1、2016-2017学年海南省琼海市嘉积中学高三(下)第一次月考数学试卷(文科)一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)1已知集合A=2,1,0,1,2,集合B=x|x21,AB=()A2,1,0,1B1,1C1,0D1,0,12已知复数z满足(3+4i)z=25,则z对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列函数中,既是偶函数又在区间(,0)上单调递增的是()Af(x)=2xBf(x)=x2+1Cf(x)=Df(x)=x34若直线 l1和l2 是异面直线,l1在平面 内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()Al与l1,l2都不相交Bl与l1,l
2、2都相交Cl至多与l1,l2中的一条相交Dl至少与l1,l2中的一条相交5已知,若,则与的夹角为()A30B60C120D1506已知双曲线的左焦点为F,直线x=2与双曲线E相交于A,B两点,则ABF的面积为()A12B24CD7某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则a的值为()A13B12C11D108函数f(x)=2sin(x+)(0,)的部分图象如图所示,则,的值分别是()ABCD9已知x,y满足,则目标函数z=3x+y的最小值是()A4B6C8D1010已知P为抛物线y2=4x上一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆x2+(y4)2=1上一个动点,d+|PQ|的最小值是()A
3、21B22C1D211中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x为()A1.2B1.6C1.8D2.412已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点,且AB=AC=BC=1,高为的三棱锥PABC的顶点P位于同一球面上,则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是()ABCD二、填空题(本题4小题,每小题5分,共20分)13已知函数f(x)=sin2x,则函数f(x)的最小正周期是14设函数f(x)=,则f(f()=15如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸的标记物C,测得CA
4、B=30,CBA=75,AB=120m,则河的宽度是16已知定义域为R的函数f(x)满足下列性质:f(x+1)=f(x1),f(2x)=f(x) 则f(3)=三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知等比数列an的各项均为正数,且a2=4,a3+a4=24()求数列an的通项公式;()若数列bn满足b1=3,b2=6,且bnan是等差数列,求数列bn的前n项和18(12分)如图,在三棱锥ABCD中,已知,BAC=60,BD=DC=,AB=AC=AD=2(1)求证:BCAD;(2)求三棱锥ABCD的体积19(12分)甲乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加
5、了5次预赛成绩记录如下:甲 82 82 79 95 87乙 95 75 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据;(2)从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率:(3)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由20(12分)椭圆的右焦点为F(1,0),离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M,N两点,P是直线x=4上任意一点求证:直线PM,PF,PN的斜率成等差数列21(12分)已知函数f(x)=x2+(2m1)xmlnx(1)当m=1时,求曲线y=f(x)的极值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若
6、对任意m(2,3)及x1,3时,恒有mtf(x)1成立,求实数t的取值范围四、选做题:请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分选修4-4:坐标系与参数方程22(10分)已知过点P(m,0)的直线l的参数方程是(t为参数)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程式为=2cos()求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;()若直线l与曲线C交于两点A,B,且|PA|PB|=1,求实数m的值选修4-5:不等式选讲23设函数f(x)=|2x+3|+|x1|()解不等式f(x)4;()若存在使不等式a+1f(x)成立,求实数a的取值
