等边三角形B已知，四边形ABCD为平行四边形，则+C已知正三角形ABC的边长为2，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1D已知向量（2
4、，0），（2，2），（cos，sin），则与夹角的范围是三、填空题（每小题5分，共4小题，合计20分）13函数f（x）sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为 14复数z满足z（+1）1+i，其中i是虚数单位，则|z| 15如图，菱形ABCD的边长为2，A60，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，则的范围为 16若AB2，ACBC，则三角形ABC面积SABC的最大值为 四、解答题（共6小题，合计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cos，sin），（，）（1）若|，求角的
5、值；（2）若1，求的值18设函数f（x）sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在，上的最小值19如图，在四边形ABCD中，DAB，AD：AB2：3，BD，ABBC（1）求sinABD的值；（2）若BCD，求CD的长20已知向量（cos，sin），（cos，sin），0（1）若|，求证：；（2）设（0，1），若+，求，的值21如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ab（sinC+cosC）（）求ABC；（）若A，D为ABC外
6、一点，DB2，DC1，求四边形ABDC面积的最大值22如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PMPNMN2（单位：千米）记AMN（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？参考答案一.单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.1若（1+i）+（23i）a+bi（a，bR，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A3，2B3，2C3，3D1，4解：由（1+i）+（23i）32ia+bi，
7、得a3，b2故选：A2设，是两个不共线的向量，若向量（kR）与向量共线，则（）Ak0Bk1Ck2Dk0.5解：设，是两个不共线的向量，若向量（kR）与向量共线，则：利用向量共线基本定理：k，故选：D3若cos，是第三象限的角，则sin（+）（）ABCD解：是第三象限的角sin，所以sin（+）sincos+cossin故选：A4已知向量（m，2），（3，6），若|+|，则实数m的值是（）A4B1C1D4解：向量（m，2），（3，6），+（m+3，4），（m3，8），又|+|，化简得12m48，解得m4故选：D5已知，则tan（+）的值为（）ABCD1解：tan（+）tan（）+（+）1，故选：
8、D6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则ABC为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形解：ABC中，cbcosA，sinCsinBcosA，即sin（A+B）sinAcosB+sinBcosAsinBcosA，sinAcosB0，sinA0，cosB0，B为钝角，ABC为钝角三角形，故选：A7已知关于x的方程2sin2xsin2x+m10在（，）上有两个不同的实数根，则m的取值范围是（）A（1，）B（2，2）C（2，）D（2，1）解：方程可转化为，设，则问题可转化为和的图象有两个不同的交点，如图，由图象观察可知，解得2m1故选：D8已知函数f（x）
9、sinx，若存在x1，x2，xm满足0x1x2xm6，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（xm）|12（m2，mN*），则m的最小值为（）A6B7C8D9解：ysinx对任意xi，xj（i，j1，2，3，m），都有|f（xi）f（xj）|f（x）maxf（x）min2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i1，2，3，m）取得最高点，考虑0x1x2xm6，|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（x3）|+|f（xm1）f（xm）|12，按下图取值即可满足条件，m的最小值为8故选：C二、多选题（每小题5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分，共4小题
10、，合计20分）9某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在、处可依次写上（）A乐、新、快B快、新、乐C新、乐、快D乐、快、新解：根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为年，故选：B10如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，DAB75，CAB30，ABBC，ABD60，则（）ABD10（3+）mBDC10mCDC10mDBC10m解：ABBC，ABC90，在RtABC中，CAB30，ABC90，AB，在ABD中，DAB75
11、，ABD60，ADB45，根据正弦定理得：，解得AD，DAB75，CAB30，DAC45，在ACD中，根据余弦定理得：CD2AD2+AC22ADACcos451800+160024001000，在ABD中，DAB75，ABD60，且，根据正弦定理得：，解得故选：AC11用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A圆锥B圆柱C三棱锥D正方体解：用一个平面去截一个圆锥时，轴截面的形状是一个等腰三角形，所以A满足条件；用一个平面去截一个圆柱时，截面的形状不可能是一个三角形，所以B不满足条件；用一个平面去截一个三棱锥时，截面的形状是一个三角形，所以C满足条件；用一个平面去截
