1、高考仿真模拟卷(八)(时间：120 分钟；满分：150 分)第卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 Mx|x0，Nx|ln x1，则下列结论正确的是()ANMBMNCM(RN)RDM(RN)M2设复数 z 满足1z1i2i，则 1z()A.5B.15C.55D.5253若非零向量 a，b 满足|a|b|，(2ab)b0，则 a，b 的夹角为()A.6B.3C.56D.234若 a，b 都是实数，则“a b0”是“a2b20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知 tan(2)34，ta
2、n(2)13，则 tan()()A23B.13C.59D.13156若x表示不超过 x 的最大整数，则下图的程序框图运行之后输出的结果为()A49 850B49 900C49 800D49 9507已知an是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和若 a2a416，S37，则 S4()A15B31C63D.13278如图，己知函数 f(x)的图象关于坐标原点 O 对称，则函数 f(x)的解析式可能是()Af(x)x2ln|x|Bf(x)xln xCf(x)e|x|xDf(x)ln|x|x9已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA3
3、PB|的最小值为()A3B4C5D610在三棱锥 D-ABC 中，已知 AD平面 ABC，且ABC 为正三角形，ADAB 3，点 O 为三棱锥 D-ABC 的外接球的球心，则点 O 到棱 DB 的距离为()A.4214B.2 217C.14D.1211已知 P 是双曲线x23y21 上任意一点，过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B，则PAPB的值是()A38B.316C 38D不确定12已知 f(x)和 g(x)是两个定义在区间 M 上的函数，若对任意的 xM，存在常数 x0M，使得 f(x)f(x0)，g(x)g(x0)，且 f(x0)g(x0)，则称 f(x)与 g
4、(x)在区间 M 上是“相似函数”若f(x)2x2axb 与 g(x)x4x在1，52 上是“相似函数”，则函数 f(x)在区间1，52 上的最大值为()A4B.92C6D.892题号123456789101112答案第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13.21x(2x)5 的展开式中 x2 的系数是_(用数字作答)14已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，满足 a11，S33，则 Sn_15古希腊的数学家研究过各种多边形数记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n，3)12n212n，四边形数 N(n，4
5、)n2，五边形数 N(n，5)32n212n，六边形数 N(n，6)2n2n，可以推测 N(n，k)(k3)的表达式，由此计算 N(20，15)的值为_16已知点 P 在直线 x3y20 上，点 Q 在直线 x3y60 上，线段 PQ 的中点为M(x0，y0)，且 y0 x02，则y0 x0的取值范围是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且sin Csin Asin Babac.(1)求角 B 的大小；(2)点 D 满足BD 2BC，且 AD3，求 2ac 的最大值18(本小题满分 12 分)
6、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面ABCD，ABC90，ABCADC,PAAC2AB2，E 是线段PC 的中点(1)求证：DE平面 PAB；(2)求二面角 D-CP-B 的余弦值19(本小题满分 12 分)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人(1)完成下面 22 列联
7、表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过 100 km/h 与性别有关”？平均车速超过100 km/h平均车速不超过 100 km/h总计男性驾驶员女性驾驶员总计附：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），其中 nabcd.P(K2k0)0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828(2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率；(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3