7、范围2016-2017学年海南省琼海市嘉积中学高三(下)第一次月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题12小题,每小题5分,共60分)1已知集合A=2,1,0,1,2,集合B=x|x21,AB=()A2,1,0,1B1,1C1,0D1,0,1【考点】1E:交集及其运算【分析】分别求出集合A,B,由此能求出AB【解答】解:集合A=2,1,0,1,2,集合B=x|x21=x|1x1,AB=1,0,1故选:D【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义和不等式性质的合理运用2已知复数z满足(3+4i)z=25,则z对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D
8、第四象限【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解:复数z满足(3+4i)z=25,(34i)(3+4i)z=25(34i),z=34i则z对应的点(3,4)在第四象限故选:D【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题3下列函数中,既是偶函数又在区间(,0)上单调递增的是()Af(x)=2xBf(x)=x2+1Cf(x)=Df(x)=x3【考点】3K:函数奇偶性的判断;3E:函数单调性的判断与证明【分析】首先从函数的奇偶性排除部分选项,然后再判断函数的单调性【解答】解:在四个选项中,选项A,f(x)=2
9、x,f(x)f(x);f(x)f(x),所以是非奇非偶的函数;选项B,f(x)=(x)2+1=x2+1=f(x),是偶函数,但是在区间(,0)上单调递减;选项C,f(x)=f(x),是偶函数,在区间(,0)上单调递增;选项D,f(x)=(x)3=x3=f(x),是奇函数;综上既是偶函数又在区间(,0)上单调递增的是C;故选C【点评】本题考查了函数的奇偶性的判断和单调性的判断,一般从定义入手,经常考查,属于基础题4若直线 l1和l2 是异面直线,l1在平面 内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()Al与l1,l2都不相交Bl与l1,l2都相交Cl至多与l1,l2中的一条相交
10、Dl至少与l1,l2中的一条相交【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系【分析】可以画出图形来说明l与l1,l2的位置关系,从而可判断出A,B,C是错误的,而对于D,可假设不正确,这样l便和l1,l2都不相交,这样可推出和l1,l2异面矛盾,这样便说明D正确【解答】解:Al与l1,l2可以相交,如图:该选项错误;Bl可以和l1,l2中的一个平行,如上图,该选项错误;Cl可以和l1,l2都相交,如下图:,该选项错误;D“l至少与l1,l2中的一条相交”正确,假如l和l1,l2都不相交;l和l1,l2都共面;l和l1,l2都平行;l1l2,l1和l2共面,这样便不符合已知的l1和l2异面;该选
11、项正确故选D【点评】考查异面直线的概念,在直接说明一个命题正确困难的时候,可说明它的反面不正确5已知,若,则与的夹角为()A30B60C120D150【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角【分析】首先利用已知的向量垂直得到两个向量的数量积,然后根据数量积公式求夹角【解答】解:已知,若,则(+)=0,所以=1,所以与的夹角的余弦值为:,所以向量夹角为120;故选C【点评】本题考查了平面向量的垂直的性质运用以及利用数量积公式求向量的夹角属于基础题6已知双曲线的左焦点为F,直线x=2与双曲线E相交于A,B两点,则ABF的面积为()A12B24CD【考点】KC:双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的左焦
12、点,求出AB坐标,然后求解三角形的面积【解答】解:双曲线的左焦点为F(2,0),直线x=2与双曲线E相交于A,B两点,则A(2,3),B(2,3),则ABF的面积为: 64=12故选:A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力7某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则a的值为()A13B12C11D10【考点】EF:程序框图【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,k的值,当S=时,根据题意,求得此时k的值,应该满足条件ka,退出循环,输出S的值,从而得解【解答】解:模拟执行程序框图,可得S=1,k=1不满足条件ka,S=1+=2,k=2不满足条件ka,S=1+=
13、2,k=3不满足条件ka,S=1+=2,k=4不满足条件ka,S=1+=2,k=5不满足条件ka,S=1+=2,k=6不满足条件ka,S=1+=2,k=7最后一次循环,不满足条件ka,S=2=,k=x+1满足条件ka,退出循环,输出S的值为可解得:x=12,即由题意可得a的值为11故选:C【点评】本题主要考查了循环结构,根据S的值正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题8函数f(x)=2sin(x+)(0,)的部分图象如图所示,则,的值分别是()ABCD【考点】HL:y=Asin(x+)中参数的物理意义【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值,求出函数的周期T=,解得=2由
