1、模块综合检测(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.满足 A1,-1=1,0,-1的集合 A 共有()A.2 个B.4 个C.8 个D.16 个解析:根据题意,集合可能为0,0,1,0,-1,0,1,-1,共有 4 个,故选 B.答案:B2.下列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是()A.y=()C.y 解析:A 选项中,函数的定义域为x|x0,两个函数的定义域不同.B 选项中,函数的定义域为x|x0,两个函数的定义域不同.C 选项中,函数的定义域为x|x0,两个函数的定
2、义域不同.D 选项中,函数的定义域为 R,对应法则相同,所以成立.故选 D.答案:D3.已知函数 f(x)-则 A.3B.4C.5D.6解析:因为 f(-1)=1+log2(2-1)=1,f(log25)所以f(-1)+f(log25)=6.答案:D4.已知幂函数 y=f(x)的图像经过点()则 的值为 A.16B.2C 解析:设幂函数为 y=x,幂函数 y=f(x)的图像经过点()解得=-故选C.答案:C5.下列图像对应的函数能用二分法求其零点的是()解析:由函数图像可得,A 中的函数没有零点,故不能用二分法求零点,故排除 A.B 和 D 中的函数有零点,但函数在零点附近两侧的符号相同,故不
3、能用二分法求零点,故排除.只有C 中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点,故选 C.答案:C6.已知 2a=l ()()则 A.abcB.cbaC.cabD.ba0,所以 2a1,l 解得00,所以 00,所以 0log2c1 1c2,从而 ab0,且 a1)在(-,+)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的图像是()解析:函数 f(x)=kax-a-x(a0,且 a1)在(-,+)上是奇函数,f(0)=k-1=0,k=1.又 f(x)=ax-a-x(a0,且 a1)在(-,+)上是增函数,a1.函数 g(x)=loga(x+1)的图像过
4、点(0,0),且在(-1,+)上是增加的.故选 C.答案:C10.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x0,1,若 f(x)有最小值-2,则 f(x)的最大值为()A.1B.0C.-1D.2解析:函数 f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,x0,1,函数 f(x)=-x2+4x+a 在0,1上是增加的.当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=a=-2,当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=3+a=3-2=1,故选 A.答案:A11.已知 f(x)是偶函数,对任意的 a,b0,+)都有 -若 则 的取值范围是 A()()(1,+)C()(10,+)解析:由于 f(x)是
5、偶函数,对任意的 a,b0,+)都有 -则偶函数f(x)在0,+)是减少的,则 f(lg x)f(1),即为 f(|lg x|)f(1),即有|lg x|1,即-1lg x0 时,f(x)的最大值为 当x0 时,f(x)是减少的,因此,当 01 时满足条件,故 a 的取值范围是(1,+).答案:(1,+)15.已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n 满足 mn,且 f(m)=f(n).若 f(x)在区间m2,n上的最大值为 2,则 m+n=.解析:画出函数 f(x)=|log2x|的图像,如图所示.由题意知,0m1n,所以 0m2mf(m)=f(n),故函数 f(x)在 x=m2处
6、取得最大值,即f(m2)=|log2m2|=2.又 0mx0时,有 2xx2成立;对于函数 y=f(x),xa,b,若有 f(a)f(b)x0时,有 2xx2成立,故正确;对于,只有函数 y=f(x)在区间a,b上连续,才有 f(a)f(b)0,f(x)在(a,b)内有零点,故错;对于,x+lg x=5,lg x=5-x.x+10 x=5,10 x=5-x.lg(5-x)=x.如果作变量代换 y=5-x,那么 lg y=5-y.x1是方程 x+lg x=5 的根,x2是方程 x+10 x=5 的根,x1=5-x2,x1+x2=5.故正确.答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答
