1、 专题过关检测一函数与导数一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021全国乙,理4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是() A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+12.(2021江苏南通二模)已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),当x0时,f(x)=3x+2x,则不等式f(x-2)f()f(ln 2)B.ff(ln 2)f()C.f()f(ln 2)fD.f(ln 2)f()f7.(2021广东汕头三模)区块链作为一种革新的技术,已经被应用于许多领域,包括金融、政务服务、供
2、应链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中,若密码的长度设定为256比特,则密码一共有2256种可能,因此,为了破解密码,最坏情况需要进行2256次哈希运算.现在有一台机器,每秒能进行2.51011次哈希运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下,这台机器破译密码所需时间大约为()(参考数据:lg 20.301 0,lg 30.477 1)A.4.51073秒B.4.51065秒C.4.5107秒D.28秒8.(2021河北唐山期末)已知函数f(x)=ln(2x+1),g(x)=2mx+m,若f(x)g(x)恒成立,则实数m的取值范围是()A.-,B.0,C.,+D.e,+)二、选择题
3、:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021山东潍坊三模)已知函数y=ax(a0且a1)的图象如图所示,则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是()10.(2021山东师大附中月考)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则以下几个结论正确的是()A.0x0C.f(x0)+2x0011.已知函数f(x)=当xt,+)时,f(x)的值域为(-,16,则t的值可能为()A.-3B.-1C.1D.312.已知曲线f(x)=aex-2(a0)与曲线g(x)=x2-m(m0)有
4、公共点,且在第一象限内的公共点处的切线相同(e是自然对数的底数),则当m变化时,实数a取以下哪些值能满足以上要求()A.1B.eC.2eD.e2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021广东佛山一模)已知函数f(x)=-ex+ex2(e是自然对数的底数),则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是.14.(2021山东潍坊一模)请写出一个存在极值的奇函数.15.(2021山东临沂期中)若函数f(x)=e2x-ax2+1在区间1,2上单调递减,则实数a的取值范围是.16.(2021湖南师大附中三模)设s,t是两个不相等的正数,且s+sln t=t+tln s,则s+
5、t-st的取值范围为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021浙江月考)已知函数f(x)=(x-1)|x-a|.(1)若a=2,求f(x)在区间0,上的最大值;(2)已知函数g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数a(-1,2,使得函数g(x)有三个零点,求实数m的取值范围.18.(12分)(2021上海三模)数学建模小组检测到相距3米的A,B两光源的强度分别为a,b,线段AB上任意一点C异于点A,B处的光强度y等于A,B两光源到该处的光强度之和,设AC=x米.(1)假设某处的光强度与光源的强度成正比,与到光源的距离的
6、平方成反比,比例系数为常数k(k0),测得数据:当x=1时,y=k;当x=2时,y=3k,求A,B两光源的强度,并写出函数y=f(x)的解析式;(2)假设某处的光强度与光源的强度成正比,与到光源的距离成反比,比例系数为常数k(k0),测得数据:当x=1时,y=k;当x=2时,y=2k,问何处的光强度最弱?并求最弱处的光强度.19.(12分)(2021湖北荆州中学期中)已知f(x)=(ln x)2+2x-aex.(1)当a=0时,求函数f(x)的导函数f(x)的最大值;(2)若f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围.20.(12分)(2021辽宁沈阳一模)已知函数f(x)=(x+m)ex.(1
7、)若f(x)在区间(-,1上单调递减,求实数m的取值范围;(2)当m=0时,若对任意的x(0,+),nxln(nx)f(2x)恒成立,求实数n的取值范围.21.(12分)(2021山东实验中学二模)已知函数f(x)=ex-ax(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=2时,求函数g(x)=f(x)-cos x在区间-,+上的零点个数.22.(12分)已知1a2,函数f(x)=ex-x-a,其中e=2.718 28是自然对数的底数.(1)证明:函数y=f(x)在区间(0,+)上有唯一零点;(2)记x0为函数y=f(x)在区间(0,+)上的零点,证明:x0;x0f()(e-1)(a-1