14、函数当x=时取得最大值2,得到+=+k(kZ),取k=0得到=由此即可得到本题的答案【解答】解:在同一周期内,函数在x=时取得最大值,x=时取得最小值,函数的周期T满足=,由此可得T=,解得=2,得函数表达式为f(x)=2sin(2x+)又当x=时取得最大值2,2sin(2+)=2,可得+=+2k(kZ),取k=0,得=故选:A【点评】本题给出y=Asin(x+)的部分图象,求函数的表达式着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin(x+)的图象变换等知识,属于基础题9已知x,y满足,则目标函数z=3x+y的最小值是()A4B6C8D10【考点】7C:简单线性规划【分析】画出可行域,求出A
15、,B坐标,利用角点法求解即可【解答】解:画出可行域如图1所示,当目标函数y=3x+z经过点A(1,3)时,z的值为6;当目标函数y=3x+z经过点B(2,2)时,z的值为8,故选:B【点评】本题考查线性规划的简单应用,角点法求法具体目标函数的最值的求法的应用,考查数形结合思想以及计算能力10已知P为抛物线y2=4x上一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆x2+(y4)2=1上一个动点,d+|PQ|的最小值是()A21B22C1D2【考点】KI:圆锥曲线的综合【分析】由抛物线定义知:P到准线距离等于P到焦点F的距离,连结圆心B与F,交圆于Q,FB交抛物线的点即为使d+|PQ|最小时P的位置由此能
16、求出结果【解答】解:点P是抛物线y2=4x上的点,点P到抛物线的准线的距离为d,P到圆B:x2+(y4)2=1上的动点Q的距离为|PQ|,由抛物线定义知:P到准线的距离等于P到焦点F的距离,如图,连结圆心B与F,交圆于Q,FB交抛物线的点即为使d+|PQ|的最小时P的位置(d+|PQ|)min=|FQ|,B(0,4),F(1,0),|FB|=,|BQ|=1|FQ|=1故选:C【点评】本题考查与抛物线有关的两条线段和的最小值的求法,是中档题,解题时要熟练掌握抛物线定义和性质11中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若取3,其体
17、积为12.6(立方寸),则图中的x为()A1.2B1.6C1.8D2.4【考点】L!:由三视图求面积、体积【分析】由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成利用体积求出x【解答】解:由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得:(5.4x)31+( 2)2x=12.6,x=1.6故选:B【点评】本题考查三视图,考查体积的计算,确定直观图是关键12已知A、B、C是半径为1的球面上三个定点,且AB=AC=BC=1,高为的三棱锥PABC的顶点P位于同一球面上,则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是()ABCD【考点】LR:球内接多面体【分析】求出球心到平面ABC的距离,利用三棱锥P
18、ABC的高为,可得球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离,即可求出圆的半径,从而可得动点P的轨迹所围成的平面区域的面积【解答】解:AB=AC=BC=1,ABC的外接圆的半径为,球的半径为1,球心到平面ABC的距离为=,三棱锥PABC的高为,球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离为=,动点P的轨迹所围成的平面区域的圆的半径为=,动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是=故选:D【点评】本题考查动点P的轨迹所围成的平面区域的面积,考查学生的计算能力,正确求出动点P的轨迹所围成的平面区域的圆的半径是关键二、填空题(本题4小题,每小题5分,共20分)13已知函数f(x)=sin2x,则函数f(x)的最
19、小正周期是【考点】GS:二倍角的正弦;H1:三角函数的周期性及其求法【分析】函数解析式变形后利用二倍角的余弦函数公式化简为一个角的余弦函数,找出的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周期【解答】解:f(x)=sin2x=(12sin2x)+=cos2x,=2,T=故答案为:【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及三角函数的周期性及其求法,熟练掌握公式是解本题的关键14设函数f(x)=,则f(f()=【考点】4H:对数的运算性质;3T:函数的值【分析】由函数f(x)=,知f()=,由此利用对数的性质能求出f(f()的值【解答】解:函数f(x)=,f()=,f(f()=故答案为:【点评】本题考
20、查对数的性质和运算法则的计算,是基础题解题时要认真审题,仔细解答15如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸的标记物C,测得CAB=30,CBA=75,AB=120m,则河的宽度是60m【考点】HU:解三角形的实际应用【分析】三角形内角和定理算出C,在ABC中由正弦定理解出BC,利用三角形面积公式进行等积变换,即可算出题中所求的河宽【解答】解:由题意,可得C=180AB=1803075=75在ABC中,由正弦定理得BC=又ABC的面积满足SABC=ABBCsinB=ABhAB边的高h满足:h=BCsinB=sin75=60(m)即题中所求的河宽为60m故答案为:60m【点评】本题