8、辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E(X)20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 A，上顶点为 B，且直线 AB 与抛物线 y24x 在第一象限的交点 D 到该抛物线的准线的距离为 2，椭圆 C 的离心率 e 32.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 yxm 与椭圆 C 交于 M，N 两点，直线 yxm 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求当四边形 MPNQ 的面积取最大值时 m 的值21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x1xaln(1x)(aR)，g(x)x2e
9、mx(mR)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最大值；(2)若 a0，且对任意的 x1，x20，2，f(x1)1g(x2)恒成立，求实数 m 的取值范围请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2sin，0，2)(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)在曲线 C 上求一点 D，使它到直线 l：x 3t 3，y3t2，(t 为参数，tR)的距离最短，并求出点 D 的直角坐标23(本小题满分 10 分
10、)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|xa|x2a|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)若对任意 xR，不等式 f(x)a23a3 恒成立，求 a 的取值范围高考仿真模拟卷(八)1解析：选 D.由 ln x1，得 0 xe，所以 Nx|0e，所以 M(RN)x|x0M.2解析：选 C.由题意可得：1z(2i)(1i)3i，所以 z2i，1z 12i|1|2i|55.3解析：选 D.由题得 2abb20，所以 2|b|2cosa，b|b|20，所以 cosa，b12，所以a，b23.故选 D.4解析：选 A.由 a b0 得 ab0，则 a2b2a2b20；由 a2b
11、20 得 a2b2，可得 ab0 或 a0”是“a2b20”的充分不必要条件，故选 A.5解析：选 B.tan()tan(2)(2)tan（2）tan（2）1tan（2）tan（2）1334113 3413，故选 B.6解析：选A.由已知可得S040 140 240 2 0164004014024049405017（049）5024085049 850.故选 A.7解析：选 A.因为数列an中各项均为正数，所以 a3 a2a44，设数列的公比为 q，由 S37，得 S23，即 a1(1q)3，又 a3a1q24，所以4q2(1q)3，解得 q23(舍去)或q2，所以 a4a3q8，所以 S4S
12、3a415.故选 A.8解析：选 D.根据 f(x)关于原点对称可知该函数为奇函数，对于 A 选项 f(x)x2ln|x|f(x)，为偶函数，不符合；对于 B 选项定义域不对；对于 C 选项当 x0 的时候，f(x)0 恒成立不符合该函数图象，故错误；对于 D 选项，f(x)ln|x|x f(x)，符合判定，故选 D.9解析：选 C.以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPx.所以 D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2，x)，PB(1，ax)，所以PA3PB(5，3a4x)，|PA3PB|
13、225(3a4x)225，所以|PA3PB|的最小值为 5.故选 C.10解析：选 D.设三棱锥 D-ABC 的外接球球心为 O，过点 O 作 DB 的垂线，垂足为 H，作平面 ODA 交直线 BC 于点 E，交BC于点 F，设平面 ODA 截得外接球是O，D，A，F 是O表面上的点，又因为 DA平面 ABC，所以DAF90，所以 DF 是O 的直径，因此球心O 在 DF 上，AF 是三角形 ABC 外接圆的直径，连接 BD，BF，因为 BFDA，BFAB，所以BF平面 DAB，所以DBF90，因为DHO90，所以 OHBF，又 DOOF，所以 OH 是DBF的中位线，OH12BF，由 ABA
14、D 3，三角形外接圆半径 2R ABsin A，得 AF2，在 RtDAB中，DB AD2AB2 6，在 RtDAF 中，DF DA2AF2 7，在 RtDBF 中，BFDF2DB21，故 OH12，故选 D.11解析：选 A.令点 P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是 x3y0，x3y0，所以可取|PA|x03y0131，|PB|x03y0131，又 cos APBcos AOBcos 2AOxcos3 12，所以PAPB|PA|PB|cosAPBx203y2043123412 38.12解析：选 C.由题意知 g(x)14x2x1，52，令 g(x)0 可得 1x2，令 g(x)0
15、 可得 2x52，所以 g(x)maxg（1），g 52maxg(1)5，g(x)ming(2)4，所以 g(x)x4x在1，52 上的最小值为 4，最大值为 5，对任意的 xM，存在常数 x0M，使得 g(x)g(x0)，则 g(x0)g(x)min4，此时 x02，根据题意知 f(x)minf(2)4，二次函数 f(x)2x2axb 的顶点坐标为(2，4)，所以 a8，b12，所以 f(x)2(x2)24，所以 f(x)在1，52 上的最大值 f(x)maxf(1)6.13解析：21x(2x)5 展开式中，含 x2 的项为 2C2523x21xC3522x3(2C2523C3522)x22
