1、专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质一、单项选择题1.(2021湖北华中师大一附中月考)已知抛物线y=mx2(m0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为,则m的值为() A.1B.2C.D.2.(2021四川成都七中月考)双曲线=1(a,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则其离心率为()A.B.C.D.3.(2021新高考,5)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.64.(2021贵州贵阳期末)过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于()A.4B.6C.
2、8D.105.(2021广东佛山二模)已知双曲线C:=1(a0,b0)的离心率等于2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF1PF2,若PAF1的面积为3a,则双曲线的虚轴长等于()A.B.2C.2D.4二、多项选择题6.(2021江苏南通适应性联考)已知RtABC中有一个内角为,如果双曲线E以A,B为焦点,并经过点C,则该双曲线的离心率可能是()A.+1B.2C.D.2+7.(2021广东佛山模拟)已知双曲线C:9x2-16y2=144的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上的一点,且|PF1|=6,则下列说法正确的是()A.双曲线的离心率为B.双
3、曲线的渐近线方程为3x4y=0C.PF1F2的周长为30D.点P在椭圆=1上8.(2021重庆调研)如图所示,用一束与平面成60角的平行光线照射半径为的球O,在平面上形成的投影为椭圆C及其内部,则椭圆C的()A.长轴长为3B.离心率为C.焦距为2D.面积为39.(2021山东青岛三模)已知曲线C:=1,F1,F2分别为曲线C的左、右焦点,则下列说法正确的是()A.若m=-3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为B.若曲线C的离心率e=2,则m=-27C.若m=3,则曲线C上不存在点P,使得F1PF2=D.若m=3,P为C上一个动点,则PF1F2面积的最大值为3三、填空题10.(2021江苏南通一模
4、)已知抛物线C:y=x2上的点M到焦点的距离为5,则点M到y轴的距离为.11.(2021湖北十五中学联考体联考)=1的焦点为F1,F2,点在椭圆上,若|PF1|=4,则F1PF2的大小为.12.(2021湖南怀化模拟)已知椭圆E:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线交E于P,Q两点,且PF2F2Q,且a2,|PF2|+|F2Q|=4,则E的标准方程为.13.(2021北京昌平二模)已知抛物线C:y2=4x与椭圆D:=1(ab0)有一个公共焦点F,则点F的坐标是;若抛物线的准线与椭圆交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB是直角三角形,则椭圆D的离心率e=.14.(2021
5、福建厦门外国语学校月考)点P在椭圆C1:=1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为.专题突破练21圆锥曲线的定义、方程与性质1.B解析 由题意,知抛物线y=mx2(m0)的准线方程为y=-,根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-的距离,可得2+,解得m=2.2.D解析 因为=1(a0,b0)的一条渐近线方程为x-2y=0,所以故,解得,所以e=3.C解析 由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则=3,则|MF1|MF2|9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|MF2|的最大值
6、为9.4.C解析 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程l:x=-1.设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).直线AB过抛物线的焦点F,显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为x=my+1(m为常数),代入抛物线的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.设A,B的纵坐标分别为y1,y2,线段AB的中点M(x0,y0),则y0=2m=2,解得m=1.直线AB的方程为x=y+1,x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2(3+1)=8.5
7、.D解析 如图,双曲线C:=1(a0,b0)的离心率等于2,e=2,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上,且PF1PF2,所以P(a,b),PAF1的面积为3a,可得(a+c)b=3a,解,可得b=2,所以C的虚轴长等于4.6.ACD解析 当C=时,e=;当B=时,e=+1;当A=时,e=+2.7.BCD解析 双曲线的标准方程为=1,a=4,b=3,则c=5,离心率e=,A错误;渐近线方程为=0,即3x4y=0,B正确;|PF1|=62a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,PF1F2的周长为30,C正确;|
8、PF1|+|PF2|=20,因此P在椭圆=1(此椭圆是以F1,F2为焦点,长轴长为20的椭圆)上,D正确.8.BC解析 由题意知,OBAB,OB=,BAO=60,OA=2,椭圆C长轴长2a=2OA=4,A错误;椭圆C的短轴长为球O的直径,即2b=2,b=,c=1,椭圆C的焦距为2c=2,C正确;椭圆C的离心率e=,B正确;由图可知:椭圆C的面积大于球O大圆的面积,又球O大圆的面积S=3,故椭圆C的面积大于3,D错误.9.ABD解析 对于A选项,当m=-3时,曲线C:=1表示焦点在x轴上的双曲线,渐近线方程为y=x,故渐近线的倾斜角分别为,所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为,故A选项正确;对于B
9、选项,离心率e=2,则曲线C为焦点在x轴上的双曲线,a=3,e=2,故c=6,所以-m=c2-a2=36-9=27,所以m=-27,故B选项正确;对于C选项,若m=3,则曲线C:=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6.设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0,),则cosF1MF2=-0,故F1MF2为钝角,所以曲线C上存在点P,使得F1PF2=,故C选项错误;对于D选项,若m=3,则曲线C:=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6,P为C上一个动点,则PF1F2面积的最大值为Smax=2cb=2=3,故D选项正确.10.2解析 抛物线C的方程可化为x2=
10、8y.设M(x0,y0),因为点M到焦点的距离为5,所以点M到准线y=-2的距离为5,从而y0=3.将y0=3代入x2=8y,可得|x0|=2,所以点M到y轴的距离为211解析 由椭圆=1可得a=3,b=,c=根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2,所以4+|PF2|=2a=6,解得|PF2|=2.在F1PF2中,由余弦定理得cosF1PF2=-,所以F1PF2=12=1解析 如图所示,连接PF1,QF1,因为OP=OQ,OF1=OF2,所以四边形PF1QF2是平行四边形,所以PF1=QF2,PF2=QF1,又因为PF2F2Q,所以平行四边形PF1QF2是矩形.
11、设PF1=m,PF2=n,由题意得解得则b2=a2-c2=2,故E的标准方程为=1.13.(1,0)解析 由抛物线的方程,得其焦点坐标为(1,0),所以抛物线C与椭圆D的公共焦点为F(1,0),且抛物线准线方程为x=-1,椭圆左焦点为(-1,0),联立x=-c与椭圆=1,可得|yA|=|yB|=,因为AOB是直角三角形,所以=c,即b2=ac.又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,左、右同除以a2,可得e2+e-1=0,解得e=,又e(0,1),所以椭圆D的离心率e=14.2-6解析 记椭圆C1:=1的左焦点为E(-1,0),由椭圆的定义可得,|PE|+|PF|=2a=4,所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4.由x2+y2+6x-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,即圆C2的圆心为(-3,4),半径为r=2,作出图形如下:由圆的性质可得,|PQ|PC2|-r=|PC2|-2,|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4|PC2|+|PE|-6|EC2|-6=-6=2-6(当且仅当C2,Q,P,E四点共线时,等号成立).