21、给出实际应用问题,求河的宽度着重考查了三角形内角和定理、正弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识,属于中档题16已知定义域为R的函数f(x)满足下列性质:f(x+1)=f(x1),f(2x)=f(x) 则f(3)=0【考点】3P:抽象函数及其应用;3T:函数的值【分析】由已知中f(x+1)=f(x1),f(2x)=f(x)可得:f(3)=f(1)=f(1)=f(1),进而得答案【解答】解:函数f(x)满足下列性质:f(2x)=f(x)当x=1时,f(1)=f(1)即f(1)=0,当x=3时,f(3)=f(1),又由f(x+1)=f(x1)得:x=0时,f(1)=f(1)=0,故f(3)=0故答
22、案为:0【点评】本题考查的知识点是函数求值,抽象函数及其应用,难度中档三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)(2016秋朝阳区期末)已知等比数列an的各项均为正数,且a2=4,a3+a4=24()求数列an的通项公式;()若数列bn满足b1=3,b2=6,且bnan是等差数列,求数列bn的前n项和【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式【分析】()设正项等比数列an的公比为q,由可求得q,从而可求得数列an的通项公式;()由b1=3,b2=6,且bnan是等差数列,可得数列bnan是首项为1,公差为d=1的等差数列,继而可得,利用分组求和法即可求得数列bn的前n
23、项和【解答】(本小题满分13分)解:()设等比数列an的公比为q,依题意 q0因为,两式相除得:q2+q6=0,解得 q=2,q=3(舍去)所以所以数列an的通项公式为(6分)()解:由已知可得b1a1=32=1,b2a2=64=2,因为bnan为等差数列,所以数列bnan是首项为1,公差为d=1的等差数列所以 bnan=1+(n1)=n则因此数列bn的前n项和: =(1+2+3+n)+(2+22+23+2n)=(13分)【点评】本题考查数列的求和,考查等比数列的通项公式的应用,考查等差数列关系的确定及分组求和的运用,属于中档题18(12分)(2017春琼海校级月考)如图,在三棱锥ABCD中,
24、已知,BAC=60,BD=DC=,AB=AC=AD=2(1)求证:BCAD;(2)求三棱锥ABCD的体积【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】(1)取BC中点E,连结AE,DE,可得BCDE,BCAE,即BC面AED,可得BCAD(2)可得AE=,DE=,在ADE中,AE2+DE2=AD2,SADE=,三棱锥ABCD的体积V=VBADE+VCAED,计算即可【解答】解:取BC中点E,连结AE,DE,BD=DC,AB=AC,BCDE,BCAE,且AEDE=E,BC面AED,又AD面ADE,BCAD(2),BAC=60,AB=AC=2,BC=2在ABC中,AE=,在DCB中,DE=在ADE中
25、,AE2+DE2=AD2,AEDE,SADE=,三棱锥ABCD的体积V=VBADE+VCAED=【点评】本题考查了空间线线垂直的判定,三棱锥体积的计算,属于中档题19(12分)(2013辽宁一模)甲乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加了5次预赛成绩记录如下:甲 82 82 79 95 87乙 95 75 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据;(2)从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率:(3)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由【考点】BA:茎叶图;BC:极差、方差与标准差;CB:古典概型及其概率计算公式【
26、分析】(1)直接由题目给出的数据画出茎叶图;(2)求出甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数,查出甲的成绩比乙高的个数,直接利用古典概型计算公式求解;(3)求出甲乙的平均数和方差即可得到答案【解答】解:(1)茎叶图如图,(2)设甲被抽到的成绩鞥即为x,乙被抽到的成绩为y,则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为55=25其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为(82,75),(82,80),(79,75),(87,75),(87,80),(87,85)(95,90),(95,75),(95,80),(95,85),(82,75),(82,80)共12个所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一
27、个,甲的成绩比乙高的概率为;(3)派甲参赛比较合理理由是=31.6因为甲乙的平均数相同,甲的方差小于乙的方差,所以甲发挥稳定【点评】本题考查了茎叶图,考查方差的求法,考查了古典概型及其概率计算公式,是基础题20(12分)(2017春弥渡县校级月考)椭圆的右焦点为F(1,0),离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M,N两点,P是直线x=4上任意一点求证:直线PM,PF,PN的斜率成等差数列【考点】KL:直线与椭圆的位置关系;K3:椭圆的标准方程【分析】(1)由焦点坐标可得c=1,运用椭圆的离心率公式,可得a=2,再由a,b,c的关系求得b,进而得到所求椭圆方程;(2)