16、00 x2，所以系数为 200.故答案为 200.答案：20014解析：由题当 q1 时，S3a1（1q3）1q（1q）（1qq2）1q3，解得(q2)(q1)0，得 q2，此时 Sn1（2）n3；当 q1 时，a11，S33，满足题意，则此时Snn.综上 Sn1（2）n3或 Snn.答案：1（2）n3或 n15解析：原已知式子可化为 N(n，3)12n212n322 n2432 n；N(n，4)n2422 n2442 n；N(n，5)32n212n522 n2452 n；N(n，6)2n2n622 n2462 n.故 N(n，k)k22 n24k2 n，N(20，15)15222024152
17、202 490.答案：2 49016解析：线段 PQ 的中点 M(x0，y0)的轨迹方程为 x03y020，由 y0 x02，得 x02，则y0 x013（x02）x0 23x013，13(0，)答案：，13(0，)17解：(1)sin Csin Asin Babac，由正弦定理可得 cababac，所以 c(ac)(ab)(ab)，即 a2c2b2ac.又 a2c2b22accos B，所以 cos B12，因为 B(0，)，所以 B3.(2)法一：在ABD 中，由余弦定理得 c2(2a)222accos 3 32，所以(2ac)2932ac.因为 2ac2ac22，所以(2ac)2934(
18、2ac)2，即(2ac)236，2ac6，当且仅当 2ac，即 a32，c3 时，2ac 取得最大值，最大值为 6.法二：在ABD 中，由正弦定理知2asinBADcsin ADB3sin 32 3，所以 2a2 3sinBAD，c2 3sinADB，所以 2ac2 3sinBAD2 3sinADB2 3(sinBADsinADB)2 3sinBADsin23 BAD632 sinBAD12cosBAD6sinBAD6.因为BAD0，23，所以BAD6 6，56，所以当BAD6 2，即BAD3 时，2ac 取得最大值，最大值为 6.18解：(1)证明：法一：设线段 AC 的中点为 O，连接 O
19、D，OE，OB.因为ABC90，所以 BO12AC1，同理 DO1，又 ABAD1，所以四边形 ABOD 是平行四边形，所以 DOAB.又 O，E 分别是 AC，PC 的中点，所以OEPA.又 PAABA，OD，OE平面 ODE，ODOEO，所以平面 ODE平面 PAB.又 DE平面 ODE，所以 DE平面 PAB.法二：因为 ABBC，PA平面 ABCD，所以以 B 为坐标原点，BA 所在的直线为 x 轴，BC 所在的直线为 y 轴，过点 B 且与平面ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 B-xyz，则 B(0，0，0)，C(0，3，0)，P(1，0，2)，D32，32，0，A(
20、1，0，0)，E12，32，1，所以DE(1，0，1)，BP(1，0，2)，BA(1，0，0)设平面 PAB 的法向量为 n(a，b，c)，则nBP0，nBA0，所以a2c0，a0，所以 n(0，1，0)为平面 PAB 的一个法向量又DE n0，所以 DE平面 PAB.(2)由(1)法二中的空间直角坐标系，易知BC(0，3，0)，DP 12，32，2，DC 32，32，0，设平面 PBC 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1BP0，n1BC0，所以x12z10，3y10，所以 n1(2，0，1)为平面 PBC 的一个法向量设平面 DPC 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，则n2DP
21、 0n2DC 0，所以12x2 32 y22z20，32x2 32 y20，所以 n2(1，3，1)为平面 DPC 的一个法向量所以 cosn1，n2 215 515，故二面角 D-CP-B 的余弦值为15.19解：(1)完成的 22 列联表如下：平均车速超过100 km/h平均车速不超过100 km/h总计男性驾驶员401555女性驾驶员202545总计6040100K2100（40252015）2604055458.2497.879，所以有 99.5%的把握认为“平均车速超过 100 km/h 与性别有关”(2)平均车速不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人，从中随机抽取 2 人的
22、方法总数为 C240，记“这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员”为事件 A，则事件 A 所包含的基本事件数为 C115C125，所以所求的概率 P(A)C115C125C240 152520392552.(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取 1 辆车，平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的概率为 4010025，故 XB3，25.所以 P(X0)C03 250 353 27125；P(X1)C13 25 352 54125；P(X2)C23 252 35 36125；P(X3)C33 253 350 8125.所以 X 的分布列为X0123P271255412