7、时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)计算:(1 -(2)log225log log 解:(1)原式 -(2)原式=log252log32-4log53-2 -18.(12 分)已知集合 A=x|3x5,B=x|4x6.(1)求由 AB 中的整数构成的集合 M 的子集的个数;(2)若函数 f(x)=x+log3x 的定义域为 AB,求该函数的值域.解:(1)因为 AB=x|3x5x|4x6=x|3x6,所以 M=3,4,5,于是集合 M 的子集的个数为 23=8.(2)因为 AB=x|3x6,又 f(x)=x+log3x 在3,6)上是增函数,所以 4=f(3)f(x)f(6
8、)=7+log32.故函数 f(x)的值域是4,7+log32).19.(12 分)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且函数 f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求 f(x)的解析式;(2)求 f(x)在 x-1,2上的值域;(3)令g(x)=f(x)判断函数 是否存在零点 若存在 求出所有零点 若不存在 请说明理由 解:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a0),f(0)=0,则 c=0.由题意 f(x+1)=f(x)+x+1,得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,解得a=b f(x)(2)f(x)(
9、)-1,2,最小值为(-)最大值为f(2)=3,f(x)在-1,2上的值域是-(3)由 g(x)=f(x)可得 x3+x2-2=0.(x-1)(x2+2x+2)=0.x=1,即函数 g(x)的零点是 1.20.(12 分)某投资公司拟投资开发某种新产品,市场评估能获得 10 万1 000 万元的投资收益.现公司准备制订一种对科研课题组的奖励方案:奖金 f(x)(万元)随投资收益 x(万元)的增加而增加,且奖金不低于 1 万元,同时不超过投资收益的 20%.(1)根据题目要求,写出 f(x)满足的条件.(2)下面是公司预设的两种奖励方案对应的函数模型:f(x)试分别分析这两个函数模型是否符合公司
10、的要求.解:(1)由题意知 f(x)满足的条件为:当 x10,1 000时,f(x)是增加的;f(x)1 恒成立;f(x)恒成立.(2)对于函数模型 f(x)当 x10,1 000时,f(x)是增加的,且 f(x)f(10)=1,即 f(x)1 恒成立.若使函数 f(x)=+2 在10,1 000上恒成立,则有 29x300 在10,1 000上恒成立.又当 x=10 时,29x=2910=290300,所以 f(x)在10,1 000上不恒成立.故该函数模型不符合公司的要求.对于函数模型 f(x)=4lg x-2.当 x10,1 000时,f(x)是增加的.且 f(x)f(10)=4lg 1
11、0-2=21,所以 f(x)1 在10,1 000上恒成立.在同一平面直角坐标系中分别画出函数 f(x)=4lg x-2 和 y=的图像,如图所示.由图像可知当 x10,1 000时,4lg x-2 恒成立.故该函数模型符合公司的要求.21.(12 分)已知 f(x)=g(x)=-.(1)求 y=g(x)的解析式,并画出其图像;(2)写出方程 xf(g(x)=2g(f(x)的解集.解:(1)当 x1 时,x-10,x-20,此时 g(x)=-=1.当 1x2 时,x-10,x-20,x-20,此时 g(x)=-=2.故 y=g(x)=其图像如图.(2)g(x)0,f(g(x)=2,xR.方程
12、xf(g(x)=2g(f(x)即为 x2=其解集为-,2.22.(12 分)已知函数 f(x)=-.(1)求证:函数 f(x)在区间(-1,+)上是增加的;(2)设 g(x)=f(2x),求证:函数 g(x)是奇函数;(3)在(2)的前提下,若 g(x-1)+g(3-2x)0,求实数 x 的取值集合.(1)证明f(x)=-=1-,任取 x1,x2(-1,+),且 x1x2,则 f(x2)-f(x1)=1-1+=-=-.x10,且 x1+10,x2+10.f(x2)-f(x1)0.函数 f(x)在区间(-1,+)上是增加的.(2)证明 g(x)=f(2x)=-,g(-x)=-=-=-g(x).函数 g(x)是奇函数.(3)解函数 g(x)是奇函数且是增加的,g(x-1)+g(3-2x)0,g(x-1)g(2x-3),x-12.实数 x 的取值集合是x|x2.