28、设M(x1,y1),N(x2,y2),P(4,y0),求得直线MN的方程,代入椭圆方程,消去y,可得x的方程,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简整理,结合等差数列的中项的性质,即可得证【解答】解:(1)由题意可得c=1,e=,解得a=2,b=,则椭圆C的方程为+=1;(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),P(4,y0),由题意可得直线MN的方程为y=x1,代入椭圆方程+=1,可得7x28x8=0,x1+x2=,x1x2=,kPM+kPN=+=,又kPF=,则kPM+kPN=2kPF,则直线PM,PF,PN的斜率成等差数列【点评】本题考查椭圆方程的求法,注意运用椭圆的性质:离心率,考
29、查直线的斜率成等差数列,注意运用联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和点满足直线方程,考查化简整理的运算能力,属于中档题21(12分)(2016秋尖山区校级期末)已知函数f(x)=x2+(2m1)xmlnx(1)当m=1时,求曲线y=f(x)的极值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若对任意m(2,3)及x1,3时,恒有mtf(x)1成立,求实数t的取值范围【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(2)求出函数的导数,通过讨论m的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单
30、调区间即可;(3)问题等价于mt1f(x)min,通过讨论m 的范围,求出t的范围即可【解答】解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+),当m=1时,解得x=1(舍去),在上递减,在上递增,所以f(x)的极小值为(2),令f(x)=0可得当m0时,由f(x)0可得f(x)在上单调递减,由f(x)0可得f(x)在上单调递增当时,由f(x)0可得f(x)在上单调递减,由f(x)0可得f(x)得在(0,m)和上单调递增当时,由可得f(x)在(0,+)上单调递增当时,由f(x)0可得f(x)在上单调递减,由f(x)0可得f(x)得在和(m,+)上单调递增(3)由题意可知,对m(2,3),x1,3时,恒
31、有mt1f(x)成立,等价于mt1f(x)min,由(2)知,当m(2,3)时,f(x)在1,3上单调递增,f(x)min=f(1)=2m,所以原题等价于m(2,3)时,恒有mt12m成立,即在m(2,3)时,由,故当时,mt12m恒成立,【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道中档题四、选做题:请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分选修4-4:坐标系与参数方程22(10分)(2017春琼海校级月考)已知过点P(m,0)的直线l的参数方程是(t为参数)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
32、C的极坐标方程式为=2cos()求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;()若直线l与曲线C交于两点A,B,且|PA|PB|=1,求实数m的值【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程【分析】()直线l的参数方程是,(t为参数),消去参数t可得普通方程由=2cos,得2=2cos,利用互化公式可得C的直角坐标方程()把直线l的参数方程代入圆的方程可得:,由0,解得m范围,利用|PA|PB|=1=|t1t2|,解出即可得出【解答】解:()直线l的参数方程是,(t为参数),消去参数t可得由=2cos,得2=2cos,利用互化公式可得C的直角坐标方程:x2+y2=2x()把(t
33、为参数),代入x2+y2=2x,得,由0,解得1m3|PA|PB|=1=|t1t2|,m22m=1,解得或1又满足0实数或1【点评】本题考查了参数方程化为普通方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题选修4-5:不等式选讲23(2016潮南区模拟)设函数f(x)=|2x+3|+|x1|()解不等式f(x)4;()若存在使不等式a+1f(x)成立,求实数a的取值范围【考点】R5:绝对值不等式的解法;3R:函数恒成立问题【分析】()先求出f(x)的表达式,得到关于x的不等式组,解出即可;()问题转化为:a+1(f(x)min,求出f(x)的最小值,从而求出a的范围即可【解答】解:()f(x)=|2x+3|+|x1|,f(x)= (2分)f(x)4或或(4分)x2或0x1或x1 综上所述,不等式的解集为:(,2)(0,+) (6分)()若存在使不等式a+1f(x)成立a+1(f(x)min(7分)由()知,时,f(x)=x+4,x=时,(f(x)min= (8分)a+1a(9分)实数a的取值范围为(,+) (10分)【点评】本题考察了绝对值不等式的解法,考察转化思想,是一道中档题
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