23、5361258125E(X)0 271251 541252 361253 812565或E（X）32565.20解：(1)设点 D 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的几何性质可知 x012，故 x01，y02，所以 D(1，2)又点 D(1，2)在直线 AB：xayb1 上，故1a2b1.设椭圆的左，右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)，由离心率 eca 32，知c2a234，即a2b2a234，所以 a2b.由可得 a5，b52，故椭圆 C 的标准方程为x225y22541.(2)由x225y22541，yxm可得 5x28mx4m2250.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
24、(8m)245(4m225)0，故 0m21254，又 x1x28m5，x1x24m2255，则|MN|2（x1x2）24x1x2 28m524（4m225）52 251254m2；同理可得|PQ|2 251254m2.由题意知 MNPQ，故四边形 MPNQ 的面积为S12|MN|PQ|12 825(1254m2)4（1254m2）25，又 0m21254，所以当 m0 时，面积 S 取得最大值 20.21解：(1)函数 f(x)的定义域为(1，)，当 a1 时，f(x)1xx（1x）2 11xx（1x）2，所以当 x(1，0)时，f(x)0，函数 f(x)在(1，0)上单调递增，当 x(0，
25、)时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减，所以 f(x)maxf(0)0.(2)令(x)f(x)1，则“当 a0 时，对任意的 x1，x20，2，f(x1)1g(x2)恒成立”等价于“当 a0 时，对任意的 x0，2，(x)ming(x)max”由于(x)1（1x）2 a1xaxa1（x1）2，故当 a0 时，对任意的 x0，2，有(x)0，从而函数(x)在0，2上单调递增，所以(x)min(0)1.g(x)2xemxx2emxm(mx22x)emx.当 m0 时，g(x)x2，当 x0，2时，g(x)maxg(2)4，显然不满足 g(x)max1.当 m0 时，令 g(x)0 得
26、，x0 或 x2m.(i)当2m2，即1m0 时，若 x0，2，则 g(x)0，所以 g(x)在0，2上单调递增，所以 g(x)maxg(2)4e2m，所以 4e2m1，得 mln 2，所以1mln 2.(ii)当 02m2，即 m1 时，若 x0，2m，则 g(x)0，g(x)单调递增，若x2m，2，则 g(x)0，g(x)单调递减，所以 g(x)maxg2m 4m2e2，所以 4m2e21，得 m2e，所以 m1.(iii)当2m0，即 m0 时，若 x0，2，则 g(x)0，g(x)单调递增，所以 g(x)maxg(2)4e2m，4e2m1 不成立综合所述，实数 m 的取值范围是(，ln
27、 222解：(1)由 2sin，0，2)，可得 22sin.因为 2x2y2，sin y，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22y0(或 x2(y1)21)(2)因为直线 l 的参数方程为x 3t 3，y3t2，(t 为参数，tR)，消去 t 得直线 l 的普通方程为 y 3x5.因为曲线 C：x2(y1)21 是以 G(0，1)为圆心，1 为半径的圆，设点 D(x0，y0)，且点 D到直线 l：y 3x5 的距离最短，所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l：y 3x5 平行，即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于1，即y01x0(3)1.因为 x20(y01)21，由解得 x0 32
28、 或 x0 32，所以点 D 的直角坐标为 32，12 或32，32.由于点 D 到直线 y 3x5 的距离最短，所以点 D 的直角坐标为32，32.23解：(1)当 a1 时，f(x)|x1|x2|.当 x1 时，f(x)1x2x32x，此时由 f(x)2 得 x12；当 1x2 时，f(x)x12x1，此时 f(x)2 无解；当 x2 时，f(x)x1x22x3，此时由 f(x)2 得 x52.综上可得不等式 f(x)2 的解集为，12 52，.(2)因为 f(x)|xa|x2a|(xa)(x2a)|a|，故 f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等价于|a|a23a3.当 a0 时，有 aa23a3，即 a24a30，解得 2 7a2 7，此时有 0a2 7.当 a0 时，有aa23a3，即 a22a30，解得1a3，此时有1a0.综上可知 a 的取值范围是1，2 7
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