12、一个正方体时，截面的形状可以是一个三角形，所以D满足条件故选：ACD12下列说法正确的是（）A若非零向量（+）0，且，则ABC为等边三角形B已知，四边形ABCD为平行四边形，则+C已知正三角形ABC的边长为2，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1D已知向量（2，0），（2，2），（cos，sin），则与夹角的范围是解：对于A：在ABC中，非零向量（+）0，说明角A的平分线垂直于边BC，所以ABC为等腰三角形，且满足，所以A，故ABC为等边三角形，故A正确；对于B：若O为四边形ABCD的中心，则+，若点O不为中心，则+不一定成立，故B错误；对于C：如图所示，建立直角坐标系
13、，设内切圆的半径为r，则r32，解得r1设P（x，y），1y1则x2+y21A（，1），B（，1），则（x，1y）（x，1y）x23+（1y）22y11，因此C正确对于D向量（2，0），（2，2），（cos，sin），+（cos+2，sin+2），点A（x，y）满足方程（x2）2+（y2）22设直线OA方程为：ykx，则，可得：2k2+，设与夹角为，则2tan2+，解得：，的取值范围是，因此D不正确故选：AC三、填空题（每小题5分，共4小题，合计20分）13函数f（x）sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为 3+8k，1+8k（kZ）解：由图可得，则T8，由五点
14、作图的第三点可得：，则函数解析式为f（x）sin（x+）由，kZ，得3+8kx1+8k，kZf（x）的单调递增区间为3+8k，1+8k（kZ）故答案为：3+8k，1+8k（kZ）14复数z满足z（+1）1+i，其中i是虚数单位，则|z|1或解：设za+bi（a，bR），则abi，z（+1）1+i，（a+bi）（a+1bi）1+i，a2+b2+a+bi1+i，解得或，zi或z1+i，|z|1或，故答案为：1或15如图，菱形ABCD的边长为2，A60，M为DC的中点，P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，则的范围为3，49解：建立平面直角坐标系如图，菱形ABCD的边长为2，A60，A（0，0），D（
15、1，），C（3，），M（2，），P是以A为圆心2为半径的圆弧上的点，设P（2cos，2sin），（060），则（2cos2，2sin），（3，），则3（2cos2）+（2sin）6cos+2sin94（cos+sin）94sin（+60）9，060，60+60120，sin（+60），1，则4sin（+60）6，4，则4sin（+60）93，49，即的范围为3，49，故答案为：3，4916若AB2，ACBC，则三角形ABC面积SABC的最大值为2解：如图所示，A（1，0），B（1，0）设C（x，y）（y0）ACBC，化为：（x3）2+y28（y0）可知：当且仅当取C（3，2），三角形ABC的面
16、积的最大值222故答案为：2四、解答题（共6小题，合计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cos，sin），（，）（1）若|，求角的值；（2）若1，求的值解：，（1），化简得：sincos，tan1又，故（2），（cos3）cos+sin（sin3）1，化简得：，两边平方得：，故sincos0，而，18设函数f（x）sin（x）+sin（x），其中03，已知f（）0（）求；（）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在，上的
17、最小值解：（）函数f（x）sin（x）+sin（x）sinxcoscosxsinsin（x）sinxcosxsin（x），又f（）sin（）0，k，kZ，解得6k+2，又03，2；（）由（）知，f（x）sin（2x），将函数yf（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数ysin（x）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到ysin（x+）的图象，函数yg（x）sin（x）；当x，时，x，sin（x），1，当x时，g（x）取得最小值是19如图，在四边形ABCD中，DAB，AD：AB2：3，BD，ABBC（1）求sinABD的值；（2）若BCD，求CD的长解：（1）设AD
18、2x，AB3x，由余弦定理得：cos，解得x1，AD2，AB3，由正弦定理得：，解得sinABD（2）sin（ABD+CBD）sin，sinCBDcosABD，cos，sin，由正弦定理得，解得CD20已知向量（cos，sin），（cos，sin），0（1）若|，求证：；（2）设（0，1），若+，求，的值解：（1）证明：由|，即（）222+22，又因为22|2|21所以222，即0，故；（2）因为+（cos+cos，sin+sin）（0，1），所以，即，两边分别平方再相加得122sin，sin，sin，又0，21如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ab（sinC+cosC）（
19、）求ABC；（）若A，D为ABC外一点，DB2，DC1，求四边形ABDC面积的最大值【解答】（本题满分为12分）解：（）在ABC中，ab（sinC+cosC），sinAsinB（sinC+cosC），（1分）sin（BC）sinB（sinC+cosC），sin（B+C）sinB（sinC+cosC），sinBcosC+cosBsinCsinBsinC+sinBcosC，cosBsinCsinBsinC，又C（0，），故sinC0，cosBsinB，即tanB1 又B（0，）， （）在BCD中，DB2，DC1，BC212+22212cosD54cosD 又，由（）可知，ABC为等腰直角三角形，又
20、， 当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为22如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PMPNMN2（单位：千米）记AMN（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？解：（1）AMN，在AMN中，由正弦定理得：所以AN，AM（2）AP2AM2+MP22AMMPcosAMPsin2（+60）+4sin（+60）cos（+60）1cos（2+120）sin（2+120）+4sin（2+120）+cos（2+120）+sin（2+150），（0，120）（其中利用诱导公式可知sin（120）sin（+60）当且仅当2+150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2故答案为：（1）AN，AM（2）ANAM2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小