8、)a.专题过关检测一函数与导数1.B解析 函数f(x)=-1+,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.2.B解析 依题意知f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,当x0时,f(x)=3x+2x单调递增,且f(2)=13,所以不等式f(x)13的解集为(-2,2).将f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度后可得f(x-2)的图象,故不等式f(x-2)0时,函数g(x),h(x)在x=处分别取得最小值和最大值a,在同一平面直角坐标系中
9、画出函数g(x),h(x)的图象(图略),由图易知a=4.D解析 对任意的xR,f(x-1)=f(x+1),即f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2为周期的周期函数,f(-2 020.6)=f(-0.6),又f(x)为R上的奇函数,且当0x1时,f(x)=5x(1-x),因此f(-2 020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-50.6(1-0.6)=-5.D解析 由题意,知a0且a1.若0a0,且y=ax2单调递增,当x1,2)时,logax0,且y=logax单调递减,所以f(x)=不可能有两个不同的解.若a1,则当x(0,1)时,ax20,且y=ax2单调递增,当x1,2)时,l
10、ogax0,且y=logax单调递增,所以若f(x)=有两个不同的解,则所以1alog33=1=200,1=ln eln 2ln 所以log34ln 20.当x(0,+)时,f(x)=f(ln 2)f故选C.7.B解析 设这台机器破译密码所需时间大约为x秒,则x2.51011=2256,于是lg(x2.51011)=lg 2256,即lg x+lg 5-lg 2+11=256lg 2,所以lg x=258lg 2-122580.301 0-12=65.658,所以x1065.658=1065100.658,从选项考虑:lg 4.5=lg=2lg 3-lg 220.477 1-0.301 0=0
11、.653 2,所以4.5100.653 2,所以x1065.658=1065100.6584.51065.故选B.8.C解析 函数f(x)=ln(2x+1),x-,g(x)=2mx+m,f(x)g(x)恒成立,即ln(2x+1)2mx+m恒成立,即m在x-时恒成立,令t=2x+10,即m在t0时恒成立,即m(t0).设g(t)=(t0),则g(t)=令g(t)=0得t=e,则t(0,e)时,g(t)0,g(t)单调递增;t(e,+)时,g(t)0)取得最大值g(e)=,即,所以m故选C.9.ABD解析 由题图可得a1=2,即a=2,所以y=a-x=单调递减,且函数图象过点(-1,2),故A正确
12、;y=x-a=x-2为偶函数,在区间(0,+)上单调递减,在区间(-,0)上单调递增,且函数图象过点(1,1),(-1,1),故B正确;y=a|x|=2|x|=为偶函数,结合指数函数图象可知C错误;y=|logax|=|log2x|=可知D正确,故选ABD.10.AD解析 f(x)=xln x+x2(x0),f(x)=ln x+1+2x.x0是函数f(x)的极值点,f(x0)=0,即ln x0+1+2x0=0.又f0,x0,f(x)-,0x00;即C不正确;D正确.11.ABC解析 由题意,函数f(x)=当x0时,函数f(x)=12x-x3,则f(x)=12-3x2=-3(x+2)(x-2),
13、当0x0,当x2时,f(x)0,所以函数f(x)在区间(0,2)上单调递增,在区间(2,+)上单调递减,所以当x=2时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(2)=122-23=16,所以当x0时,f(x)(-,16.当x0),则y0=a-m,求导得,f(x)=aex-2,g(x)=2x,由切线相同知,f(x0)=g(x0),即a=2x0,则-m=2x0m=-2x00x02,由a=2x0,得a=,令h(x)=(x2),则h(x)=,当x2时,h(x)0,h(x)单调递减,h(x)0,因此h(x)在区间1,2上单调递增,所以h(x)max=h(2)=,故实数a的取值范围是,+.16.(1,+)解析
14、 由已知s+sln t=t+tln s,可得,设f(x)=(x0),则f(x)=,当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(1,+)时,f(x)t,则0t10,所以s+t-st1.17.解 (1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.若x0,2,则f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-2+,所以f(x)max=f若x2,则f(x)=(x-1)(x-2)=x-2-,在区间2,上单调递增,所以f(x)max=f综上,f(x)在区间0,上的最大值为(2)由题设,令g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0.所以当a(-1,2时,关于x的方程x|x-a|-(x-a)=m有三个根
