1、课时作业17双曲线的简单性质时间：45分钟基础巩固类一、选择题1双曲线3x2y29的实轴长是(A)A2B2C4D4解析：将方程3x2y29变形为1，则a23，解得a，即2a2.故选A.2已知双曲线y21(a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为(D)AyxByxCyxDyx解析：由题意得实轴长为2a，虚轴长为2，焦距长为2.因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，所以42a2，解得a，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.3已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为(A)A.1 B.1C.1 D.1解析：由已知e2，c4，得a2，得b212，故双
2、曲线的方程为1.4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(B)A.1 B.1C.1 D.1解析：e，c3，a2，b2c2a25，即双曲线C的标准方程为1.5已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为(C)AyxByxCyxDyx解析：e，b2a2a2，即渐近线方程为yx.6设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为(C)A4B3C2D1解析：本小题考查内容为双曲线的渐近线双曲线的渐近线方程为yx，比较yx，a2.7若双曲线1(b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是(A)A2B1C. D.解析：由题意知双
3、曲线1(b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b.双曲线1(b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，b2c，即bc，解得b1.该双曲线的虚轴长是2.故选A.8已知A，B分别为双曲线E的左、右顶点，点M在双曲线E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则双曲线E的离心率为(D)A.B2C. D.解析：设双曲线E的方程为1(a0，b0)，示意图如下图，|AB|BM|，ABM120.过点M作MNx轴，垂足为点N.在RtBMN中，|BN|a，|MN|a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线E的方程得a2b2c2a2，即c22a2，所以e.故选D.二、填空题9双曲线1的两条渐近线的方程为yx.解
4、析：由a216，b29，渐近线方程yxx.10双曲线1的离心率为，则m等于9.解析：，m9.11设F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290，且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为.解析：设|AF2|x，则|AF1|3x.则2a|AF1|AF2|2x,2cx，故离心率e.三、解答题12求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(2)与双曲线1有公共顶点，且过点A(6，)；(3)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等；(4)与椭圆1有公共焦点，离心率为.解：(1)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上，得
5、，即2.故所求双曲线的标准方程为1.(2)所求双曲线与双曲线1有公共顶点，故可设所求双曲线的方程为1(m0)将点A(6，)的坐标代入方程1，解得m4.所求双曲线的方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)e，a4，b2c2a29.所求双曲线的标准方程为1.方法2：椭圆的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为1(24，则椭圆的离心率e1，双曲线的离心率e2，于是sin，当且仅当90时等号成立方法2：设|PF1|r1，|PF
6、2|r2，且r1r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆与双曲线焦距的一半为c，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则由椭圆和双曲线的定义可得r1r22a1，r1r22a2，两边平方得4arr2r1r2，4arr2r1r2，联立可得rr2a2a，r1r2aa，由余弦定理可得4c2rr2r1r2cos，联立可得a3a4c2，即4.设2cos，2sin，则2cossinsin()，所以的最大值为.方法3：同方法2得到4后，由柯西不等式得()2()2()(1)(当且仅当1，即3时等号成立)，所以.15双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围解：直线l的方程为1，即bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1,0)，(1,0)到直线l的距离分别为d1，d2.sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是，得52e2，即4e425e2250.解不等式，得e25.e1，e的取值范围是e.