1、201510高三调研测试数学试题 （满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（每小题5分，计70分）1已知集合,则 . 2已知复数满足（为虚数单位），则的模为 .3已知命题，若命题是真命题，则实数的取值范围是 4.在平面直角坐标系中，已知向量a = (1，2)，(3，1)，则 .5函数的最小正周期为 .6已知直线：和：，则的充要条件是 7已知为锐角，则 8在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为 .9在中,则以为焦点且过点的椭圆的离心率为 .10.如图，四边形ABCD是边长为1的菱形， E是BC的中点，则 11.已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方
2、程为 .12已知，若实数满足，则的最小值是 .13. 已知曲线存在垂直于轴的切线，函数在上单调递增，则的范围为 14已知函数是定义域为上的偶函数，当时，若关于的方程有且仅有8个不同实数根，则实数的取值范围是 . 二、解答题（共6道题，计90分）15（本题满分14分）已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|ab|=2（1）求ab的值；（2）求|a+b|的值16. （本题满分14分）已知函数（1）求的值；（2）求的最大值及相应的值17（本题满分15分）已知命题:关于实数的方程有两个不等的负根；命题:关于实数的方程无实根（1） 命题“或”真，“且”假，求实数的取值范围（2） 若关于的不等式的解集
3、为M；命题为真命题时，的取值集合为N当时，求实数的取值范围18（本题满分15分）给定椭圆C：1(ab0)，称圆C1：x2y2a2b2为椭圆C的“伴随圆”已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值19（本题满分16分）右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)过O作OPAB，交AB于M，交EF
4、于N，交圆弧AB于P已知OP10，MP6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2） （1）按下列要求建立函数关系式：(i)设POF (rad)，将S表示成的函数；EBGANDMCFOHP(第19题图)(ii)设MNx (m)，将S表示成x的函数； （2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？20（本题满分16分）设是定义在上的奇函数，函数与的图象关于轴对称，且当时，（1）求函数的解析式；（2）若对于区间上任意的，都有成立，求实数的取值范围班级姓名学号201510高三调研测试数学答题纸一、填空题：本大题共14小题，共计70分1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_
5、7_ 8_ 9 _ 10_ 11_ 12_ 13_ 14_二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）16（本小题满分14分）17. （本小题满分15分）18. （本小题满分15分）19（本小题满分16分）20（本小题满分16分）201510高三调研测试数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21.已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为，并且矩阵M对应的变换将点变成点，求出矩阵M.22.如图所示，是长方体，已知，是棱的中点，求直线与平面所成角的余弦值23.已知 的展开式中前三项的系数成等差数列 （1）求n的值；（2）求展开式中
6、所有二项式系数的和（3）求展开式中所有项系数的和24.某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果奖励1红1白10元1红1黑5元2黑2元1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率班级姓名学号201510高三调研测试 数学附加题（答题纸）（满分40分，考试时间30分钟）21.（满分10分）22.（满分10分）23.（满分10分）24.（满分10分）201510高三调研测试数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分
7、，请将答案填写在答题卷相应位置）1、 2、1-i 3、 4、0 5、 6、 7、 8、 9、 10、1 11、 12、713、 14.二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15解：（1）由|ab|=2，得|ab|a2abbab， ab （2）|a+b|aabb， |a+b| 14分16、（1） 2分6分（1） 10分，12分 当时，此时，即，14分17、解： （1）若方程有两不等的负根，则 解得即命题:，若方程无实根，则16(m2)21616(m24m3)0解得：1m3.即命题:1m3.由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p
8、为假，命题q为真. 解得：m3或1m2. （2）（2） ，解得：18、解：（1）记椭圆C的半焦距为c由题意，得b1，c2a2b2，解得a2，b1 4分（2）由（1）知，椭圆C的方程为y21，圆C1的方程为x2y25显然直线l的斜率存在设直线l的方程为ykxm，即kxym0 6分因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得(14k2)x28kmx4m240从而(8km)24(14k2)( 4m24)0化简，得m214k2 10分因为直线l被圆x2y25所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d即 14分由，解得k22，m29 因为m0，所以m3 16分19、解
9、：（1）由题意知，OFOP10，MP6.5，故OM3.5(i)在RtONF中，NFOFsin10sin，ONOFcos10cos在矩形EFGH中，EF2MF20sin，FGONOM10cos3.5，故SEFFG20sin(10cos3.5)10sin(20cos7)即所求函数关系是S10sin(20cos7)，00，其中cos0 4分(ii)因为MNx，OM3.5，所以ONx3.5在RtONF中，NF在矩形EFGH中，EF2NF，FGMNx，故SEFFGx即所求函数关系是Sx，0x6.5 8分（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令f()sin(20cos7)，则f ()cos(20cos7)
10、sin(20sin)40cos27cos20 10分由f ()40cos27cos200，解得cos，或cos 因为00，所以coscos0，所以cos 设cos，且为锐角，则当(0，)时，f ()0 ，f()是增函数；当(，0)时，f ()0 ，f()是减函数， 所以当，即cos时，f()取到最大值，此时S有最大值即MN10cos3.54.5m时，通风窗的面积最大 16分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为S ，令f(x)x2(35128x4x2)，则f (x)2x(2x9)(4x39) 10分 因为当0x时 ，f (x)0，f(x)单调递增，当x时，f (x)0，f (x)单调递减， 所以当x时，f(x)取到最大值，此时S有最大值 即MNx4.5m时，通风窗的面积最大 16分20、解：（1） 的图象与的图象关于y轴对称， 的图象上任意一点关于轴对称的对称点在的图象上当时，则2分为上的奇函数，则4分当时，6分 7分（1）由已知，若在恒成立，则此时，在上单调递减， 的值域为与矛盾11分当时，令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 由，得15分综上所述，实数的取值范围为 16分
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