15、,即当a(-1,2时,函数h(x)=的图象与直线y=m有三个交点.当-1a1时,h(x)在区间-,+上单调递增,在区间上单调递减,此时,hmh,可得-m,故-1m1;当1a2时,h(x)在区间-,(a,+)上单调递增,在区间,a上单调递减,此时,0mh,可得0m,而1,故0m0,所以解得a=8,b=1,故y=,x(0,3),k0.(2)由已知,得y=因为x=1时,y=k,x=2时,y=2k,k0,所以解得a=2,b=1,故y=,x(0,3),k0.因为y=(x+3-x)=3+2(3+2),当且仅当=2,即x=6-3时取等号.所以线段AB上距离A光源(6-3)米的C处光强度最弱,且此处的光强度为
16、(3+2).19.解 (1)当a=0时,f(x)=(ln x)2+2x,所以f(x)=+2.设g(x)=f(x),则g(x)=令g(x)=0,得x=e,且当x(0,e)时,g(x)0,g(x)单调递增;当x(e,+)时,g(x)0,h(x)单调递增,在区间(1,+)上,h(x)0,n0,所以-ln x-ln n0对于任意的x(0,+)恒成立.设h(x)=e2x-ln x-ln n,x0,n0,则h(x)=e2x-,因为函数y=e2x和y=-在区间(0,+)上均单调递增,所以函数h(x)在区间(0,+)上单调递增,当x0时,h(x)0,故存在x0(0,+),使得h(x0)=0,即当x(0,x0)
17、时,h(x)0,所以h(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+)上单调递增,故h(x)min=h(x0)=-ln x0-ln n=-ln x0-ln n0对x0(0,+)恒成立,又由=0,得n=4x0,所以h(x0)=-2x0-2ln x0-2ln 20对x0(0,+)恒成立.因为函数y=-2x和y=-2ln x在区间(0,+)上单调递减,所以函数h(x0)在区间(0,+)上单调递减.因为x0=时,h(x0)=0,所以x00,.令p(x)=4xe2x(x0),则p(x)=4e2x+8xe2x=4e2x(1+2x)0.所以函数n=4x0在区间0,上单调递增,所以00,所以f(x)在R
18、上单调递增,当a0时,令f(x)0得xln a,令f(x)0得x0时,f(x)在区间(-,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+)上单调递增.(2)(方法一)由已知得g(x)=ex-2x-cos x,x-,+,则g(x)=ex+sin x-2.当x-,0时,因为g(x)=(ex-1)+(sin x-1)g(0)=0,所以g(x)在区间-,0上无零点;当x0,时,因为g(x)单调递增,且g(0)=-10,所以存在x00,使g(x0)=0,所以当x(0,x0)时,g(x)0,所以g(x)在区间0,x0)上单调递减,在区间x0,上单调递增,且g(0)=0,所以g(x0)0,所以g(x0)g-30
19、,所以g(x)在区间,+上单调递增,因为g0,所以g(x)在区间,+上无零点.综上所述,g(x)在区间-,+上的零点个数为2.(方法二)由已知得g(x)=ex-2x-cos x,x-,+,则g(x)=ex+sin x-2.当x-,0时,因为g(x)=(ex-1)+(sin x-1)g(0)=0,所以g(x)在区间-,0上无零点;当x0,+)时,令s(x)=g(x),则s(x)=ex+cos x0,所以g(x)在区间0,+)上单调递增,又因为g(0)=-10,所以x0(0,)使g(x0)=0,当x(0,x0)时,g(x)0,所以g(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+)上单调递增,
20、且g(0)=0,所以g(x0)0,所以g(x0)g()0,所以g(x)在区间(x0,+)上存在唯一零点,所以g(x)在区间0,+)上存在两个零点.综上所述,g(x)在区间-,+上的零点个数为2.22.证明 (1)由题意得f(0)=1-a0,所以y=f(x)在区间(0,+)上存在零点.因为f(x)=ex-1,所以当x0时,f(x)0,故函数f(x)在区间0,+)上单调递增,所以函数y=f(x)在区间(0,+)上有唯一零点.(2)令g(x)=ex-x2-x-1(x0),g(x)=ex-x-1=f(x)+a-1,由(1)知函数g(x)在区间0,+)上单调递增,故当x0时,g(x)g(0)=0,所以函
21、数g(x)在区间0,+)上单调递增,故g(x)g(0)=0.又10,所以g()0,所以f()=-a0=f(x0),因为f(x)在区间0,+)上单调递增,故x0.令h(x)=ex-x2-x-1(0x1),则h(x)=ex-2x-1,令h1(x)=ex-2x-1(0x1),则h1(x)=ex-2,所以x0(0,ln 2)ln 2(ln 2,1)1h1(x)-1-0+e-2h1(x)0单调递减单调递增e-3故当0x1时,h1(x)0,即h(x)0,所以h()0,所以f()=-a0=f(x0),因为f(x)在区间0,+)上单调递增,故x0.综上,x0令u(x)=ex-(e-1)x-1,则u(x)=ex-(e-1),所以当x1时,u(x)0,故函数u(x)在区间1,+)上单调递增,因此u(x)u(1)=0.又=x0+a,所以x0f()=x0f(x0+a)=(ea-1)+a(ea-2)x0(e-1)a,由x0,得x0f()(e-1)(a-1)a.